1、A组 20152019年浙江中考题组,考点一 相似的有关概念及性质,1.(2019杭州,6,3分)如图,在ABC中,点D,E分别在AB和AC边上,DEBC, M为BC边上一点(不与点B,C重合),连接AM交DE于点N,则 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 C DEBC,ADNABM,ANEAMC, = , = , = ,故选C.,2.(2017杭州,3,3分)如图,在ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DEBC.若BD=2AD,则 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 B 利用平行线分线段成比例可得 = = ,故选B.,3.(2016杭州,2,3分)如图
2、,已知直线abc,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C;直线n分别交直线a,b,c于 点D,E,F.若 = ,则 = ( ) A. B. C. D.1,答案 B abc, = ,又 = , = ,故选B.,关键提示 本题考查平行线分线段成比例,关键是找准对应线段.,4.(2015杭州,22,12分)如图,在ABC中(BCAC),ACB=90,点D在AB边上,DEAC于点E. (1)若 = ,AE=2,求EC的长; (2)设点F在线段EC上,点G在射线CB上,以F,C,G为顶点的三角形与EDC有一个锐角相等,FG交CD于点P. 问:线段CP可能是CFG的高还是中线?或两者都有可能?请说明理由
3、.,解析 (1)因为ACB=90,DEAC, 所以DEBC, 所以 = . 因为 = ,AE=2,所以 = , 解得EC=6. (2)如图,若CFG1=ECD, 则线段CP1为RtCFG1的FG1边上的中线. 证明:因为CFG1=ECD, 所以CFG1=FCP1, 又因为CFG1+CG1F=90,FCP1+P1CG1=90, 所以CG1F=P1CG1. 所以CP1=G1P1.,又因为CFG1=FCP1, 所以CP1=FP1, 所以CP1=FP1=G1P1, 所以线段CP1为RtCFG1的FG1边上的中线. 若CFG2=EDC, 则线段CP2为RtCFG2的FG2边上的高. 证明:因为DEAC,
4、 所以DEC=90, 所以EDC+ECD=90,因为CFG2=EDC, 所以ECD+CFG2=ECD+EDC=90, 所以CP2FG2, 即CP2为RtCFG2的FG2边上的高. 当CD为ACB的平分线时,CP既是CFG的FG边上的高又是中线.,评析 本题主要考查了平行线分线段成比例的性质、直角三角形两锐角的关系、等腰三角形的判定、分 类讨论思想的应用,有一定的难度.分类讨论时比较容易遗漏某种情况.,考点二 相似图形的判定,1.(2018绍兴,7,4分)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知ABBD,CD BD,垂足分别为B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,C
5、O=1 m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 ( ) A.0.2 m B.0.8 m C.0.4 m D.0.5 m,答案 C ABBD,CDBD,ABO=CDO=90,又AOB=COD,ABOCDO,则 = ,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m, = ,解得CD=0.4 m,故选C.,2.(2017杭州,15,4分)如图,在RtABC中,BAC=90,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,DEBC于点E,连 接AE,则ABE的面积等于 .,答案 78,解析 DEBC, BAC=DEC,又C=C, ABCEDC, = , 在RtBAC中,AC=20,AB=15, BC=
6、=25, 又AD=5,CD=15,EC= =12,BE=13, SABE= SABC= 1520=78.,思路分析 ABC的面积是很容易求出来的,只要知道BE与BC的比值即可解决问题,又BC容易求得,故将 问题转化为求BE的长度,由ABCEDC可得 = ,从而求出EC,由此即可得出BE.,3.(2016嘉兴,15,5分)如图,已知ABC和DEC的面积相等,点E在BC边上,DEAB交AC于点F,AB=12,EF=9, 则DF的长是 .,答案 7,解析 作AGBC于点G,DHBC于点H, DEAB,ABCFEC, = = , 即 = ,又SABC=SDEC,思路分析 作两三角形的高,利用面积相等及
7、平行的条件列式求出DE长,进而可得DF的长.,4.(2019宁波,25,12分)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线. (1)如图1,在ABC中,AB=AC,AD是ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点.求证:四边形ABEF是邻余四 边形; (2)如图2,在54的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格 点上; (3)如图3,在(1)的条件下,取EF的中点M,连接DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N是AC的中点,DE =2BE,QB=3,求邻余线AB的长.,解析 (1)AB=AC,AD
8、是ABC的角平分线, ADBC. ADB=90. DAB+DBA=90. FAB与EBA互余. 四边形ABEF是邻余四边形. (2)如图所示(答案不唯一),四边形ABEF即为所求. (3)AB=AC,AD是ABC的角平分线, BD=CD.,5.(2018杭州,19,8分)如图,在ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DEAB于点E. (1)求证:BDECAD; (2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.,解析 (1)证明:AB=AC,B=C, 又AD为BC边上的中线,ADBC, DEAB, DEB=ADC=90, BDECAD. (2)易知BD= BC=5, 在RtADB中,AD=
9、 = =12, 由(1)易得 = , = , DE= .,思路分析 (1)由等腰三角形的性质,得B=C,ADBC,因为DEAB,所以DEB=ADC,根据相似三角 形的判定定理,即可解决问题. (2)利用勾股定理求出AD,再利用(1)的结论列式求解.,解题关键 本题考查相似三角形的判定定理和性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基 本知识并灵活应用.,6.(2017杭州,19,8分)如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AGBC于点G,AFDE于点F, EAF=GAC. (1)求证:ADEABC; (2)若AD=3,AB=5,求 的值.,考点三 相似图形的应用,1
10、.(2018杭州,10,3分)如图,在ABC中,点D在AB边上,DEBC,与边AC交于点E,连接BE.记ADE,BCE的 面积分别为S1,S2 ( ) A.若2ADAB,则3S12S2 B.若2ADAB,则3S12S2 D.若2ADAB,则3S12S2,答案 D 由平行线分线段成比例知 = , 当AD=BD时,AE=EC,则DE为ABC的中位线, 此时 = ,即3S1=S四边形BDEC, DE为ABC的中位线,E为AC的中点, 易得SBEC=SBAE,2S2=SABC,2S23S1. 当2AD3S1; 当2ADAB时,AECE,S1变大,S2变小,不能确定2S2与3S1的大小关系,故选D.,2
11、.(2016湖州,10,3分)如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=7.如图2,在底边BC上取一点D,连接AD,使得 DAC=ACD.如图3,将ACD沿着AD折叠,使得点C落在点E处,连接BE,得到四边形ABED.则BE的长是 ( ) A.4 B. C.3 D.2,答案 B 如图,设AE与BC交于点O,C=. AB=AC,ABC=C=,由已知条件及折叠的性质得1=2=3=C=,AE=AC=AB=4, CDACAB,AC2=CDCB,CD= ,BD= . ADO=ADB,2=ABD, ADOBDA,AD2=DODB,又AD=CD,DO= . CO=DO+CD= ,BO=BC-CO=
12、 . BAE=180-4,由AE=AB得ABE=AEB,AEB=2,EAC=2, AEB=EAC,ACBE,ACOEBO, = ,BE= = ,故选B.,关键提示 本题考查了等腰三角形的性质,轴对称的性质,相似三角形的判定与性质.解题的关键是多次运 用相似求出相关线段的长.,3.(2019台州,16,5分)如图,直线l1l2l3,A,B,C分别为直线l1,l2,l3上的动点,连接AB,BC,AC,线段AC交直线l2于 点D,设直线l1,l2之间的距离为m,直线l2,l3之间的距离为n,若ABC=90,BD=4,且 = ,则m+n的最大值为 .,答案,解析 过点B作BEl1于点E,延长EB交l3
13、于点F,过点A作ANl2于点N,过点C作CMl2于点M. 设AE=x,CF=y,则BN=x,BM=y. BD=4,DM=y-4,DN=4-x. ABC=AEB=BFC=CMD=AND=90, EAB+ABE=ABE+CBF=90, EAB=CBF, ABEBCF, = ,即 = , xy=mn. ADN=CDM, CMDAND.,n= m,m+n= m. mn=xy, m2=- x2+10x=- + . m+n= m, 当m取最大值时,m+n的值最大. 当x= 时, m2取最大值,为 ,m最大= , (m+n)最大= = .,4.(2019温州,24,14分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=
14、- x+4分别交x轴、y轴于点B,C,正方形AOCD的顶 点D在第二象限内,E是BC中点,OFDE于点F,连接OE.动点P在AO上从点A向终点O匀速运动,同时,动点Q 在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动,它们同时到达终点. (1)求点B的坐标和OE的长; (2)设点Q2为(m,n),当 = tanEOF时,求点Q2的坐标; (3)根据(2)的条件,当点P运动到AO中点时,点Q恰好与点C重合. 延长AD交直线BC于点Q3,当点Q在线段Q2Q3上时,设Q3Q=s,AP=t, 求s关于t的函数表达式; 当PQ与OEF的一边平行时,求所有满足条件的AP的长.,解析 (1)令y=0,则- x+4
15、=0,x=8,B的坐标为(8,0). 令x=0,则- 0+4=y,y=4,C的坐标为(0,4). 在RtBOC中,BC= =4 . 又E为BC中点,OE= BC=2 . (2)如图1,作EMOC于点M,则EMCD,EMOB,记DE与y轴的交点为N, 图1,CDNMEN, = , E是BC的中点,CE=EB= BC,CM= OC=2, EMOB, = = ,EM= OB=4, CD=OC=4,CD=EM, CN=MN=1,EN= = . ENOF=ONEM, OF= = , 由勾股定理得EF= , tanEOF= , = = . n=- m+4,m=6,n=1,Q2的坐标为(6,1). (3)动
16、点P,Q同时做匀速直线运动, s关于t成一次函数关系,设s=kt+b(k0), 将 和 代入得 解得 s= t- . 当PQOE时(如图2),QPB=EOB=OBE, 作QHx轴于点H,则PH=BH= PB. 图2,BQ=6 -s=6 - t+ =7 - t, 又cosQBH= , BH=14-3t,PB=28-6t, t+28-6t=12,t= . 当PQOF时(如图3),过点Q作QGAQ3于点G,过点P作PHGQ于点H, 易证Q3QGCBO,Q3GQGQ3Q=12 . 图3,Q3Q=s= t- ,Q3G= t-1,QG=3t-2, PH=AG=AQ3-Q3G=6- =7- t, QH=QG
17、-AP=3t-2-t=2t-2. 易证HPQ=CDN, tanHPQ=tanCDN= , 2t-2= ,t= . 由图形可知PQ不可能与EF平行. 综上所述,当PQ与OEF的一边平行时,AP的长为 或 .,5.(2019金华,24,12分)如图,在等腰RtABC中,ACB=90,AB=14 ,点D,E分别在边AB,BC上,将线段ED绕 点E按逆时针方向旋转90得到EF. (1)如图1,若AD=BD,点E与点C重合,AF与DC相交于点O.求证:BD=2DO; (2)已知点G为AF的中点. 如图2,若AD=BD,CE=2,求DG的长; 若AD=6BD,是否存在点E,使得DEG是直角三角形?若存在,
18、求CE的长;若不存在,试说明理由.,解析 (1)由旋转的性质得CD=CF,DCF=90. ABC是等腰直角三角形,AD=BD, ADO=90,CD=BD=AD,DCF=ADC. 在ADO和FCO中, ADOFCO.DO=CO.BD=CD=2DO. (2)如图1,分别过点D,F作DNBC于点N,FMBC于点M,连接BF. 图1,DNE=EMF=90. MEF+MED=NDE+MED=90, NDE=MEF,又DE=EF, DNEEMF,DN=EM. 又BD= AB=7 ,ABC=45,DN=EM=7, BM=BC-ME-EC=5,又MF=NE=NC-EC=5, BF=5 . 点D,G分别是AB,
19、AF的中点, DG= BF= . 过点D作DHBC于点H. AD=6BD,AB=14 ,BD=2 .,i)当DEG=90时,有图2,3两种情况,设CE=t. 易知BH=DH=2,BE=14-t,HE=BE-BH=12-t. 易证DHEECA, = ,即 = , 解得t=62 . CE=6+2 或CE=6-2 . 图2,图3 图4 ii)当DGBC时,如图4. 过点F作FKBC于点K,延长DG交AC于点N,延长AC并截取MN=NA,连接FM.,则NC=DH=2,MC=10. 设GN=t,则FM=2t,BK=14-2t. HDE+DEH=DEH+KEF=90, HDE=KEF, DE=EF,EKF
20、=DHE,DHEEKF. KE=DH=2,KF=HE=14-2t, MC=FK,14-2t=10,得t=2. GN=EC=2,GNEC, 四边形GECN是平行四边形. 又ACB=90, 四边形GECN是矩形,EGN=90. 当EC=2时,有DGE=90. iii)当EDG=90时,如图5.,过点G,F分别作AC的垂线,交射线AC于点N,M,过点E作EKFM于点K,过点D作GN的垂线,交NG的延长线于 点P,则PN=HC=BC-HB=12. 图5 设GN=t,则FM=2t,PG=PN-GN=12-t. 由DHEFKE可得FK=2. CE=KM=2t-2. HE=HC-CE=12-(2t-2)=1
21、4-2t, EK=HE=14-2t.,AM=AC+CM=AC+EK=14+14-2t=28-2t. MN= AM=14-t,NC=MN-CM=MN-EK=t, PD=PH-DH=NC-DH=t-2. 由GPDDHE可得 = ,即 = . 解得t1=10- ,t2=10+ (舍去). CE=2t-2=18-2 . 故CE的长为6-2 ,6+2 ,2或18-2 .,解析 (1)AD平分BAC,BAC=60, DAC= BAC=30, 在RtADC中,DC=ACtan 30=6 =2 . (2)由题意易知BC=6 ,BD=4 , DEAC,FDM=GAM, DM=AM,DMF=AMG, DFMAGM
22、(ASA),DF=AG, DEAC, = = , = = = = . (3)过C,P,G作圆,圆心为Q,CPG=60, CQG是顶角为120的等腰三角形.,当Q与DE相切时,如图,作QHAC于H,延长HQ交DE于P,连接QC,QG. 设Q的半径为r,则QH= r,r+ r=2 , r= ,CG= =4,AG=2, 由DFMAGM,可得 = = = = , DM= AD= = . 当Q经过点E时,如图,延长CQ交AB于K,设CQ=r.,QC=QG,CQG=120,KCA=30. CAB=60,AKC=90, 在RtEQK中,QK=CK-CQ=3 -r,EQ=r,EK=AE-AK=1, 12+(3
23、 -r)2=r2,解得r= , CG= = , 由DFMAGM,得 = , 又AM+DM=AD= 可得DM= .,当Q经过点D时,如图,此时点M,点G与点A重合,可得DM=AD=4 . 观察图象可知:当DM= 或 DM4 时,满足题意.,7.(2018宁波,25,12分)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角 形. (1)已知ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长; (2)如图1,在四边形ABCD中,ADBC,对角线BD平分ABC,BAC=ADC. 求证:ABC是比例三角形; (3)如图2,在(2)的条件下,当ADC=90时,
24、求 的值.,解析 (1) 或 或 . (2)证明:ADBC,ACB=CAD, 又BAC=ADC,ABCDCA, = ,即CA2=BCAD. ADBC,ADB=CBD, BD平分ABC,ABD=CBD, ADB=ABD,AB=AD, CA2=BCAB,ABC是比例三角形. (3)如图,过点A作AHBD于点H.,AB=AD,BH= BD. ADBC,ADC=90,BCD=90, BHA=BCD=90. 又ABH=DBC,ABHDBC, = ,ABBC=DBBH,ABBC= BD2. 又ABBC=AC2, BD2=AC2, = .,8.(2018湖州,23,10分)已知在RtABC中,BAC=90,
25、ABAC,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括端点),且 = =m,连接AE,过点D作DMAE,垂足为点M,延长DM交AB于点F. (1)如图1,过点E作EHAB于点H,连接DH. 求证:四边形DHEC是平行四边形; 若m= ,求证:AE=DF; (2)如图2,若m= ,求 的值.,解析 (1)证明:EHAB,BAC=90, EHCA,BHEBAC, = , = , = , = ,HE=DC, 四边形DHEC是平行四边形. = ,BAC=90,AC=AB, = ,HE=DC, = , 又BHE=90,BH=HE. HE=DC,BH=CD,AH=AD. DMAE,EHAB, EHA=AMF=9
26、0,HAE+HEA=HAE+AFM=90, HEA=AFD, EHA=FAD=90,HEAAFD,AE=DF. (2)过点E作EGAB于G, CAAB,EGCA, EGBCAB, = , = = , = ,EG=CD.,设EG=CD=3x,AC=3y, 由题意得BE=5x,BC=5y, BG=4x,AB=4y, EGA=AMF=90, GEA+EAG=EAG+AFM, AFM=AEG, FAD=EGA=90, FADEGA, = = = .,B组 20152019年全国中考题组,考点一 相似的有关概念及性质,1.(2019甘肃兰州,8,4分)已知ABCABC,AB=8,AB=6,则 = ( )
27、 A.2 B. C.3 D.,答案 B 由相似三角形的性质可得 = = = ,故选B.,2.(2019安徽,7,4分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=12.点D在边BC上,点E在线段AD上,EFAC于 点F,EGEF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为 ( ) A.3.6 B.4 C.4.8 D.5,答案 B 解法一:如图,作DNCA交AB于点N, ACB=90,EFEG,EFAC,EGDN,EFBC. = = . EF=EG,DN=DC. DNCA, = , = , 解得DC=4,故选B. 解法二:过点G作GMAC,垂足为M,交AD于点N. 易知四边形EFMG为正方形
28、,设EG为x,则GM为x. tanBAC= = =2,AM= x, EGAC, EGNAMN, = = =2. GN= x,MN= x, 易证AMNACD, = = = , CD=4.,解题关键 作平行线,利用对应线段成比例或相似比建立等式是解答本题的关键.,3.(2018重庆,5,4分)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm和9 cm, 另一个三角形的最短边长为2.5 cm,则它的最长边为 ( ) A.3 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm,答案 C 设所求最长边为x cm,由题意知两个三角形相似,根据相似三角形的三边对应成比例,可列等
29、式 = ,解得x=4.5,故选C.,4.(2017四川成都,8,3分)如图,四边形ABCD和ABCD是以点O为位似中心的位似图形,若OAOA=23,则 四边形ABCD与四边形ABCD的面积比为 ( ) A.49 B.25 C.23 D. ,答案 A 由位似图形的性质知 = = ,所以 = = .故选A.,5.(2018新疆乌鲁木齐,7,4分)如图,在ABCD中,E是AB的中点,EC交BD于点F,则BEF与DCB的面积比 为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 四边形ABCD是平行四边形,E是AB的中点, = = , = , = , = .,6.(2019甘肃兰州,27,10分)如图,Rt
30、ABC内接于O,ACB=90,BC=2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角 度得到AD,过点D作DEAC于点E,DAE=ABC,DE=1,连接DO交O于点F. (1)求证:AD是O的切线; (2)连接FC交AB于点G,连接FB.求证:FG2=GOGB.,证明 (1)DAE=ABC,且ABC+CAB=90, EAD+CAB=90, DAB=90, 又AO为O的半径, AD为O的切线. (2)如图,由模型可知AEDBCA,AC=DE=1,BC=AE=2, AB=AD= ,AO= ,由(1)知DAB=90, DO= ,易知 = = = ,AEDDAO, EAD=ADO,AEDO,CFO=ACF=ABF
31、, 又FGO=BGF,FGOBGF, = , FG2=GOGB.,考点二 相似图形的判定,1.(2017陕西,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点,连接AE,过点B作BFAE交AE于 点F,则BF的长为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 由题意得AFB=D=BAD=90,FAB+DAE=90,FAB+ABF=90,ABF=DAE, ADEBFA,则 = ,即 = =3,设AF=x(x0),则BF=3x,在RtABF中,由勾股定理得AF2+BF2= AB2,即x2+(3x)2=22,解得x= (负值舍去),所以3x= ,即BF= .故选B.,2.(2
32、018辽宁沈阳,16,3分)如图,ABC是等边三角形,AB= ,点D是边BC上一点,点H是线段AD上一点,连接 BH、CH,当BHD=60,AHC=90时,DH= .,答案,解析 延长AD至点E,使得HE=BH,连接BE、CE, BHD=60,BHE是等边三角形,BH=BE=HE,BEH=60, ABC是等边三角形,AB=BC,ABC=60,ABH=CBE,ABHCBE,3.(2019福建,20,8分)已知ABC和点A,如图. (1)以点A为一个顶点作ABC,使得ABCABC,且ABC的面积等于ABC面积的4倍;(要求:尺规 作图,不写作法,保留作图痕迹) (2)设D,E,F分别是ABC三边A
33、B,BC,CA的中点,D,E,F分别是你所作的ABC三边AB,BC,CA的中点,求 证:DEFDEF.,解析 本小题考查尺规作图、相似三角形的性质与判定、三角形中位线定理等基础知识,考查推理能力. (1) ABC为所求作的三角形. (2)证明:D,E,F分别是ABC三边AB,BC,CA的中点,4.(2019安徽,23,14分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=BC.P为ABC内部一点,且APB=BPC=135. (1)求证:PABPBC; (2)求证:PA=2PC; (3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证: =h2h3.,证明 (1)在ABP中,AP
34、B=135,ABP+BAP=45, 又ABC为等腰直角三角形,ABC=45, 即ABP+CBP=45,BAP=CBP. 又APB=BPC=135,PABPBC. (4分) (2)证法一:由(1)知PABPBC, = = = . 于是, = =2,即PA=2PC. (9分) 证法二:APB=BPC=135,APC=90,CAP45,故APCP.如图,在线段AP上取 点D,使AD=CP. 又CAD+PAB=45,且PBA+PAB=45,CAD=PBA, 又CBP+BCP=CBP+PBA=45,PBA=BCP,CAD=BCP.AC=CB,ADCCPB, ADC=CPB=135,CDP=45,PDC为
35、等腰直角三角形,CP=PD,又AD=CP,PA=2PC. (9分),(3)如图,过点P作边AB,BC,CA的垂线,垂足分别为Q,R,S,则PQ=h1,PR=h2,PS=h3,在RtCPR中, =tanPCR= tanCAP= = , = ,即h3=2h2.又PABPBC,且 = , = ,即h1= h2,于是 =h2h3. (14分),思路分析 (1)结合题意易求ABC=45,从而得出PBA+PBC=45,进而求出PAB=PBC,结合APB =BPC=135,即可证明;(2)证法一:由ABC是等腰直角三角形,即可得出AB和BC之间的关系,再利用(1)中 的相似得到 = = = ,问题解决;证法
36、二:由已知易推APC=90,在线段AP上取点D,使得AD=CP, 然后证明CAD=BCP,从而证明ADCCPB,进一步得出PDC是等腰直角三角形,问题解决;(3)h1,h2 分别为第(1)问中的两个相似三角形中AB和BC边上的高,根据相似三角形的性质可得h1= h2.在RtCPR 中,CR=h3, =tanPCR=tanCAP= = .易证 =h2h3.,难点突破 第(3)问的突破口是h2h3=tanPCR=tanCAP= ,结合APBBPC可证 =h2h3. 以上各题其他解法正确可参照赋分,5.(2018江西,14,6分)如图,在ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CDAB,BD是ABC
37、的平分线,BD交AC于点E.求 AE的长.,解析 BD平分ABC, ABD=CBD. ABCD,ABD=D,ABECDE. CBD=D, = . BC=CD. AB=8,CA=6,CD=BC=4, = ,AE=4.,6.(2018湖北武汉,23,10分)在ABC中,ABC=90. (1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:ABMBCN; (2)如图2,P是边BC上一点,BAP=C,tanPAC= ,求tan C的值; (3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,DEB=90,sinBAC= , = ,直接写出tanCEB的值.,解析 (1)证明:M=N
38、=ABC=90, MAB+MBA=NBC+MBA=90, MAB=NBC, ABMBCN. (2)如图,过点P作PMAP交AC于点M,过点M作MNPC交BC于点N, 则PMNAPB. = =tanPAC= ,设PN=2t,则AB= t. BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C, MPC=C,CN=PN=2t. 易得ABPCBA, AB2=BPBC,( t)2=BP(BP+4t), BP=t,BC=5t,tan C= . (3)在RtABC中,sinBAC= = ,tanBAC= = . 过点A作AGBE于点G,过点C作CHBE交EB的延长线于点H, DEB=90,CHAGDE, =
39、= , 同(1)的方法得,ABGBCH, = = = , 设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,GH=BG+BH=4m+3n, AB=AE,AGBE,EG=BG=4m, = = ,n=2m, EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在RtCEH中,tanCEB= = .,思路分析 (1)利用同角的余角相等判断出MAB=NBC,即可得出结论; (2)作PMAP,MNPC,先判断出PMNAPB,得出 = = ,设PN=2t,则AB= t,再判断出ABP CBA,根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论; (3)作AGBE,CHBE,先
40、判断出 = = ,同(1)的方法得,ABGBCH,所以 = = = ,设BG =4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m,最后得出结论.,方法指导 解决几何中的类比探究类问题的关键在于找到解决每一问的通法,本题涉及的相似三角形,要 寻找的比例关系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻找方法.,考点三 相似图形的应用,1.(2017重庆A卷,8,4分)若ABCDEF,相似比为32,则对应高的比为 ( ) A.32 B.35 C.94 D.49,答案 A 相似三角形对应高的比等于相似比,所以选A.,2.(2019贵州贵阳,15
41、,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,DCA=30,点F是对角线AC上的一个动点,连接DF,以 DF为斜边作DFE=30的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A到点C的运动过程中,点E的 运动路径长是 .,答案,解析 连接BD,交AC于点O,矩形ABCD中,DCA=30,三角形AOD为等边三角形.AB=4,AD=OD= ABtan 30= .当点F与点A重合时,点E在OD的中点E1处,DE1= OD= ;当点F与点C重合时,点E(即E2)在 DC的上方.连接E1E2,易知E1DE2=ADC=90,DE1E2=60.DFE=DAE1=30, = = ,又 FDE=ADE1=6
42、0,FDA=EDE1,ADFE1DE,DAF=DE1E=60,由此可知点E的运动轨 迹为线段E1E2,E1DE2=90,DE1E=60,E1E2=2DE1= .,思路分析 首先确定点E的始点和终点,进而确定点E的运动轨迹,最后利用直角三角形的性质求得结果.,易错警示 本题的关键是确定点E的运动轨迹,错误得出点E的位置变化也就造成了误解.,3.(2019四川成都,27,10分)如图1,在ABC中,AB=AC=20,tan B= ,点D为BC边上的动点(点D不与点B,C重 合).以D为顶点作ADE=B,射线DE交AC边于点E,过点A作AFAD交射线DE于点F,连接CF. (1)求证:ABDDCE;
43、 (2)当DEAB时(如图2),求AE的长; (3)点D在BC边上运动的过程中,是否存在某个位置,使得DF=CF?若存在,求出此时BD的长;若不存在,请说 明理由.,解析 (1)证明:AB=AC, B=ACB. ADE+CDE=B+BAD,ADE=B, BAD=CDE. ABDDCE. (2)过点A作AMBC于点M. 在RtABM中,设BM=4k,则AM=BMtan B=4k =3k, 由勾股定理,得AB2=AM2+BM2. 202=(3k)2+(4k)2. k=4. AB=AC,AMBC, BC=2BM=24k=32.,DEAB, BAD=ADE. 又ADE=B,B=ACB, BAD=ACB
44、. 又ABD=CBA, ABDCBA. = . DB= = = . DEAB, = . AE= = = .,(3)D点在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF. 过点F作FHBC于点H.过点A作AMBC于点M,ANFH于点N. 易知NHM=AMH=ANH=90, 四边形AMHN为矩形, MAN=90,MH=AN. AB=AC,AMBC, BM=CM= BC= 32=16. 在RtABM中,由勾股定理,得AM= = =12.,ANFH,AMBC, ANF=90=AMD. DAF=90=MAN, NAF=MAD. AFNADM. = =tanADF=tan B= . AN= AM= 12=9. CH=CM-MH=CM-AN=16-9=7. 当DF=CF时,由点D不与点C重合,可知DFC为等腰三角形. 又FHDC, CD=2CH=14. BD=BC-CD=32-14=18,点D在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF,此时BD=18.,解后反思 由相似三角形的判定定理来判定相似.求以相似图形为背景的某些线段的长,常常运用成比例 线段,勾股定理,解直角三角形等方面的知识求解.,4.(2019辽宁大连,25,12分)阅读下面材料,完成(1)(3)题. 数学课上,老师出示了这样一道题: 如图1,ABC中,BAC=90,点D,E在BC上
