1、1.(2019湖南怀化,24,14分)如图,在直角坐标系中有RtAOB,O为坐标原点,OB=1,tanABO=3,将此三角形 绕原点O顺时针旋转90,得到RtCOD,二次函数y=-x2+bx+c的图象刚好经过A,B,C三点. (1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标; (2)过定点Q的直线l:y=kx-k+3与二次函数图象相交于M,N两点. 若SPMN=2,求k的值; 证明:无论k为何值,PMN恒为直角三角形; 当直线l绕着定点Q旋转时,PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动,直接写出该抛物线的表达式.,解析 (1)OB=1,tanABO=3,则OA=3,OC=3, 即点A、B、C的坐标分别为(0,
2、3)、(-1,0)、(3,0), 设二次函数表达式为y=a(x-3)(x+1)=a(x2-2x-3), 将A点坐标代入,解得a=-1, 故二次函数表达式为y=-x2+2x+3. y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 顶点P的坐标为(1,4). (2)由题意得 整理得x2-(2-k)x-k=0, 设点M、N的坐标为(x1,y1)、(x2,y2), 则x1+x2=2-k,x1x2=-k, 故y1+y2=k(x1+x2)-2k+6=6-k2,同理y1y2=9-4k2. 由y=kx-k+3=k(x-1)+3,知定点坐标为(1,3),即点Q(1,3), SPMN=2= PQ(x2-x1),则x2-
3、x1=4, 由|x2-x1|= , 解得k=2 . 证明:点M、N的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),点P(1,4), 设直线PM的表达式为y=k1x+b1,直线PN的表达式为y=k2x+b2, k1= ,k2= , k1k2= = =-1, 故PMPN, 即PMN恒为直角三角形.,取MN的中点H,则点H是PMN外接圆圆心, 设点H坐标为(x,y), 则x= =1- k, y= (y1+y2)= (6-k2), 整理得y=-2x2+4x+1, 即该抛物线的表达式为y=-2x2+4x+1.,2.(2019湖南长沙,26,10分)如图,抛物线y=ax2+6ax(a为常数,a0)与x轴交于O,A
4、两点,点B为抛物线的顶点,点D 的坐标为(t,0)(-3t0),连接BD并延长与过O,A,B三点的P相交于点C. (1)求点A的坐标; (2)过点C作P的切线CE交x轴于点E. 如图1,求证CE=DE; 如图2,连接AC,BE,BO,当a= ,CAE=OBE时,求 - 的值.,图1 图2,解析 (1)由ax2+6ax=0得ax(x+6)=0, x=0或x=-6,A点坐标为(-6,0). (2)证明:如图,连接CP并延长交P于点F,连接FO,OC,AC,AB,OB, CE是P的切线,FCCE,即ECO+FCO=90, CF是直径, COF=90,CFO+FCO=90, ECO=CFO, 又CFO
5、=CAO,ECO=CAO, B是抛物线的顶点,AB=OB, ACB=OCB, 又CDE=CAO+ACB,ECD=ECO+OCB, CDE=ECD, CE=DE.,如图,连接AB, 当a= 时,y= x2+2 x= (x+3)2-3 , B(-3,-3 ), 易求AB=OB=OA=6, ABO是边长为6的等边三角形,CAE=OBE,CAE=CBO, CBO=OBE. ADB=AOB+CBO=60+CBO,ABE=ABO+OBE=60+OBE, ADB=ABE,又BAE为公共角, ABDAEB, = , 即AB2=ADAE=(OA-OD)(OA+OE), 62=(6-OD)(6+OE),整理得OD
6、OE=6(OE-OD), 即 = , - = .,解题关键 本题考查的是二次函数与圆的综合问题,涉及二次函数图象与x轴的交点坐标、切线的性质、 等腰三角形的判定等知识.会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键.,3.(2017湖南长沙,26,10分)如图,抛物线y=mx2-16mx+48m(m0)与x轴交于A,B两点(点B在点A的左侧),与y轴交 于点C,点D是抛物线上的一个动点,且位于第四象限,连接OD,BD,AC,AD,延长AD交y轴于点E. (1)若OAC为等腰直角三角形,求m的值; (2)若对任意m0,C,E两点总关于原点对称,求点D的坐标(用含m的式子表示); (3)当点D运动到某一位
7、置时,恰好使得ODB=OAD,且点D为线段AE的中点,此时对于该抛物线上任意一 点P(x0,y0),总有n+ -4 m -12 y0-50成立,求实数n的最小值.,解析 (1)由已知得,y=m(x2-16x+48)=m(x-12)(x-4), 令y=0,解得x1=12,x2=4, A(12,0),B(4,0).OAOC,OAC为等腰直角三角形,OA=OC,点C的坐标为(0,12), 48m=12,解得m= . (2)由题意知,点E的坐标为(0,-48m),故设直线AE的表达式为y=kx-48m(k0), 把(12,0)代入,得k=4m, 直线AE的表达式为y=4mx-48m, 由 整理得mx2
8、-20mx+96m=0, m0,x2-20x+96=0,解得x1=8,x2=12, 当x=8时,y=32m-48m=-16m, 点D的坐标为(8,-16m).,(3)BOD=DOA,ODB=OAD, BODDOA, = , OD2=OAOB=412=48,OD=4 , 如图,过点D作DFx轴于点F. D为RtOAE斜边AE上的中点,A(12,0), 点D的横坐标为6,即OF=6,在RtODF中,DF= = =2 , 点D的坐标为(6,-2 ), 将其代入抛物线的表达式,得m= , y= x2- x+8 = (x-8)2- - , 又n+ -4 m -12 y0-50=-2(y0+3 )2+4,
9、 n-2(y0+3 )2+ ,又y0- , n-2 + = ,实数n的最小值为 .,思路分析 (1)令y=0,求得x的值,从而得到点A,B的坐标,再根据等腰三角形的性质求解即可; (2)求出直线AE的表达式,然后联立直线AE和抛物线的方程,即可求得点D的坐标; (3)可证BODDOA,列出比例式可求得OD,过点D作DFx轴于点F,进而可求得点D的坐标,将点D的坐 标代入抛物线的表达式求出m的值,得到抛物线的表达式,再根据点P(x0,y0)为抛物线上任意一点,可得 y0- ,然后根据二次函数的性质求解.,4.(2017湖南益阳,22,14分)如图1,直线y=x+1与抛物线y=2x2相交于A、B两
10、点,与y轴交于点M,M、N关于x轴对 称,连接AN、BN. (1)求A、B的坐标; 求证:ANM=BNM; (2)如图2,将题中直线y=x+1变为y=kx+b(b0),抛物线y=2x2变为y=ax2(a0),其他条件不变,那么ANM= BNM是否仍然成立?请说明理由.,图1 图2,解析 (1)由已知得2x2=x+1,解得x=- 或x=1, 当x=- 时,y= ;当x=1时,y=2. A、B两点的坐标分别为 ,(1,2). 证明:如图,过A作ACy轴于C,过B作BDy轴于D. 由及已知有A ,B(1,2),OM=ON=1,tanANM= = = , tanBNM= = = , tanANM=ta
11、nBNM,ANM=BNM. (2)ANM=BNM成立. 理由:当k=0时,ABN是关于y轴对称的轴对称图形, ANM=BNM. 当k0时,根据题意得:OM=ON=b,设A(x1,a )、B(x2,a ). 如图,过A作AEy轴于E,过B作BFy轴于F.,由题意可知:ax2=kx+b,即ax2-kx-b=0, x1+x2= ,x1x2=- , - = - = =,= =0, = ,又BFN=AEN=90, RtAENRtBFN,ANM=BNM.,5.(2017湖南张家界,23,10分)已知抛物线C1的顶点为A(-1,4),与y轴的交点为D(0,3). (1)求C1的解析式; (2)若直线l1:y
12、=x+m与C1仅有唯一的交点,求m的值; (3)若抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2,平行于x轴的直线记作l2:y=n.试结合图形回答:当n为何值时,l2与 C1和C2共有:两个交点;三个交点;四个交点; (4)若C2与x轴正半轴交点记作B,试在x轴上求点P,使PAB为等腰三角形.,解析 (1)抛物线C1的顶点为A(-1,4), 设C1的解析式为y=a(x+1)2+4(a0), 抛物线C1与y轴的交点为D(0,3), 3=a+4,即a=-1, y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3. (2)直线l1:y=x+m与C1仅有唯一的交点, x+m=-x2-2x+3,即x2+3x+m-3=0, =9-4(m-3)=0,解得m= . (3)当n=4时,l2与C1和C2共有两个交点; 当n=3时,l2与C1和C2共有三个交点; 当3n4或n3时,l2与C1和C2共有四个交点. (4)抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2,C2:y=-x2+2x+3. C2与x轴正半轴交点记作B,则点B(3,0), 点A(-1,4), AB= =4 , 当PB=AB时,点P(3-4 ,0)或(3+4 ,0); 当PA=AB时,点P(-5,0); 当PA=PB时,点P(-1,0). 综上所述,当点P为(3-4 ,0)或(3+4 ,0)或(-5,0)或(-1,0)时,PAB为等腰三角形.,
