1、 考点精讲考点精讲1 重难点分层练重难点分层练2 内蒙古中考真题及拓展内蒙古中考真题及拓展3直线与圆的位置关系相交相切相离点与圆的位置关系点在圆外点在圆内点在圆上切线的性质与判定性质与判定切线长和切线长定理三角形的内切圆概念内心性质角度关系与圆有关的位置关系考点精讲考点精讲【对接教材】北师：九下第三章【对接教材】北师：九下第三章P66、P89P96；人教：九上第二十四章人教：九上第二十四章P92P104.1考点考点点与圆的位置关系点与圆的位置关系点在圆外点在圆外d_r(如点如点A)设圆的半径为设圆的半径为r，点到圆心的距离为，点到圆心的距离为d点在圆上点在圆上d_r(如点如点B)点在圆内点在圆
2、内d_r(如点如点C)2考点考点 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(设圆的半径为设圆的半径为r，圆心到直线的，圆心到直线的 距离为距离为d)位置关系位置关系图示图示d与与r的关系的关系公共点个数公共点个数相交相交d_r有两个公共点有两个公共点相切相切d_r有且只有有且只有1个公共点个公共点相离相离d_r没有公共点没有公共点3考点考点 切线的性质与判定切线的性质与判定1.性质与判定性质与判定性质性质圆的切线圆的切线_于过切点的半径于过切点的半径判定判定1.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线(定义定义)；2.圆心到直线的距离等于半径的直
3、线是圆的切线；圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；3.与圆只有一个公共点的直线是圆的切线与圆只有一个公共点的直线是圆的切线【满分技法】【满分技法】(1)“切点已知，连半径，证垂直切点已知，连半径，证垂直”：如果已知直线经过圆上一点，则：如果已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直；连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直；(2)“切点未知，作垂直，证相等切点未知，作垂直，证相等”：如果已知条件中不确定直线与圆是否有公共点，：如果已知条件中不确定直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长则过圆心作直线的垂线段，再证
4、明垂线段的长等于半径的长垂直垂直2.切线长和切线长定理切线长和切线长定理(*选学选学)切线长切线长经过圆外一点的圆的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这经过圆外一点的圆的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长点到圆的切线长切线长定理切线长定理*从圆外一点可以引圆的从圆外一点可以引圆的_条切线，它们的切线长条切线，它们的切线长_，这一点，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角如图，和圆心的连线平分两条切线的夹角如图，PA、PB分别切分别切O于于A、B两点，则有两点，则有PA_PB，APOBPO APB两两相等相等124考点考点 三角形的内切圆三角形的内切圆概念概念与三角形各边都
5、相切的圆叫三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆内心内心三角形的内切圆圆心或三角形三个内角的三角形的内切圆圆心或三角形三个内角的_的交点的交点性质性质三角形的内心到三角形的三条边的距离三角形的内心到三角形的三条边的距离_角度关系角度关系BOC90A【知识拓展】【知识拓展】(1)若若ABC的三边长分别为的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为，内切圆半径为r，则，则SABC (abc)r；(2)如图，在如图，在RtABC中，中，a、b是直角边，是直角边，c是斜边，是斜边，则直角三角形内切圆半径则直角三角形内切圆半径r ，外接圆半径为，外接圆半径为R2abc 2c12角平分线角平分线相
6、等相等重难点分层练重难点分层练设问突破设问突破1切线的判定切线的判定类型一切点已知，连半径，证垂直类型一切点已知，连半径，证垂直方法一利用平行证垂直方法一利用平行证垂直例例1如图，如图，AB是是O的直径，点的直径，点C在在O上，上，CAB的平分线交的平分线交O于于点点D，过点，过点D作作AC的垂线交的垂线交AC的延长线于点的延长线于点E，求证：求证：ED是是O的切线的切线例1题图证明：如解图，连接证明：如解图，连接OD，例1题图ODOA，OADODA.AD平分平分BAC，BADCAD，ODACAD，ODAE.DEAE，EDDO.OD是是O的半径，的半径，ED是是O的切线的切线方法二利用等角转化
7、证垂直方法二利用等角转化证垂直例例2如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，C经过点经过点A，交，交BC于点于点D，点点E是是CD上一点，连接上一点，连接AE并延长交并延长交C于点于点F，连接，连接BF，且，且BFBE.求求证：证：BF是是C的切线的切线例2题图例2题图证明：如解图，连接证明：如解图，连接CF，BFBE，BFEBEF.BEF AEC，BFEAEC.ACB90，AECEAC90.CACF，EACCFE，BFECFE90，即，即BFC90.CF是是C的半径，的半径，BF是是C的切线的切线方法三利用三角形全等证垂直方法三利用三角形全等证垂直例例3如图，如图，AB是是O的直径，的直径
8、，C是是O上一点，连接上一点，连接AC、BC，过点，过点O作作ODAC于点于点D，过点，过点A作作O的切线与的切线与OD的延长线交于点的延长线交于点E，连接，连接EC并延长交并延长交AB的延长线交于点的延长线交于点P.求证：求证：EC是是O的切线的切线例3题图证明：如解图，连接证明：如解图，连接OC，OAOC，ODAC，OD是是AC的垂直平分线，的垂直平分线，点点E在在OD的延长线上，的延长线上，EAEC.在在EAO和和ECO中，中，EAOECO(SSS)，EAOECO.又又EA是是O的切线，的切线，ECOEAO90.OC为为O的半径，的半径，EC是是O的切线的切线,EAECAOCOEOEO
9、例3题图满 分 技 法满 分 技 法当切点已知时，常连接圆心与切点，证所连半径与直线垂直当切点已知时，常连接圆心与切点，证所连半径与直线垂直(1)当图中有当图中有90角时：角时：利用等角代换证得垂直；利用等角代换证得垂直；利用平行线证利用平行线证得垂直；得垂直；利用三角形全等证得垂直；利用三角形全等证得垂直；(2)当图中没有当图中没有90角时，需要构造：角时，需要构造：若图中有已知直径，则利用若图中有已知直径，则利用直径所对的圆周角是直径所对的圆周角是90，构造直角；，构造直角；若图中有等腰三角形，则若图中有等腰三角形，则利用等腰三角形利用等腰三角形“三线合一三线合一”的性质构造直角的性质构造
10、直角类型二切点未知，作垂直，证相等类型二切点未知，作垂直，证相等例例4如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，O与与BC，AC分别相切于分别相切于点点E，F，BO平分平分ABC，连接，连接OA.求证：求证：AB是是O的切线的切线例4题图证明：如解图，连接证明：如解图，连接OE，过点，过点O作作ODAB于点于点D，BO是是ABC的平分线，的平分线，ODOE.OE是是O的一条半径，的一条半径，OD是是O的一条半径，的一条半径，AB是是O的切线的切线D满 分 技 法满 分 技 法当切点未知时，通常利用角平分线的性质或者全等三角形的性质，当切点未知时，通常利用角平分线的性质或者全等三角形的性质，
11、来证明所作垂线等于半径来证明所作垂线等于半径设问突破设问突破2求线段长求线段长方法一利用勾股定理方法一利用勾股定理例例5如图，如图，CD是是O的切线，点的切线，点C在直径在直径AB的延长线上，若的延长线上，若BC2，CD3，求，求O的半径的半径例5题图解：如解图，连接解：如解图，连接OD，例5题图CD是是O的切线，的切线，ODC90.设设O的半径为的半径为r，则则OBODr，OCOBBCr2，在在RtODC中，中，OC2OD2CD2，(2r)2r232，解得，解得r .54方法二利用三角函数方法二利用三角函数例例6如图，如图，OA，OC都是都是O的半径，点的半径，点B在在OC的延长线上，的延长
12、线上，BA与与O相切于点相切于点A，连接，连接AC，若，若AC4，tanBAC ，求，求O的直径长的直径长13例6题图解：如解图，延长解：如解图，延长AO交交O于点于点D，连接，连接CD，BA与与O相切，相切，DAAB，DACBAC90.AD为为O的直径，的直径，ACD90，D例6题图DDACD90，DBAC.tanBAC ，tanD ，即，即 .AC4，CD12.在在RtACD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得.13131.3ACDC 22224124 10.ADACCD 方法三利用三角形相似方法三利用三角形相似例例7如图，在如图，在ABC中，中，A30，点，点O是是AB上一点，以点上一点
13、，以点O为圆心，为圆心，OB长为半径作圆，长为半径作圆，O恰好与恰好与AC相切于点相切于点D，连接，连接BD，若，若BD平分平分ABC，AD2 ，求线段，求线段CD的长的长3解：如解图，连接解：如解图，连接OD，例7题图O与与AC相切于点相切于点D，ADO90.A30，ODADtanA2，OA 4.cosADAOBOD，OBDODB.BD平分平分ABC，OBDCBD，CBDODB，ODBC，即，即 ，解得，解得CD .ADAOCDOB=2 342CD=3例7题图例例8如图，如图，AB是是O的直径，的直径，PB与与O相切于点相切于点B，过点，过点B作作BCOP交交O于点于点C，垂足为点，垂足为点
14、D，连接，连接PC并延长与并延长与BA的延长线交于点的延长线交于点M.若若 ，求，求 的值的值19ODDP MCCP例8题图解：如解图，连接解：如解图，连接OC、AC，OCOB，BCOP，COPBOP.OPOP，PCOPBO(SAS)，OCPOBP.例8题图PB是是O的切线，的切线，OBP90，OCP90.OCPCDO90，OCDCODCPOCOD，OCDCPO，OCDOPC，OC2ODOP.，设设ODx，DP9x，OP10 x，OC x，OCODOPOC=19ODDP=10例8题图在在RtODC中，中，DC 3x，AB2 ，BC6x，AB为为O直径，直径，ACB90，在在RtACB中，中，A
15、C 2x.ACMACOOCDACO90，ACMOCD，ACMCPO，ACOP，ACMOPM，.22OCOD 10 x22ABBC 21105CMACxPMOPx=14MCCP=满 分 技 法满 分 技 法运用切线的性质进行计算或证明时，常作的辅助线有连接圆心、切点运用切线的性质进行计算或证明时，常作的辅助线有连接圆心、切点和构造直径所对的圆周角，然后利用垂直构造直角三角形解决问题；和构造直径所对的圆周角，然后利用垂直构造直角三角形解决问题；观察题干，若题干中含观察题干，若题干中含30、45、60或或“等腰直角三角形等腰直角三角形”、“等等边三角形边三角形”等字眼，则常用锐角三角函数或者勾股定理
16、；若不含，则等字眼，则常用锐角三角函数或者勾股定理；若不含，则常用相似三角形常用相似三角形设问突破设问突破3证明线段数量、位置关系证明线段数量、位置关系例例9如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，以，以AB为直径的为直径的O交交BC于点于点D，连，连接接OD，过点，过点D作作O的切线的切线DE，交，交AC于点于点E.求证：求证：DEAC.例9题图证明：证明：OBOD，ABCODB.ABAC，ABCACB，ODBACB，ODAC.DE是是O的切线，的切线，OD是是O的半径，的半径，DEOD，DEAC.例例10如图，如图，PA，PB是是O的切线，的切线，A，B为切点，连接为切点，连接AO并延长，
17、交并延长，交PB的延长线于点的延长线于点C，连接，连接PO，交，交O于点于点D，连接，连接DB，若，若C30，求证：求证：DBAC.例10题图证明：如解图，连接证明：如解图，连接OB，PA，PB是是O的切线，的切线，OAPA，OBPB.OAOB，PO平分平分APC，即，即APOBPO，OAAP，C30，APC90C903060，OPC APC 6030，POB90OPC903060.又又ODOB，ODB是等边三角形，是等边三角形，OBD60，DBPOBPOBD906030，DBPC，DBAC.例10题图1212例例11如图，如图，AB是是O的直径，的直径，AC是是O的切线，且的切线，且ABAC
18、，连接，连接BC、CO，过点，过点A作作ADCO于点于点D，延长，延长AD，交，交O于点于点F，连接，连接BF.求证：求证：ADBF.例11题图证明：证明：AB是是O的直径，的直径，F90，FABFBA90.AC是是O的切线，的切线，CAB90，FABCAF90，FBACAF.ABAC，FCDA90，CADABF(AAS)，ADBF.例例12如图，以如图，以RtABC的直角边的直角边AB为直径作为直径作O交斜边交斜边AC于点于点D，过，过圆心圆心O作作OEAC，交，交BC于点于点E，连接，连接DE.求证：求证：2DE2CDOE.例12题图证明：如解图，连接证明：如解图，连接BD，AB是是O的直
19、径，的直径，ADBBDC90.OEAC，OAOB，OE是是ABC的中位线，的中位线，AC2OE，BECE，DEBECE.例12题图BDCABC90，CC，BCDACB，BC2CDAC，4DE2CDAC.AC2OE，4DE2CD2OE，2DE2CDOE.BCCDACCB=例例13如图，在如图，在ABC的边的边BC上取一点上取一点O，以，以O为圆心，为圆心，OC为半径画为半径画O，O与边与边AB相切于点相切于点D，ACAD，连接，连接OA交交O于点于点E，连接，连接CE，并延长交线段，并延长交线段AB于点于点F.若若F是是AB的中点，求证：的中点，求证：AFBDCE.例13题图证明：如解图，连接证
20、明：如解图，连接OD，DE，O与边与边AB相切于点相切于点D，ODAB，即，即ADO90.AOAO，ACAD，OCOD，ACOADO(SSS)，ACOADO90，AOCAOD.例13题图又又CODO，OEOE，COEDOE(SAS)，OCEODE，CEDE.OCOEOD，OCEOECOEDODE，DEF180OECOED1802OCE.点点F是是AB中点，中点，ACB90，CFBFAF，FCBFBC，DFE180FCBFBC1802FCB1802OCEDEFDFE，DEDFCE，AFBFBDDFBDCE.满 分 技 法满 分 技 法1.证明切线垂直于非半径的线段的方法：易证连切点的半径垂直于切
21、证明切线垂直于非半径的线段的方法：易证连切点的半径垂直于切线，根据同位角相等、内错角相等或同旁内角互补先证得连切点的半线，根据同位角相等、内错角相等或同旁内角互补先证得连切点的半径平行于非半径的线段，再根据平行线的性质证得切线与非半径的线径平行于非半径的线段，再根据平行线的性质证得切线与非半径的线段夹角为段夹角为90，从而得证，从而得证2.证明两线段相等的方法：证明两线段相等的方法：(1)若所证两线段相连共线，则可以考虑等腰三角形若所证两线段相连共线，则可以考虑等腰三角形“三线合一三线合一”或直角或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明；三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明；满 分 技
22、法满 分 技 法(2)若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，利用等腰或等边三角形等角对等边来证明；中，利用等腰或等边三角形等角对等边来证明；(3)若所证两线段不共线但在有公共边的两个三角形中，则可以考虑利若所证两线段不共线但在有公共边的两个三角形中，则可以考虑利用全等三角形来证明；用全等三角形来证明；(4)若所证两线段平行，则可以考虑利用平行四边形对边相等来证明若所证两线段平行，则可以考虑利用平行四边形对边相等来证明设问突破设问突破4角度问题角度问题例例14如图，如图，AB为为O的直径，的直径，C为为O上一点，上
23、一点，O的切线的切线BD交交OC的的延长线于点延长线于点D.求证：求证：DBCOCA.例14题图证明：证明：AB为为O的直径，的直径，ACB90.OCAOCB90.BD为为O的切线，的切线，ABBD，DBCOBC90.OBOC，OCBOBC，DBCOCA.例例15如图，点如图，点O是是ABC的边的边AB上一点，以上一点，以OB为半径的为半径的O与边与边AC相切于点相切于点E，与边，与边BC，AB分别相交于点分别相交于点D，F，且，且DEEF.求证：求证：C90.例15题图证明：如解图，连接证明：如解图，连接OE，BE，DEEF，OBEDBE.OEOB，OEBOBE，OEBDBE，OEBC.O与
24、边与边AC相切于点相切于点E，OEAC，BCAC，C90.DEEF例例16如图，四边形如图，四边形OABC是平行四边形，以点是平行四边形，以点O为圆心，为圆心，OC为半径的为半径的O与与AB相切于点相切于点B，与，与AO相交于点相交于点D，AO 的延长线交的延长线交O于点于点E，连，连接接EB交交OC于点于点F，求，求C和和E的度数的度数例16题图解：如解图，连接解：如解图，连接OB.AB与与O相切于点相切于点B，OBAB，OBA90.四边形四边形OABC是平行四边形，是平行四边形，AOBC，ABOC，BOCOBA90.OBOC，OCB为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，COBC45.AOBC
25、，AOB45.E AOB 4522.5.1212例16题图满 分 技 法满 分 技 法证明两角相等的方法：证明两角相等的方法：(1)在两个直角三角形中通过同角或等角的余角相等来证明；在两个直角三角形中通过同角或等角的余角相等来证明；(2)利用半径相等，转化到等腰三角形中利用等边对等角来证明利用半径相等，转化到等腰三角形中利用等边对等角来证明内蒙古中考真题及拓展内蒙古中考真题及拓展1命题点命题点 与切线性质有关的证明与计算与切线性质有关的证明与计算(包头包头5考，呼和浩特考，呼和浩特3考考)1.(2023包头包头18题题3分分)如图，如图，BD是是O的直径，的直径，A是是O外一点，点外一点，点C
26、在在O上，上，AC与与O相切于点相切于点C，CAB90，若，若BD6，AB4，ABCCBD，则弦，则弦BC的长为的长为_第1题图2 62.(2021包头包头18题题3分分)如图，在如图，在 ABCD中，中，AD12，以，以AD为直径的为直径的O与与BC相切于点相切于点E，连接，连接OC.若若OCAB，则，则 ABCD的周长为的周长为_第2题图246 5 3.(2023呼和浩特呼和浩特16题题3分分)已知已知AB为为O的直径且长为的直径且长为2r，C为为O上异上异于于A，B的点，若的点，若AD与过点与过点C的的O的切线互相垂直，垂足为的切线互相垂直，垂足为D.若等腰若等腰三角形三角形AOC的顶角
27、为的顶角为120，则，则CD r；若若AOC为正三角形，则为正三角形，则CD r；若等腰三角形若等腰三角形AOC的对称轴经过点的对称轴经过点D，则，则CDr；无论无论点点C在何处，将在何处，将ADC沿沿AC折叠，点折叠，点D一定落在直径一定落在直径AB上，其中正确结上，其中正确结论的序号为论的序号为_12324.(2022包头包头24题题10分分)如图，如图，AB是是O的直径，半径的直径，半径OCAB，垂足为，垂足为O，直线直线l为为O的切线，的切线，A是切点，是切点，D是是OA上一点，上一点，CD的延长线交直线的延长线交直线l于于点点E，F是是OB上一点，上一点，CF的延长线交的延长线交O于
28、点于点G，连接，连接AC，AG，已知，已知O的半径为的半径为3，CE ，5BF5AD4.第4题图34第4题图(1)求求AE的长；的长；(1)解：解：如解图，过点如解图，过点C作作CHl于点于点H，则则AHC90.直线直线l为为O的切线，的切线，A是切点，是切点，OCAB，AOCOAH90，四边形四边形AOCH是矩形是矩形OAOC，四边形四边形AOCH是正方形，是正方形，AHCHOC3.在在RtEHC中，中，EH 5，AEEHAH2；22CECH H(2)求求cosCAG的值及的值及CG的长的长第4题图H(2)解：解：OCAB，AOCBOC90，AGCCAB45.GCAACF，GCAACF，CA
29、GCFA.在在RtEAD和和RtEHC中，中，tanAEDtanHEC，即即 ，解得，解得AD .ADCHAEEH=325AD=655BF5AD4，BF2.OB3，OF1，在在RtCOF中，中，CF ，cosCAGcosCFA .GCAACF，.在在RtAOC中，中，AC 3，解得解得CG .1010OFCF=ACCGFCCA=3 2103 2CG=22OAOC 2210OCOF 9 105第4题图H5.(2021呼和浩特呼和浩特23题题10分分)已知已知AB是是O的任意一条直径的任意一条直径(1)用图用图，求证：，求证：O是以直径是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；所在直线为对称轴的轴
30、对称图形；第5题图(1)证证明：如解图，设明：如解图，设P是是O上点上点A、B以外任意一以外任意一点，过点点，过点P作作PPAB，交，交O于点于点P，垂足为，垂足为M，若若M与圆心与圆心O不重合，连接不重合，连接OP，OP，在在OPP中，中，OPOP，OPP是等腰三角形是等腰三角形又又PPAB，PMMP，则则AB是是PP的垂直平分线的垂直平分线若若M与圆心与圆心O重合，显然重合，显然AB是是PP的垂直平分线，的垂直平分线，这就是说，对于圆上任意一点这就是说，对于圆上任意一点P，在圆上都有关于直线，在圆上都有关于直线AB的对称点的对称点P，因此因此O是以直径是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图
31、形；所在直线为对称轴的轴对称图形；第5题图PPM(2)已知已知O的面积为的面积为4，直线，直线CD与与O相切于点相切于点C，过点，过点B作作BDCD，垂足为垂足为D，如图，如图.求证：求证：BC22BD；12第5题图(2)如解图，连接如解图，连接AC，OC，则则BCA90，设设O半径为半径为r，由，由r24，可得，可得r2，AB4.C是切点，是切点，OCCD.BDCD，OCBD，第5题图OCBDBC.OCOB，OCBOBC，DBCOBC.又又BCABDC90，ACBCDB，BC2ABBD4BD，BC22BD；BCBDABBC=12改变图改变图中切点中切点C的位置，使得线段的位置，使得线段ODB
32、C时，时，OD2 .2由由可知可知CBDOBC与切点与切点C的位置无关，的位置无关，ODBC，BDOB.OCB是等腰三角形，是等腰三角形，BC与与OD互相垂直平分互相垂直平分又又BDC90，四边形四边形BOCD是边长为是边长为2的正方形，的正方形，OD2 .2第5题图2命题点命题点 与切线判定有关的证明与计算与切线判定有关的证明与计算6.(2020赤峰赤峰23题题12分分)如图，如图，AB是是O的直径，的直径，AC是是O的一条弦，点的一条弦，点P是是O上一点，且上一点，且PAPC，PDAC，与，与BA的延长线交于点的延长线交于点D.第6题图第6题图(1)求证：求证：PD是是O的切线；的切线；(
33、1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接OP，PAPC，OPAC.PDAC，OPPD.OP是是O的半径，的半径，PD是是O的切线；的切线；APPC(2)若若tanPAC ，AC12.求直径求直径AB的长的长23第6题图(2)解：由解：由(1)知知AHODPO90.PAPC，AHHC AC6.tanPAC ，PH AH4.在在RtAOH中，中，OA2AH2OH2，OA236(OA4)2，解得解得OA ，AB2OA13.1223PHAH=231327.(2021赤峰赤峰24题题12分分)如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于点相交于点M，O经过点经过点B，C，交对角线
34、，交对角线BD于点于点E，且，且 ，连接，连接OE交交BC于点于点F.(1)试判断试判断AB与与O的位置关系，并说明理由；的位置关系，并说明理由；CEBE第7题图解：解：(1)AB是是O的切线，理由如下：的切线，理由如下：如解图，连接如解图，连接OB，OEOB，OEBOBE.四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，AC、BD是其对角线，是其对角线，ABDCBD.，OE是是O的半径，的半径，OEBC，BFE90，OEBCBE90，ABDOBE90，OBAB，OB是是O的半径，的半径，AB是是O的切线；的切线；CEBE第7题图(2)若若BD ，tanCBD ，求，求O的半径的半径.323512第7题图
35、Rt2232331163,251tan,218 3,258 15,5,ABCDACBDBDBMBDACBDCMCMBCBDBMCMBMBCBMCMCEBE OEO 四四边边形形是是菱菱形形，、是是其其对对角角线线，在在中中，弧弧弧弧是是圆圆 的的半半径径，第7题图RtRt22222214 15.251tan,212 15,252 15,5,(2)4,1515.BFBCEFBEFCBDOEBCBFEFBFOrOFrOFBOFBFOBrrrO 在在中中，设设圆圆 的的半半径径为为 则则的的长长为为，在在中中，即即解解得得 ，圆圆 的的半半径径为为拓 展 训 练拓 展 训 练8.(2023通辽通辽)
36、如图，如图，AB是是O的直径，过点的直径，过点A作作O的切线的切线AC，点，点P是射是射线线AC上的动点，连接上的动点，连接OP，过点，过点B作作BDOP，交，交O于点于点D，连接，连接PD.第8题图(1)求证：求证：PD是是O的切线；的切线；(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接OD，则则ODOAOB，AC是是O的切线，的切线，CAB90.BDOP，ODBPOD，BPOA.又又ODOB，BODB.POAPOD.第8题图在在PAO和和PDO中，中，PAOPDO(SAS)PDOPAO90.OD是是O的半径，的半径，PD是是O的切线；的切线；,POPOPOAPODOAOD 第8题图(2)当四边形当四边形POBD是平行四边形时，求是平行四边形时，求APO的度数的度数(2)解：如解图，连接解：如解图，连接OD，四边形四边形POBD是平行四边形，是平行四边形，PDOB，PDOB.OBOA，PDOA.四边形四边形PAOD是平行四边形是平行四边形又又ODOA，四边形四边形PAOD是菱形是菱形又又PAO90，四边形四边形PAOD是正方形是正方形 APO45.PD第8题图
