1、1.(2018湖南娄底,12,3分)已知:x表示不超过x的最大整数.例:3.9=3,-1.8=-2.令关于k的函数f(k)= - (k是正整数).例:f(3)= - =1.则下列结论错误的是 ( ) A.f(1)=0 B.f(k+4)=f(k) C.f(k+1)f(k) D.f(k)=0或1,答案 C f(1)= - =0-0=0,故选项A正确; f(k+4)= - = - = - =f(k),故选项B正确; 当k=3时,f(3+1)= - =1-1=0,而f(3)=1,故选项C错误; 当k=3+4n(n为自然数)时,f(k)=1,当k为其他的正整数时,f(k)=0,所以选项D正确.故选C.,
2、2.(2017湖南岳阳,8,3分)已知点A在函数y1=- (x0)的图象上,点B在直线y2=kx+1+k(k为常数,且k0)上. 若A、B两点关于原点对称,则称点A、B为函数y1、y2图象上的一对“友好点”.则这两个函数图象上的 “友好点”对数的情况为 ( ) A.有1对或2对 B.只有1对 C.只有2对 D.有2对或3对,答案 A 设A , 由题意知,点A关于原点的对称点B 在直线y2=kx+1+k上, 则 =-ak+1+k, 整理得ka2-(k+1)a+1=0, 即(a-1)(ka-1)=0, a-1=0或ka-1=0,则a=1或ka-1=0, 若k=0,则a=1,此时方程只有1个实数根,
3、即两个函数图象上的“友好点”只有1对; 若k0,则a= ,当k=1时,方程有1个实数根,此时两个函数图象上的“友好点”只有1对.当k1时,方程 有2个实数根,即两个函数图象上的“友好点”有2对, 综上,这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为有1对或2对,故选A.,思路分析 根据“友好点”的定义知,函数y1图象上点A 关于原点的对称点B 一定位于直线y2 上,即方程ka2-(k+1)a+1=0有解,整理方程得(a-1)(ka-1)=0,据此分析可得答案.,3.(2019湖南张家界,19,6分)阅读下面的材料: 按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数
4、称为第一 项,记为a1,排在第二位的数称为第二项,记为a2,依此类推,排在第n位的数称为第n项,记为an.所以,数列的一般 形式可以写成:a1,a2,a3,an,. 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这 个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示.如:数列1,3,5,7,为等差数列,其中a1=1,a2=3,公差d=2. 根据以上材料,解答下列问题: (1)等差数列5,10,15,的公差d为 ,第5项是 . (2)如果一个数列a1,a2,a3,an是等差数列,且公差为d,那么根据定义可得到:a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d
5、,an-an- 1=d,. 所以 a2=a1+d, a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d, 由此,请你填空完成等差数列的通项公式:an=a1+( )d. (3)-4 041是不是等差数列-5,-7,-9,的项?如果是,是第几项?,解析 (1)根据题意得,d=10-5=5. a3=15, a4=a3+d=15+5=20, a5=a4+d=20+5=25. (2)a2=a1+d, a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d, a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d, ,an=a1+(n-1)d. 故答案为n-1. (3)根据题意得,
6、 等差数列-5,-7,-9,的通项公式为an=-5-2(n-1), 则-5-2(n-1)=-4 041,解之得n=2 019. -4 041是等差数列-5,-7,-9,的项,它是此数列的第2 019项.,4.(2019河北,26,12分)如图,若b是正数,直线l:y=b与y轴交于点A;直线a:y=x-b与y轴交于点B;抛物线L:y=-x2+bx 的顶点为C,且L与x轴右交点为D. (1)若AB=8,求b的值,并求此时L的对称轴与a的交点坐标; (2)当点C在l下方时,求点C与l距离的最大值; (3)设x00,点(x0,y1),(x0,y2),(x0,y3)分别在l,a和L上,且y3是y1,y2
7、的平均数,求点(x0,0)与点D间的距离; (4)在L和a所围成的封闭图形的边界上,把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”,分别直接写出b=2 019和 b=2 019.5时“美点”的个数.,解析 (1)当x=0时,y=x-b=-b,B(0,-b). AB=8,A(0,b),b-(-b)=8.b=4. (2分) L的方程为y=-x2+4x. L的对称轴为x=2. 当x=2时,y=x-4=-2. L的对称轴与a的交点坐标为(2,-2). (4分) (2)y=- + ,L的顶点C的坐标为 . (5分) 点C在l下方,C与l的距离为b- =- (b-2)2+11. 点C与l距离的最大值为1. (7分)
8、 (3)由题意得y3= ,即y1+y2=2y3,得b+x0-b=2(- +bx0). 解得x0=0或x0=b- .但x00,取x0=b- . (9分),对于L,当y=0时,0=-x2+bx,即0=-x(x-b). 解得x1=0,x2=b.b0,右交点D的坐标为(b,0). 点(x0,0)与点D间的距离为b- = . (10分) (4)4 040;1 010. (12分) 详解:如图,a与L的交点坐标满足:y=x-b=-x2+bx,得交点D(b,0),E(-1,-1-b).,当b为整数时,而x也是整数, 对应的y=-x2+bx和y=x-b均为整数. 当x=-1和x=b时,对应的“美点”各只有一个
9、. 从x=0到x=b-1共有b个整数,每个整数x都对应两个“美点”, 此时“美点”个数为2b+2.把b=2 019代入,求得“美点”个数为4 040. 当b不是整数时,但x是整数,x-b不是整数,即边界y=x-b(-1xb)上没有“美点”;而在边界y=-x2+bx(-1 xb)上,满足bx是整数才有“美点”.对于b=2 019.5,x应是从0到2 018的偶数,此时“美点”的个数为 2 0182+1=1 010.,思路分析 (1)由题意得OA=OB,AB=8,b=4,可得L的方程为y=-x2+4x,进而得出L的对称轴为x=2,把x=2代 入y=x-4得出交点坐标;(2)将二次函数解析式配方得出
10、顶点坐标为 ,根据点C在l下方得出点C与l的距 离为b- =- (b-2)2+11,进而得出最大值;(3)由y3是y1,y2的平均数,可得y3= ,即y1+y2=2y3,得b+x0-b= 2(- +bx0),求出x0的值,令y=-x2+bx=0,求出点D的坐标,两者横坐标相减得出结论;(4)易得点D(b,0),点E(-1,-1-b), 分两种情况,当b为整数,而x也是整数时,求得“美点”的个数;当b不是整数,但x是整数时,求得“美 点”的个数.,5.(2017湖南郴州,24,10分)设a、b是任意两个实数,用maxa,b表示a、b两数中较大者,例如:max-1,-1=-1, max1,2=2,
11、max4,3=4,参照上面的材料,解答下列问题: (1)max5,2= ,max0,3= ; (2)若max3x+1,-x+1=-x+1,求x的取值范围; (3)求函数y=x2-2x-4与y=-x+2的图象的交点坐标,函数y=x2-2x-4的图象如图所示,请你在图中作出函数y=-x+2 的图象,并根据图象直接写出max-x+2,x2-2x-4的最小值.,解析 (1)max5,2=5,max0,3=3. 故答案为5;3. (2)max3x+1,-x+1=-x+1, 3x+1-x+1, 解得x0. 即x的取值范围是(-,0. (3)联立两函数解析式组成方程组, 解得 交点坐标为(-2,4)和(3,
12、-1). 画出直线y=-x+2,如图所示.,观察函数图象可知:当x=3时,max-x+2,x2-2x-4取最小值-1.,思路分析 (1)根据maxa,b表示a、b两数中较大者,即可求出结论; (2)根据max3x+1,-x+1=-x+1,即可得出关于x的一元一次不等式,解之即可得出结论; (3)联立两函数解析式组成方程组,解之即可求出交点坐标,画出直线y=-x+2,观察图形,即可得出max-x+2,x2- 2x-4的最小值.,解题关键 (1)读懂题意,弄清max的意思;(2)根据max3x+1,-x+1=-x+1,得出关于x的一元一次不等式;(3)联 立两函数解析式组成方程组,通过解方程组求出
13、交点坐标,画出直线,分析图形得出最小值.,6.(2018湖南张家界,19,6分)阅读理解题 在平面直角坐标系xOy中,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A2+B20)的距离公式为d= . 例如,求点P(1,3)到直线4x+3y-3=0的距离. 解:由直线4x+3y-3=0知:A=4,B=3,C=-3, 所以P(1,3)到直线4x+3y-3=0的距离为d= =2. 根据以上材料,解决下列问题: (1)求点P1(0,0)到直线3x-4y-5=0的距离; (2)若点P2(1,0)到直线x+y+C=0的距离为 ,求实数C的值.,解析 (1)由直线3x-4y-5=0知A=3,B=-4,C=-5
14、, 点P1(0,0)到直线3x-4y-5=0的距离为d= =1. (2)由点到直线的距离公式得 = , |C+1|=2, C+1=2, C1=1,C2=-3.,思路分析 (1)根据点到直线的距离公式求解即可; (2)根据点到直线的距离公式,列出方程即可解决问题.,解题关键 本题考查点到直线的距离公式的运用,解题的关键是理解题意,学会把直线的解析式转化为Ax+ By+C=0的形式,学会构建方程解决问题.,7.(2017湖南益阳,21,12分)在平面直角坐标系中,将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后 得到的点叫这一点的“互换点”,如(-3,5)与(5,-3)是一对“互换点”. (1
15、)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上?为什么? (2)M、N是一对“互换点”,若点M的坐标为(m,n),求直线MN的表达式(用含m、n的代数式表示); (3)在抛物线y=x2+bx+c上有一对“互换点”A、B,其中点A在反比例函数y=- 的图象上,直线AB经过点P ,求此抛物线的表达式.,解析 (1)不一定. 设这一对“互换点”的坐标为(a1,b1)和(b1,a1). 当a1b1=0时,它们不可能在反比例函数的图象上, 当a1b10时,由b1= 可得a1= , 即(a1,b1)和(b1,a1)都在反比例函数y= (k0)的图象上. (2)由M(m,n)得N(n,m),设直线MN的
16、表达式为y=c1x+d1(c10). 则有 解得 直线MN的表达式为y=-x+m+n. (3)设点A(p,q),则q=- ,直线AB经过点P , 由(2)得 =- +p+q, p+q=1, p- =1, 解方程并检验得p=2或p=-1, q=-1或q=2, 这一对“互换点”是(2,-1)与(-1,2), 将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c, 得 解得,此抛物线的表达式为y=x2-2x-1.,8.(2017贵州贵阳,24,12分) (1)阅读理解:如图,在四边形ABCD中,ABDC,E是BC的中点,若AE是BAD的平分线,试判断AB,AD,DC 之间的等量关系. 解决此问题可以用如下方法:
17、延长AE交DC的延长线于点F,易证AEBFEC,得到AB=FC,从而把AB,AD, DC转化在一个三角形中即可判断. AB,AD,DC之间的等量关系为 ; (2)问题探究:如图,在四边形ABCD中,ABDC,AF与DC的延长线交于点F,E是BC的中点,若AE是BAF的 平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论; (3)问题解决:如图,ABCF,AE与BC交于点E,BEEC=23,点D在线段AE上,且EDF=BAE,试判断 AB,DF,CF之间的数量关系,并证明你的结论.,解析 (1)AD=AB+DC. (4分) (2)AB=AF+CF. 证明:延长AE交DF的延长线于点G,
18、 点E是BC的中点, CE=BE, ABDC, BAE=G,B=ECG, ABEGCE, AB=GC,又AE平分FAB, BAE=FAG, G=FAG,AF=FG, GC=FG+CF, AB=AF+CF. (8分) (3)AB= (CF+DF). 证明:延长AE交CF的延长线于点G, ABCF,A=G,B=C, ABEGCE, ABCG=BECE, BEEC=23, ABCG=23, A=EDF, G=EDF, DF=FG, CG=CF+FG=CF+DF, AB(CF+DF)=23, AB= (CF+DF). (12分),方法指导 几何中的类比探究型问题,关键在于找到解决每一问的通法,类比探究
19、第一问方法可能不止一 种,但总有一种方法是可以照搬到后面几问的解法中,其中所涉及的三角形全等、相似,要寻找的比例关系 或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻找方法.,9.(2016湖南长沙,25,10分)若抛物线L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,abc0)与直线l都经过y轴上的一点P,且抛物 线L的顶点Q在直线l上,则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系,此时,直线l叫做抛物线L的“带 线”,抛物线L叫做直线l的“路线”. (1)若直线y=mx+1与抛物线y=x2-2x+n具有“一带一路”关系,求m,n的值; (2)若某“路线”L的顶点在反比例函数
20、y= 的图象上,它的“带线”l的解析式为y=2x-4,求此“路线”L的 解析式; (3)当常数k满足 k2时,求抛物线L:y=ax2+(3k2-2k+1)x+k的“带线”l与x轴,y轴所围成的三角形面积的取 值范围.,解析 (1)由题意知n=1,抛物线为y=x2-2x+1,其顶点为(1,0), 将(1,0)代入y=mx+1,得m=-1,m=-1,n=1. (2)由题意设“路线”L的解析式为y=a(x-h)2+b, 解得 或 y=a(x+1)2-6或y=a(x-3)2+2, 又“路线”L过点(0,-4), a=2或a=- , y=- x2+4x-4或y=2x2+4x-4. (3)抛物线的顶点坐标
21、为 ,设“带线”l:y=px+k(p0),则 =- p+k,p= , y= x+k, “带线”l交x轴于点 ,交y轴于点(0,k), k 0,3k2-2k+1=3 + 0, “带线”l与x轴,y轴所围成的三角形的面积为 S= k= = , 令t= ,则 t2, S= , =t2-2t+3=(t-1)2+2,当 t2时, =3, =2, 2 3, S .,10.(2018湖南长沙,26,10分)我们不妨约定:对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”. (1)在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有 ; 在凸四边形ABCD中,AB=AD且CBCD,则该四边形 “十字形”;(填“是
22、”或“不是”) (2)如图1,A,B,C,D是半径为1的O上按逆时针方向排列的四个动点,AC与BD交于点E,ADB-CDB= ABD-CBD,当6AC2+BD27时,求OE的取值范围; (3)如图2,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0,c0)与x轴交于A,C两点(点A在点C的 左侧),B是抛物线与y轴的交点,点D的坐标为(0,-ac).记“十字形”ABCD的面积为S,记AOB,COD,AOD, BOC的面积分别为S1,S2,S3,S4.求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式: = + ; = + ;“十字形”ABCD的周长为12 .,解析 (1)菱形,
23、正方形;不是. (3分) (2)如图,由题意可得ADB+CDB+ABD+CBD=180, 又ADB-CDB=ABD-CBD, ADB+CBD=ABD+CDB=90, 又ADB=ACB, ACB+CBD=90, CEB=90, ACBD,即四边形ABCD为“十字形”. 过圆心O分别作AC,BD的垂线,垂足依次为G,H.,由垂径定理和勾股定理可得: OE2=2- (AC2+BD2). 6AC2+BD27, OE2 , OE . (6分) (3)由题图可得: = = ,所以S3S4=S1S2. 将 = + 两边平方可得,S=S1+S2+S3+S4=S1+S2+2 .,所以S3+S4=2 =2 ,即(
24、 - )2=0,则S3=S4. 同理,S1=S2,S1+S4=S2+S3,即SABC=SADC. 又ACBD, OB=OD.同理可证OA=OC. “十字形”ABCD是菱形. B(0,c),D(0,-ac), -c=-ac. 又c0, a=1, BD=-2c, OA=OC, 点B即为抛物线的顶点,同时又在y轴上, b=0,抛物线的解析式为y=x2+c.,令y=0,得x= , A(- ,0),C( ,0). “十字形”ABCD的周长为12 , 4 =12 ,c2-c-90=0. 解得c1=-9,c2=10(不合题意,舍去). 该抛物线的解析式为y=x2-9. (10分),思路分析 (1)根据“十字
25、形”的定义及特殊四边形的对角线性质可得解. (2)先判断ACBD,再利用垂径定理及勾股定理列式,用AC2+BD2表示OE2,从而确定OE的取值范围. (3)由题图中三角形的特点,确定S3S4=S1S2,结合条件得四边形ABCD为菱形,再由A、D点坐标及条件 确定c的值,即可得抛物线的解析式.,解后反思 本题为新定义问题,考查了特殊平行四边形的性质、勾股定理及二次函数的性质等内容,较为 综合.特别是第(3)问,先利用图形中的同底三角形面积的比等于高之比,确定面积间的联系,再根据抛物线特 点得其解析式,综合性强,属于难题.,11.(2018北京,28,7分)对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,
26、给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形 N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”,记作d(M,N). 已知点A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2). (1)求d(点O,ABC); (2)记函数y=kx(-1x1,k0)的图象为图形G.若d(G,ABC)=1,直接写出k的取值范围; (3)T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(T,ABC)=1,直接写出t的取值范围.,解析 (1)如图1,点O到ABC上的点的距离的最小值为2,即d(点O,ABC)=2. 图1 (2)k的取值范围为-1k1且k0. 提示:,如图1,y=kx(k0)的图
27、象经过原点,在-1x1范围内,函数图象为线段. 当y=kx(-1x1,k0)的图象经过(1,-1)时,k=-1, 此时d(G,ABC)=1; 当y=kx(-1x1,k0)的图象经过(-1,-1)时,k=1, 此时d(G,ABC)=1. -1k1. k0, -1k1且k0. (3)t的取值范围为t=-4或0t4-2 或t=4+2 . 提示: T与ABC的位置关系分三种情况,如图2. T在ABC的左侧时,d(T,ABC)=1, 此时t=-4;,T在ABC的内部时,d(T,ABC)=1, 此时0t4-2 ; T在ABC的右侧时,d(T,ABC)=1, 此时t=4+2 . 综上所述,t=-4或0t4-2 或t=4+2 .,图2,解题关键 解决本题的关键是要从点到点的距离中发现点到直线的距离和平行线间的距离.,
