1、 高二上学期数学期中质量监测试卷 高二上学期数学期中质量监测试卷一、单选题一、单选题1直线 的倾斜角为（）A-45B45 C-135 D135 2在空间直角坐标系中，点 与 之间的距离为（）ABC2D3椭圆 的长轴长为（）A4B8C6D184圆 的圆心坐标为（）ABCD5已知 ，且 ，则实数 （）A-2B2C-8D86已知直线 与直线 平行，则实数 （）A-2 或 2B-3 或 3C-3 或 2D3 或-27已知平面 经过点 和 ，是平面 的法向量，则实数 （）A3B-1C-2D-38圆 关于直线 对称的圆的方程为（）ABCD9如图，在直三棱柱 中，则直线 BC 到平面 的距离为（）ABCD1
2、0过点 ，且经过圆 与圆 的交点的圆的方程为（）ABCD11平行六面体 的各棱长均相等，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）ABCD12已知椭圆 ，其左焦点 F 且斜率为 的直线与椭圆 C 相交于两点 A，B，若 ，则橢圆 C 的离心率为（）ABCD二、填空题二、填空题13直线 在 y 轴上的截距为 .14椭圆 的焦点坐标为 .15如图，和 所在平面垂直，且 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为 .16已知点 P 是直线 上的动点，过点 P 作圆 的切线，切点分别是 A，B，则直线 AB 恒过定点的坐标为 .三、解答题三、解答题17已知 的三个顶点 ，.（1）求边 BC 上的中线所在直线的斜截式
3、方程；（2）求边 BC 上的高所在直线的一般式方程.18如图，四面体 OABC 各棱的棱长都是 1，D，E 分别是 OC，AB 的中点，记 ，.（1）用向量 表示向量 ；（2）求证 .19已知圆 M 经过点 ，.（1）求圆 M 的一般方程；（2）求圆 M 与圆 的公共弦长.20如图，正方体 的棱长为 ，是正方形 的中心，、分别是 、的中点.（1）求证：平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.21如图，正方体 的棱长为 2，O 是正方形 的中心，E，F 分别是 AD，CD 的中点.（1）求证：平面 ；（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.22已知椭圆 的短轴长为 ，其离心率是 .（1）求橢圆
4、 的方程；（2）若过点 的直线 与椭圆 相交于两个不同的点 、，且 ，求直线 的方程.23已知椭圆 的离心率是 ，且点 在椭圆 上.（1）求椭圆 的方程；（2）若过点 的直线 与椭圆 相交于两个不同的点 、，且 ，求 （是坐标原点）的面积.答案解析部分答案解析部分1【答案】D【解析】【解答】设直线 的倾斜角为 ，因为直线 的斜率为-1，又因为 ，故 .故答案为：D.【分析】由直线的方程即可求出直线的斜率，结合斜率的公式计算出倾斜角的大小。2【答案】A【解析】【解答】由已知可得 .故答案为：A.【分析】由空间两点间的坐标公式，代入数值计算出结果即可。3【答案】C【解析】【解答】解：由椭圆方程 得
5、 ，所以 ，所以长轴长为 故答案为：C【分析】由椭圆的方程和简单性质，即可得出答案。4【答案】D【解析】【解答】圆的标准方程为 ，故圆心坐标为 .故答案为：D.【分析】根据题意由圆的标准方程，即可求出圆心坐标以及半径的值。5【答案】C【解析】【解答】解：因为 ，所以存在实数 ，使得 ，所以 ，解得 .故答案为：C【分析】由空间向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。6【答案】B【解析】【解答】解：因为直线 与直线 平行，所以 ，即 ，解得 或-2当 时，直线 与直线 平行，满足条件；当 时，直线 与直线 平行，满足条件故 或-2故答案为：B【分析】根据题意由两条直线平行系数之间的关系，计算出结
6、果即可。7【答案】B【解析】【解答】解：，因为 是平面 的法向量，所以 ，即 ，解得 .故答案为：B.【分析】由已知条件即可得出平面的法向量，再由数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。8【答案】A【解析】【解答】设所求圆的圆心为 ，而已知圆的圆心为 ，因为两点关于直线直线 对称，于是 ，则所求圆的方程为：.故答案为：A.【分析】首先求出圆心坐标关于直线对称的圆心的坐标，然后由圆的标准方程计算出结果即可。9【答案】B【解析】【解答】由题意得：平面 ，平面 BC平面 点 B 到平面 的距离即为直线 BC 到平面 的距离过点 B 作 BE 于点 E直三棱柱 ，平面 平面 平面 平面 BE平面 B
7、E 的长为点 B 到平面 的距离，即为直线 BC 到平面 的距离由勾股定理得：，直角三角形 中，故答案为：B【分析】根据题意由直三棱柱的几何性质结合线面平行的判定定理即可得出线面平行，由此得出点 B 到平面 的距离即为直线 BC 到平面 的距离，然后由线面垂直的性质定理和判定定理即可得出 BE平面，进而得到 BE 的长为点 B 到平面 的距离，即为直线 BC 到平面 的距离，结合三角形的几何关系代入数值计算出结果即可。10【答案】A【解析】【解答】解：由圆系方程的性质可设所求圆的方程为 ，因为所求圆过点 ，所以 ，解得：所以所求圆的方程为：故答案为：A【分析】根据题意整理化简圆的方程，由此求出
8、圆心坐标再把点的坐标代入计算出，从而得到圆的方程。11【答案】B【解析】【解答】如图所示：不妨设棱长为 1，所以 ，即 ，故异面直线 与 所成角的余弦值为 故答案为：B【分析】根据题意由平行六面体的几何性质结合向量的运算性质，由夹角的数量积公式代入数值计算出结果即可。12【答案】A【解析】【解答】解：根据题意，设 ，方程为 ，所以联立方程 得 ，所以，因为 ，所以，所以由得，所以将代入得 ，因为 ，所以 ，即 所以橢圆 C 的离心率 .故答案为：A.【分析】根据题意设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消元后得到关于 y 的方程，结合韦达定理计算出，然后由向量的坐标公式整理即可得到，由椭圆里
9、a、b、c 的关系，整理得出，从而计算出椭圆的离心率。13【答案】-1【解析】【解答】根据直线方程，令 x=0，得 y=-1.故答案为：-1.【分析】由截距的定义，由特殊值法代入计算出结果即可。14【答案】（0，1）【解析】【解答】由椭圆方程可得焦点在 y 轴上，a=2，且 c2=a2-b2=4-3=1，c=1，故焦点坐标为（0，1）.故答案为：（0，1）.【分析】由椭圆的简单性质求出 a 与 b 的取值，然后由椭圆里 a、b、c 的关系代入数值计算出 c 的，从而得出焦点的坐标。15【答案】【解析】【解答】设 ，在平面 、平面 内分别作直线 的垂线 、分别交 、于点 、，如下图所示：因为平面
10、 平面 ，平面 平面 ，平面 ，平面 ，因为 ，平面 ，以点 为坐标原点，、所在直线分别为 、轴建立如上图所示的空间直角坐标系，则 、，易知平面 的一个法向量为 ，则 ，因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 .故答案为：.【分析】根据题意由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，然后由线面垂直的判定定理和性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间坐标系，求出各个点和向量的坐标，结合数量积的公式计算出平面的法向量，再把结果代入到夹角的数量积公式，计算出结果即可。16【答案】【解析】【解答】设点 ，则 过点 P 作圆 的切线，切点分别是 A，B，P、A、O、B 四点共圆，其中 OP 为直径所以圆心坐标为
11、，半径长为 P、A、O、B 四点确定的圆的方程为：化为一般方程为：即 与 联立，求得 AB 所在直线方程为：其中 ，代入中，得：所以 解得：直线 AB 恒过定点的坐标为 故答案为：【分析】根据题意作出图象，结合直线与圆相切的几何性质得出线线垂直，然后设出圆心坐标和半径，代入到圆的方程整理得出，联立两圆的方程整理得出直线的方程，由此联立直线的方程求出交点的坐标，从而得出答案。17【答案】（1）解：设线段 BC 的中点为 D，根据题意可知 ，则 ，则 ，于是边 BC 上的中线所在直线的斜截式方程为：.（2）解：因为 ，所以边 BC 上的高所在直线为：，即 .【解析】【分析】(1)首先由点的坐标求出
12、直线的斜率，结合直线垂直的性质求出的值，由点斜式即可求出直线的方程。(2)根据题意由斜率的坐标公式计算出斜率的取值，再由点斜式求出直线的方程即可。18【答案】（1）解：根据题意，.（2）解：根据题意，相互之间的夹角为 ，且模均为 1，由（1），所以 .【解析】【分析】(1)由向量的运算性质整理化简即可得出结论。(2)根据题意由数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。19【答案】（1）解：设圆 M：，把 ，三点坐标代入圆 M 得：，解得：所以圆 M 的一般方程为（2）解：联立 与 得：，即 ，代入到圆 中，解得：，分别代入 ，求出 ，所以两交点的坐标为 ，则公共弦长等于【解析】【分析】(1)由圆
13、的一般方程，把点的坐标代入计算出 E、F、D 的取值，从而得出圆的方程。(2)根据题意联立两圆的方程计算出交点的坐标，然后由两点间的距离公式代入数值计算出结果即可。20【答案】（1）证明：以点 为坐标原点，、所在直线分别为 、建立如下图所示的空间直角坐标系，则 、，设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，得 ，所以，则 ，因为 平面 ，故 平面 .（2）解：，所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式计算出平面的法向量，结合向量垂直的坐标公式计算出，从而得证出结论。(2)由夹角的坐标公式代入数值计算
14、出结果。21【答案】（1）证明：由正方体的性质知 两两垂直，所以以 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，所以 ，所以 ，所以设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，所以 ，所以 ，即 因为 平面 ，所以 平面（2）解：由（1）知 ，平面 的一个法向量为 ，故设平面 的一个法向量为 ，所以 ，即 ，令 ，所以 所以 ，平面 与平面 夹角的余弦值为【解析】【分析】(1)根据题意建立空间坐标系，求出点和向量的坐标然后由数量积的坐标公式代入计算出平面的法向量，再由数量积的坐标公式 计算出，由此即可得证出结论。(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标
15、公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面 与平面 夹角的余弦值。22【答案】（1）解：由题意可得 ，则 ，由题意可得 ，解得 ，因此，椭圆 的标准方程为 .（2）解：若直线 的斜率不存在，则 ，不合乎题意；当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设点 、，联立 ，可得 ，由韦达定理可得 ，所以，整理得 ，即 ，解得 .因此，直线 的方程为 或 .【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质计算出 a 与 c 的取值，然后由椭圆里 a、b、c 的关系计算出 b的取值，从而得出椭圆的方程。(2)由设而不求法设出
16、点的坐标，并由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去 y 等到关于 x 的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于 k 的两根之和与两根之积的代数式，然后由弦长公式代入计算出结果即可。23【答案】（1）解：由已知条件可得 ，则 ，故 ，所以，椭圆 的方程为 ，将点 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，可得 ，则 ，所以，椭圆 的方程为（2）解：若直线 的斜率不存在，则 ，不合乎题意；当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设点 、，联立 ，可得 ，由韦达定理可得 ，所以，整理得 ，即 ，解得 .因此，直线 的方程为 或 .原点 到直线 的距离为 ，因此，.【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的简单性质计算出 b 与 c 的关系，再把结果代入到椭圆里 a、b、c 的关系，计算出 a 与 b 的取值，从而得出椭圆的方程。(2)由设而不求法设出点的坐标，并由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去 y 等到关于 x 的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于 k 的两根之和与两根之积的代数式，然后由弦长公式代入计算出 k的取值，再由点到直线的距离公式结合三角形的面积公式计算出结果看。
