1、A组 20152019年山东中考题组题组,考点一 锐角三角函数,1.(2018枣庄,11,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AEBD,垂足为F,则tanBDE的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 四边形ABCD是矩形,ADBC,AD=BC,ADFEBF, = = .点E是边BC的 中点,AD=BC, = = =2.设EF=x(x0),则AF=2x,易证ABFBEF, = ,BF2=AFEF=2x2,BF= x. =2,DF=2 x.在RtDEF中,tanBDE= = = . 故选A.,2.(2018日照,10,3分)如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的O
2、的圆心O在格点上,则BED的 正切值等于 ( ) A. B. C.2 D.,答案 D 如图,在RtABC中,AB=2,BC=1, tanBAC= = .BED=BAD,tanBED= .,3.(2018滨州,15,5分)在ABC中,C=90,若tan A= ,则sin B= .,答案,解析 设RtABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,因为C=90,tan A= ,所以设a=1,则b=2,c= ,所以 sin B= = .,考点二 解直角三角形 (2018泰安,14,3分)如图,O是ABC的外接圆,A=45,BC=4,则O的直径为 .,答案 4,解析 如图,连接OB,OC,A=45,O
3、=2A=245=90,在RtOBC中,OC=BCsin 45=4 =2 , O的直径为4 .,考点三 解直角三角形的应用,1.(2019泰安,8,4分)如图,一艘船由A港沿北偏东65方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西40方向航行至 C港,C港在A港北偏东20方向,则A,C两港之间的距离为 ( ) A.(30+30 )km B.(30+10 )km C.(10+30 )km D.30 km,答案 B 根据题意得CAB=65-20=45,ACB=40+20=60,AB=30 km, 过B作BEAC于E, AEB=CEB=90, 在RtABE中,BAE=45,AB=30 km, AE=BE=
4、AB=30 km, 在RtCBE中,ECB=60, CE= BE=10 km, AC=AE+CE=(30+10 )km, A,C两港之间的距离为(30+10 )km, 故选B.,思路分析 根据题意得,CAB=65-20=45,ACB=40+20=60,AB=30 km,过B作BEAC于E,解直角 三角形即可得到结论.,2.(2019德州,15,4分)如图,一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时测得ABO=70,如果梯子的 底端B外移到D,则梯子顶端A下移到C,这时又测得CDO=50,那么AC的长度约为 米.(sin 700. 94,sin 500.77,cos 700.34,cos
5、 500.64),答案 1.02,解析 在RtABO中,ABO=70,AB=6 米, sin 70= = 0.94, 解得AO=5.64(米), 在RtCOD中,CDO=50,DC=6米, sin 50= 0.77, 解得CO=4.62(米), 则AC=5.64-4.62=1.02(米). 即AC的长度约为1.02米.,思路分析 先在直角三角形ABO中求出OA,再在直角三角形OCD中求出OC,最后求出AC的长度.,3.(2018济宁,14,3分)如图,在一笔直的海岸线l上有相距2 km的A、B两个观测站,B站在A站的正东方向上,从 A站测得船C在北偏东60的方向上,从B站测得船C在北偏东30的
6、方向上,则船C到海岸线l的距离是 km.,答案,解析 如图所示,过点C作CHl,垂足为H.由题意得ACH=60,CBH=60,BCH=30.设CH=x km,在Rt ACH中,AH=CHtanACH=xtan 60= x km.在RtBCH中,BH=CHtanBCH=xtan 30= x km.因为 AH-BH=AB,所以 x- x=2,解得x= ,即船C到海岸线l的距离是 km.,方法规律 解决解直角三角形的应用题一般有以下几个步骤: (1)把实际问题转化为数学问题,转化的过程要注意识别方向角,仰角,俯角和坡度等概念; (2)分析题目中的已知条件和要求的线段的关系; (3)用逆推法找出已知条
7、件和未知量之间需要用哪些中间量(线段或角); (4)解直角三角形(有时还需先构造直角三角形); (5)写出答案.,4.(2018潍坊,18,3分)如图,一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向 上,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在 北偏东60方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速,若以75海里/小时的速度继续航 行,则 小时即可到达.(结果保留根号),答案,解析 过点P作PQAB,垂足为Q,过点M作MNAB,垂足为N. AB=601.5=90海里,设PQ=MN=x海里,由点P在
8、点A的东北方向可知,PAQ=45, AQ=PQ=x海里,BQ=(x-90)海里, 在RtPBQ中,PBQ=90-30=60,tan 60= = , 解得x=135+45 . 经检验,x=135+45 是分式方程的解,且符合题意. 在RtBMN中,MBN=90-60=30, BM=2MN=2x=2(135+45 )=(270+90 )海里, 航行时间为 = 小时.,思路分析 解题的关键是构造直角三角形,先过点P作PQAB,垂足为Q,过点M作MNAB,垂足为N.设PQ= MN=x海里,解RtAPQ和RtPBQ求得x的值,再解RtBMN求出BM的长度,利用路程、速度和时间的关系 解答即可.,5.(2
9、019潍坊,20,6分)自开展“全民健身运动”以来,喜欢户外步行健身的人越来越多,为方便群众步行健身, 某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示,改造前的斜坡AB=200米,坡度为1 ;将斜坡 AB的高度AE降低AC=20米后,斜坡AB改造为斜坡CD,其坡度为14.求斜坡CD的长.(结果保留根号),解析 在RtABE中,tanABE=1 , ABE=30. (1分) AB=200,AE=100. (2分) AC=20,CE=100-20=80. (3分) 在RtCDE中,tan D=14, sin D= , (4分) = , (5分) CD=80 . 答:斜坡CD的长是80 米.
10、 (6分),6.(2019聊城,22,8分)某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度(如图所示,CD部分),在起点A处测 得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45,底端D点的仰角为30,在同一剖面沿水平地面向前走20米到达 B处,测得顶端C的仰角为63.4(如图所示),求大楼部分楼体CD的高度约为多少米.(精确到1米) (参考数据:sin 63.40.89,cos 63.40.45,tan 63.42.00, 1.41, 1.73),解析 设楼高CE为x米, 在RtAEC中,CAE=45, AE=CE=x, AB=20, BE=x-20, 在RtCEB中,CE=BEtan 63.42(x-2
11、0), 2(x-20)=x, 解得x=40(米), 在RtDAE中,DE=AEtan 30=40 = , CD=CE-DE=40- 17(米). 答:大楼部分楼体CD的高度约为17米.,思路分析 设楼高CE为x米,于是得到BE=x-20,分别解RtAED和RtCEB 即可得到结论.,7.(2019临沂,22,7分)鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山.如图,施工方计划沿AC方向开挖隧道, 为了加快施工速度,要在小山的另一侧D(A、C、D共线)处同时施工.测得CAB=30,AB=4 km,ABD=105 ,求BD的长.,解析 作BEAD于点E, CAB=30,AB=4 km, ABE=60,
12、BE=2 km, ABD=105, EBD=45, EDB=45, BE=DE=2 km, BD= =2 km, 即BD的长是2 km.,思路分析 作BEAD于E,根据CAB=30,AB=4 km,可以求得BE的长和ABE的度数,进而求得EBD的 度数,然后利用勾股定理即可求得BD的长.,8.(2019威海,22,9分)如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图.已知汽 车货厢高度BG=2米,货厢底面距地面的高度BH=0.6米,坡面与地面的夹角BAH=,木箱的长(FC)为2米,高 (EF)和宽都是1.6米.通过计算判断:当sin = ,木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时
13、,木箱上部顶点E会不 会触碰到汽车货厢顶部.,解析 在RtABH中,BH=0.6米,sin = , AB= = =1米, AH=0.8米. AF=FC=2米,BF=1米, 作FQBG于点Q,作EPFQ于点P, FB=AB=1,FQB=AHB=90,FBQ=ABH, FBQABH, FQ=AH,BQ=BH, cosFEP=cosBFQ=0.8= , EP=1.60.8=1.28米, BQ+EP=0.6+1.28=1.88米2米,木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部.,思路分析 解决本题关键是比较点E到BM的距离和GB的长度,可作FQBG于点Q,作EPFQ于点P,利用 锐角三角函数、三角形全等求出
14、点E到BM的距离,比较即可解答.,9.(2019青岛,19,6分)如图,某旅游景区为方便游客,修建了一条东西走向的木栈道AB,栈道AB与景区道路CD 平行,在C处测得栈道一端A位于北偏西42方向,在D处测得栈道另一端B位于北偏西32方向.已知CD=120 m,BD=80 m,求木栈道AB的长度(结果保留整数). 参考数据:sin 32 ,cos 32 ,tan 32 ,sin 42 ,cos 42 ,tan 42,解析 过C作CEAB于E,过D作DFAB交AB的延长线于F, 则CEDF,ABCD,CEF=F=90, 四边形CDFE是矩形, EF=CD=120 m,DF=CE.,在RtBDF中,
15、 BDF=32,BD=80 m, DF=BDcos 3280 =68 m, BF=BDsin 3280 = m, BE=EF-BF= m. 在RtACE中,ACE=42,CE=DF=68 m, AE=CEtan 4268 = m. AB=AE+BE= + 139 m. 答:木栈道AB的长度约为139 m.,思路分析 过C作CEAB于E,过D作DFAB交AB的延长线于F,构造两个直角三角形的同时,得到矩形 CDFE,易知EF=CD=120 m,DF=CE,分别解两个直角三角形求得BE,AE的长,即可得AB的长.,10.(2018临沂,22,7分) 如图,有一个三角形的钢架ABC,A=30,C=4
16、5,AC=2( +1)m.请计算说明,工人师 傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m的圆形门.,解析 如图,过点B作BDAC,垂足为D. 在RtABD中,A=30,ABD=90-A=60, AD=tanABDBD= BD; 在RtBCD中,C=45,CD=BD, AC=AD+CD= BD+BD=( +1)BD=2( +1), BD=2 m,又2 m2.1 m, 工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1 m的圆形门.,思路分析 过点B作BDAC,垂足为D,将ABC转化为两个直角三角形,利用解直角三角形求出BD的长,然 后把求得的BD的长与直径2.1 m比较大小即可作出判断.,11.(2018聊
17、城,22,8分)随着我市农产品整体品牌形象“聊胜一筹!”的推出, 现代农业得到了更快发展.某农 场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚,如图1.线段AB,BD分别表示大棚的墙高和跨度,AC表示保 温板的长.已知墙高AB为2米,墙面与保温板所成的角BAC=150,在点D 处测得A点、C点的仰角分别为9, 15.6,如图2.求保温板AC的长约是多少米.(精确到0.1米) 参考数据: 0.86,sin 90.16,cos 90.99,tan 90.16,sin 15.60.27,cos 15.60.96,tan 15.60.2 8,解析 设AC=x米,在RtABD中,tan 9= = , BD=
18、. 过点C作CEBD,垂足为E,过点A作AGCE,垂足为G, 如图,在RtAGC中,BAC=150,CAG=60, sinCAG= ,cosCAG= ,CG=ACsinCAG= xsin 60= x, AG= ACcosCAG= xcos 60= x, ED=BD-BE=BD-AG= - x. 在RtCED中,tanCDE= tan 15.6= , CE=EDtan 15.6= tan 15.6, 又CE=CG+GE= x+2, tan 15.6= x+2, 即 0.28=0.86x+2,解得x=1.5. 答:保温板AC的长约是1.5米.,B组 20152019年全国中考题组,考点一 锐角三角
19、函数,1.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为 ( ) A.3 B. C. D.,答案 A AC=1,BC=3,C=90,tan A= =3.,2.(2018湖北孝感,4,3分)如图,在RtABC中,C=90,AB=10,AC=8,则sin A等于 ( ) A. B. C. D.,答案 A 在RtABC中,AB=10,AC=8,BC= = =6,sin A= = = .,3.(2018江苏常州,8,2分)某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺:在半径为1的半圆形量角 器中,画一个直径为1的圆,把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处
20、,刻度尺可以绕点O旋转,从图中所示 的图尺可读出sinAOB的值是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 如图,连接EF,由题意可知OF=0.8,OE=1, OE是直径,EFO=90, OEF+EOF=EOF+BOF,OEF=AOB, sinAOB=sinOEF= = = ,故选D.,4.(2018浙江宁波,18,4分)如图,在菱形ABCD中,AB=2,B是锐角,AEBC于点E,M是AB的中点,连接MD,ME. 若EMD=90,则cos B的值为 .,答案,解析 延长DM交CB的延长线于F,连接DE,可证AMDBMF,所以AD=BF,DM=FM,又EMD=90,所以 DE=FE.设BE=x
21、,则DE=FE=2+x,在RtABE和RtADE中,由勾股定理得,22-x2=(x+2)2-22,解得x= -1(负值舍 去).所以cos B= .,5.(2017福建,22,10分)小明在某次作业中得到如下结果: sin27+sin2830.122+0.992=0.994 5, sin222+sin2680.372+0.932=1.001 8, sin229+sin2610.482+0.872=0.987 3, sin237+sin2530.602+0.802=1.000 0, sin245+sin245= + =1. 据此,小明猜想:对于任意锐角,均有sin2+sin2(90-)=1. (
22、1)当=30时,验证sin2+sin2(90-)=1是否成立; (2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.,解析 (1)当=30时,sin2+sin2(90-)=sin230+sin260= + = + =1. 所以,当=30时,sin2+sin2(90-)=1成立. (2)小明的猜想成立.证明如下: 如图,ABC中,C=90, 设A=,则B=90-. sin2+sin2(90-)= + = = =1.,考点二 解直角三角形,1.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交AD于 点E,则AE的
23、长为 ( ) A.2 B.3 C. D.,答案 D AC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin 45=4 ,过点E作EFAB于点F,BE是ABC的平分 线,DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30.在RtAEF中,EF= AE,又AD=4 ,DE=EF,AE= AD= ,故选D.,思路分析 首先利用AC的长及C的正弦求出AD的长,然后通过角平分线的性质及直角三角形中30度角 的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长.,2.(2016甘肃兰州,4,4分)在RtABC中,C=90,sin A= ,BC=6,则AB= ( ) A.4 B.6 C.8 D.10,答案 D 在RtAB
24、C中,因为C=90,所以sin A= ,所以 = ,解得AB=10,故选D.,考点三 解直角三角形的应用,1.(2019吉林长春,6,3分)如图,一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹 角为,则梯子顶端到地面的距离BC为 ( ) A.3sin 米 B.3cos 米 C. 米 D. 米,答案 A 因为sin = ,所以BC=ABsin =3sin (米).,2.(2018湖北宜昌,14,3)如图,要测量小河两岸相对的两点P、A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上一 点C,测得PC=100米,PCA=35,则小河宽PA等于 ( ) A.100sin 35米 B.1
25、00sin 55米 C.100tan 35米 D.100tan 55米,答案 C 在RtPCA中,APC=90,tanPCA= ,所以PA=PCtanPCA=100tan 35(米).,3.(2017湖南益阳,7,3分)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,CAB=,则拉线BC的长度 为(A、D、B在同一条直线上) ( ) A. B. C. D.hcos ,答案 B 因为CDAB,ACBC,所以CAB+ACD=90,ACD+BCD=90,所以CAB=BCD=.在 RtBCD中,cos = ,故BC= ,故选B.,4.(2019辽宁大连,15,3分)如图,建筑物BC上有一旗杆A
26、B,从与BC相距10 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53 ,观测旗杆底部B的仰角为45,则旗杆AB的高度约为 m.(结果取整数.参考数据:sin 530.80,cos 5 30.60,tan 531.33),答案 3,解析 连接BC,BDC=45,BCD=90, DBC=180-BCD-BDC =180-90-45 =45, BDC=DBC, BC=DC=10 m. 在RtADC中, tanADC= , tan 53= , AC=10tan 53101.33=13.3 m. AB=AC-BC=13.3-10=3.33 m. 故答案为3.,思路分析 因为BDC=45,BCD=90,所以可得BC=
27、DC=10 m,解直角三角形可求出AC13.3 m,进一步 可求出AB的长度.,5.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面 上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测 到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8米,问旗杆 AB的高度约为多少米? (结果保留整数,参考数据:tan 39.30.82,tan 84.310.02),解析 解法一:由题意知,AEB=FED=45, AEF=90. 在RtAEF中,
28、 =tanAFE=tan 84.3, 在ABE和FDE中,ABE=FDE=90,AEB=FED, ABEFDE, = =tan 84.3, AB=FDtan 84.31.810.02=18.03618. 答:旗杆AB的高度约为18米. 解法二:作FGAB于点G,由题意知,ABE和FDE均为等腰直角三角形, AB=BE,DE=FD=1.8, FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8. 在RtAFG中, =tanAFG,即 =tan 39.3,解得AB=18.218. 答:旗杆AB的高度约为18米.,思路分析 思路一:由题意可确定AEF=90,FED=AEB
29、=45,ABE=FDE=90,从而可推出ABE FDE,最后由相似三角形中对应边的比相等求解;思路二:作FGAB于点G,由题意可推出ABE和FDE 均为等腰直角三角形,在直角三角形AFG中由锐角三角函数求出AB.,6.(2018四川成都,18,8分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海 上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70方向,且与航母相距80海里, 再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37方向.如果航母继续航行至小岛C的正南方向的 D处,求还需航行的距离BD的长. (参考数据:sin 700.94,c
30、os 700.34,tan 702.75,sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75),解析 由题可知ACD=70,BCD=37,AC=80. 在RtACD中,cosACD= ,0.34 ,CD27.2, 在RtBCD中,tanBCD= ,0.75 ,BD20.4. 答:还需要航行的距离BD的长约为20.4海里.,7.(2019新疆,20,10分)如图,一艘海轮位于灯塔P的东北方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段 时间后,到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处. (1)求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离(结果保留根号); (2)若海轮以每小时30
31、海里的速度从A处到B处,试判断海轮能否在5小时内到达B处,并说明理由. (参考数据: 1.41, 1.73, 2.45),解析 (1)过点P作PCAB,垂足为点C, (1分) 由题意得,APC=45,AP=80. (2分) 在RtAPC中,PC=APcos 45=80 =40 . (4分) 海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40 海里. (5分),思路分析 (1)过点P作PCAB于C,构造直角三角形APC,由PA=80,APC=45,求出PC= PA=40 ; (2)解RtAPC,RtPCB,求出AC,BC的长,得出AB=AC+BC=40 +40 ,除以海轮的速度,即可求得海轮从A
32、 处到B处所用的时间,得出结论.,(2)不能.理由如下:由题意得,CPB=60. 在 RtPCB中,BC=PC tan 60=40 =40 , (6分) 在RtAPC中,AC=APsin 45=80 =40 . (7分) AB=AC+BC=40 +40 154.4, (8分) 5.155, 海轮不能在5小时内到达B处. (10分),8.(2019甘肃兰州,25,7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了 探究,过程如下: 问题提出: 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷,要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内。 限
33、度地使冬天温暖的阳光射入室内.,方案设计: 如图2,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD. 数据收集: 通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中,夏至这一天的正午时刻,太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角 ADC最大(ADC=77.44);冬至这一天的正午时刻,太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角BDC最小(BDC=30. 56);窗户的高度AB=2 m. 问题解决: 根据上述方案及数据,求遮阳篷CD的长. (结果精确到0.1 m,参考数据:sin 30.560.51,cos 30.560.86,tan 30.560.59,sin 77.440.98,cos 77.44 0.22
34、,tan 77.444.49),解析 在RtBCD中,BCD=90,BDC=30.56, tanBDC= ,BC=tanBDCCD. 在RtACD中,ACD=90,ADC=77.44, tanADC= ,AC=tanADCCD. AC-BC=AB,tanADCCD-tanBDCCD=2,代入数值可得(4.49-0.59)CD=2,CD0.5. 答:遮阳篷长度约为0.5 m.,思路分析 首先在RtBCD和RtACD中利用正切分别表示出BC和AC的长,再由题图可知AC-BC=AB,代 入数据即可求出CD的长.,9.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、
35、低两根平行杠及若干 支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低 杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答. 如图所示,底座上A,B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,高杠上点D到直 线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4,高杠的支架BD与直线AB 的夹角DBF为80.3.求高、低杠间的水平距离CH的长. (结果精确到1 cm.参考数据:sin 82.40.991,cos 82.40.132,tan 82.47.500,sin 80.30.983,cos
36、 80.3 0.168,tan 80.35.850),解析 在RtCAE中,AE= = 20.7.(3分) 在RtDBF中,BF= = =40. (6分) EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7151. 四边形CEFH为矩形,CH=EF=151. 即高、低杠间的水平距离CH的长约为151 cm. (9分),思路分析 根据RtCAE和RtDBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度,得EF=AE+AB+ BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案.,方法总结 解直角三角形的应用问题,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借助边角关 系、三角函数
37、的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三角形,再解直角三角形, 求出实际问题的答案.,C组 教师专用题组,考点一 锐角三角函数,1.(2018广西柳州,7,3分)如图,在RtABC中,C=90,BC=4,AC=3,则sin B= = ( ) A. B. C. D.,答案 A 在RtABC中,AB= = =5, sin B= = .故选A.,2.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tanBAC的值为 ( ) A. B.1 C. D.,答案 B 如图,连接BC,则BCAB.在RtABC中,AB=BC= = ,tanBAC
38、= =1.,3.(2018湖南娄底,11,3分)如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积是4 9,则sin -cos = ( ) A. B.- C. D.-,答案 D 如图,小正方形的面积为49,大正方形的面积为169, 小正方形的边长是7,大正方形的边长是13, 在RtABC中,AC2+BC2=AB2,即AC2+(7+AC)2=132, 整理得,AC2+7AC-60=0,解得AC=5或AC=-12(舍去), 在RtABC中,AC=5,BC=12,AB=13, sin -cos = - =- .,4.(2017湖南怀化,6,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的
39、坐标为(3,4),那么sin 的值是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 作AB x轴于点B,如图, 点A的坐标为(3,4), OB=3,AB=4, OA= =5, 在RtAOB中,sin = = .故选C.,5.(2016四川达州,7,3分)如图,半径为3的A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧A优弧上一点,则tanOBC 为 ( ) A. B.2 C. D.,答案 C 设A与x轴的另一个交点为D,连接CD.COD=90,CD是A的直径.在RtOCD中,OD= =4 ,tanODC= = . 又OBC=ODC, tanOBC= ,故选择C.,6.(2017江苏无锡,18,2分)在如
40、图所示的正方形方格纸中,每个小四边形都是相同的正方形,A,B,C,D都在格点 处,AB与CD相交于O,则tanBOD的值等于 .,答案 3,解析 如图所示,平移CD到CD,交AB于O, 则BOD=BOD, tanBOD=tanBOD, 设每个小正方形的边长为a, 则OB= = a,OD= =2 a,BD=3a, 作BEOD于点E, 则BE= = = ,OE= = = a, tanBOE= = =3, tanBOD=3.,思路分析 平移CD,使BOD的顶点位于格点上,从而构造直角三角形求解.,解题关键 本题考查解直角三角形,解答本题的关键是作出合适的辅助线,找到直角三角形,利用勾股定理 和等积法
41、求出正切值,从而解决问题.,考点二 解直角三角形 (2015辽宁沈阳,16,4分)如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30后得到正方形BEFG,EF与AD相交于点H,延 长DA交GF于点K,若正方形ABCD的边长为 ,则AK= .,答案 2 -3,解析 如图,延长BA交GF于点N.由旋转的性质得GBN=EBC=30,GB=AB= .在RtGBN中,GB= , GBN=30,BN= = =2,AN=BN-AB=2- . NAK=BAD=90,KNA+NKA=90,KNA+GBN=90,NKA=GBN=30(同角的余角相 等).在RtKAN中,AN=2- ,NKA=30,AK= = =2 -3.,
42、评析 本题考查正方形的性质、旋转的性质和解直角三角形的有关知识,综合性较强.,考点三 解直角三角形的应用,1.(2019重庆A卷,10,4分)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找古树活 动.如图,在一个坡度(或坡比)i=12.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC =26米,在距山脚点A水平距离6米的点E处,测得古树顶端D的仰角AED=48(古树CD与山坡AB的剖面、 点E在同一平面上,古树CD与直线AE垂直),则古树CD的高度约为 ( ) (参考数据:sin 480.74,cos 480.67,tan 481.11) A.17.0米
43、B.21.9米 C.23.3米 D.33.3米,答案 C 延长DC交EA于点F. i= = = , 设CF=5x米,AF=12x米,且x0. 在RtACF中,AC= =13x=26, x=2,CF=10米,AF=24米. AE=6米,EF=EA+AF=6+24=30米. 在RtEDF中,tanAED=tan 48= , DF=EFtan 48301.11=33.3米,CD=DF-CF=33.3-10=23.3米,故选C.,思路分析 延长DC交EA于点F.由题意可得 = ,则设CF=5x米,AF=12x米,且x0.在RtACF中,由勾股 定理得AC= =13x=26,求得CF=10米,AF=24
44、米,从而可得EF=30米.在RtDEF中,由tanAED= ,可求出DF的长,从而求出DC的长.,2.(2017浙江温州,16,5分)小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1).完全开启后,水流路线呈抛物线, 把手端点A、出水口B和落水点C恰好在同一直线上,点A到出水管BD的距离为12 cm,洗手盆及水龙头的相 关数据如图2所示,现用高10.2 cm的圆柱形水杯去接水,若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E,则 点E到洗手盆内侧的距离EH为 cm.,答案 (24-8 ),解析 如图所示,建立直角坐标系,过A作AGOC于点G,交BD于点Q,过M作MPAG于点P, 由题可得,AQ=12,P
45、Q=MD=6,故AP=6,AG=36, 在RtAPM中,MP= =8,故DQ=OG=MP=8, BQ=12-8=4, 由BQCG可得,ABQACG, = ,即 = , CG=12,OC=12+8=20, C(20,0), 水流所在抛物线经过点D(0,24), 可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+24(a0), 把(20,0),(12,24)代入抛物线解析式, 可得 解得 抛物线的解析式为y=- x2+ x+24, 又点E的纵坐标为10.2, 令y=10.2,则10.2=- x2+ x+24,解得x1=6+8 ,x2=6-8 (舍去), 点E的横坐标为6+8 , 又ON=30, EH=30-(
46、6+8 )=24-8 . 即点E到洗手盆内侧的距离EH为(24-8 )cm.,思路分析 先建立合适的平面直角坐标系,再作辅助线构造相似三角形,由此可求得C点坐标,进而结合D、 B、C的坐标确定抛物线的解析式,从而得到点E的横坐标,求得EH.,3.(2019陕西,20,7分)小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午,他和学习小组 的同学们带着测量工具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B,如图所示.于是,他们 先在古树周围的空地上选择了一点D,并在点D处安装了测倾器DC,测得古树的顶端A的仰角为45;再在BD 的延长线上确定一点G,使DG=5 m,并在点G处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿BG方向移动,当移 动到点F时,他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像,
