1、应用数学 主编:河南机电学校基础部第一章集合第一节集合与元素人们在讨论问题时，往往把具有某种特定性质的对象作为一个整体来对待.例如：(1)某中职学校的全体学生；(2)某工厂金工车间的所有机床；(3)某电器线路中的全部电容元件.这里所用的“全体”、“所有”和“全部”都是指具有某种特定性质的对象的总体.我们把具有某种特定性质的对象组成的总体叫做集合集合，简称集集.组成某一集合的各个对象叫做集合的元素元素.上述例子中(1)是由这个学校的全体学生组成的集合，学校的每一个学生都是这个集合的元素；例子(2)是由这个金工车间的所有机床组成的集合，车间中的每一台机床都是这个集合的元素；例子(3)是由这个电器线
2、路中的全部电容元件组成的集合，线路中的每一个电容元件都是这个集合的元素.第一节集合与元素下面再举几个集合的例子.(1)全体自然数组成一个集合.自然数1，2，3，都是这个集合的元素.显然，这个集合有无限多个元素；(2)方程x2-4=0的所有解组成一个集合.因为这个方程只有两个实数解2与-2，所以这个集合有两个元素2与-2；(3)平面上与一定点距离相等的所有点组成一个集合.这个集合是以定点为圆心的一个圆，该圆上的每一个点都是这个集合的元素.显然，这个集合有无限多个元素.第一节集合与元素一个集合通常用大写字母A、B、C等表示，集合的元素用小写字母a、b、c等表示.若a是集合A的元素，则记为：aA，读
3、作“a属于A”；若a不是集合A的元素，则记为a A,读作“a不属于A”.例如,用N表示所有自然数的集合，则1N，101N，-2 N，0 N.第一节集合与元素关于集合的概念，需再作如下说明：(1)对于一个给定的集合，其元素必须是确定的，如不能确定，则不能构成集合.例如：某班高个子同学的全体就不能构成集合，因为没有规定身高多少才算高个子，因而“高个子同学”是不能确定的；(2)对于一个给定的集合，其中的元素是互异的.这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，只能作为这个集合中的一个元素.因此，集合中的任何两个元素都是不同的.第一节集合与元素第一节集合与元素由数组成的集合
4、叫做数集.我们已经学过的数集有自然数集、整数集、有理数集、实数集.它们通常用下表所示的记号来表示.若数集中的元素都是正数，则在集合记号的右下角标以“+”号；若数集中的元素都是负数，则在数集记号的右下角标以“-”号.例如，正整数集记作Z+，负实数集记作R-等.含有有限个元素的集合叫做有限集有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集无限集.只含有一个元素的集合叫做单元素集单元素集，记作a.例如：方程x+1=0的所有解组成的集合-1，就是单元素集.不含有任何元素的集合叫做空集空集，记为.例如：方程x2+1=0的所有实数解组成的集合就是空集.第一节集合与元素为叙述方便起见，我们把至少含有一个元素的集合叫做
5、非非空集合空集合.应该注意：(1)空集与集合0是两个不同的概念.前者指的是不包含任何元素的集合，而后者指的是由一个元素“0”组成的单元素集；(2)单元素集a与单个元素a是两个不同的概念.前者指的是由一个元素a组成的集合，而后者指的是这个元素a.第一节集合与元素第二节集合的表示方法一、列举法一、列举法列举法就是把属于某个集合的元素一一列举出来，写在大括号内，每个元素仅写一次且不考虑顺序用列举法表示一个集合时，每个元素只写一次而且不必考虑元素的先后顺序.上述集合也可以表示为1，3，0，2，4.当一个集合的元素较多，或者它是无限集时，可以只写出几个元素，其他元素用省略号表示，并且把它们放在一个大括号
6、内，要注意必须让人明白省略号表示了哪些元素.一个方程的所有解组成的集合称为方程的解集方程的解集.第二节集合的表示方法二、描述二、描述法法思考：大于2的实数组成的集合能否用列举法表示呢？比2大的实数组成的集合有无穷多个元素，无法一一列举出来，因此不能用列举法表示这个集合.如何表示这个集合呢？我们可以通过描述集合中各个元素具有的特征性质来表示它.这个集合的元素具有的特征是：它们都是实数，并且大于2，于是我们可以把这个集合表示成x|x2且xR其中大括号内竖线左边的x是这个集合的代表元素，竖线右边写的是这个集合的元素具有的特征性质.这种把属于某个集合的元素所具有的特征性质描述出来，写在大括号内的集合表
7、示方法称为描述法描述法.第二节集合的表示方法如果所讨论集合的元素是实数，那么xR可以省去不写，因此上述解集也可以写成x|x-6一个整数如果能被2整除(即2的倍数)，则称它为偶数偶数.例如，-4、-2、0、2、4等都是偶数.所有偶数组成的集合称为偶数集偶数集，它可以表示成，-4，-2，0，2，4，也可以表示成n|n=2m，mZ第二节集合的表示方法还可以更简洁地表示成2m|mZ其中大括号内竖线左边的2m是偶数的一般形式，竖线右边指出了字母m的取值范围.一个整数如果被2除余数为1，则称它为奇数奇数.例如：-3，-1，1，3等都是奇数.所有奇数组成的集合称为奇数集奇数集它可以表示为n|n=2m-1,m
8、Z 也可以用列举法表示为，-3，-1，1，3，第二节集合的表示方法一、子集一、子集观察集合A=2，4；B=2，4，6，8容易看出，集合A中的任何一个元素都是集合B的元素.对于集合之间的这种关系，我们给出如下定义：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作AB或BA读作“A包含于B”或“B包含A”.第三节集合之间的关系因此2，4是2，4，6，8的子集，可记为2，42，4，6，8或2，4，6，82，4根据上述定义可知，任何一个集合A都是它自身的子集，即AA由于空集是不含任何元素的集合，所以规定：空集 是任何一个集合A的子集,即 A.如果集合A是集合B的子集，并且B中
9、至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集真子集，记作第三节集合之间的关系例如，2，4不但是2，4，6，8的子集，而且还是它的真子集，可记为根据真子集的定义，空集 是任何非空集合A的真子集.即又如,自然数集N是整数集的真子集；有理数集Q是实数集R的真子集；即N Z;Q R.第三节集合之间的关系第三节集合之间的关系图1-1为了形象地比较不同集合之间的关系，我们通常用圆(或任意封闭曲线围成的图形)表示集合，用圆内的点表示该集合的元素.这样的图形称为文氏(venn)图.图1-1表示集合A是集合B的真子集，即根据子集、真子集的定义可推知：第三节集合之间的关系二、集合的相等二、集合的相等已知集
10、合A=1，2，3，4 ；B=3，1，4，2.可以看出集合A与B的元素完全相同，只是排列次序不同，因此A与B是同一个集合.一般地，如果集合A与集合B的元素完全相同，那么称这两个集合相等，记作A=B.“完全相同”的意思就是：集合A中每一个元素都是集合B的元素，而且集合B中每一个元素都是集合A的元素，即A是B的子集，B也是A的子集.因此我们可以这么说：对于两个集合A与B，如果AB且BA，那么称A与B相等，记作A=B第三节集合之间的关系一、交集一、交集已知集合A=1，2，3，6；B=1,2,5,6.我们可把属于集合A且属于集合B的所有元素组成一个新的集合C=1，2，6第四节集合的运算对于这样的集合，给
11、出下列定义：对于两个给定的集合A与B，把既属于A又属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB读作“A交B”.即AB=x|xA且xB第四节集合的运算第四节集合的运算图1-2图1-2中的阴影部分表示集合A与集合B的交集AB.由交集的定义和图1-2可知：第四节集合的运算二、并集二、并集已知集合A=a,c,e；B=a,b,d,e,f把集合A和集合B的元素合并在一起(相同元素只取一个)，可以组成一个新的集合a,b,c,d,e,f对于这样的集合，给出下列定义：对于两个给定的集合A与B，把属于A或者属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的并集并集，记作AB读作“A并B”.即AB=x|xA或xB第
12、四节集合的运算第四节集合的运算图1-3集合AB，根据集合A和集合B的不同情况，可以分别用图1-3的a)、b)、c)的阴影部分形象地表示.由并集的定义和图1-3可知，对于任何集合A与B，有第四节集合的运算第四节集合的运算三、补集三、补集已知集合U=某学校一年级(四)班的学生；A=某学校一年级(四)班的女学生；B=某学校一年级(四)班的男学生.由上述集合可知AU,BU.通常，我们在研究集合与集合之间的关系时，如果一些集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为这些集合的全集全集，通常用U表示.例如，上例中的U就可称为A与B的全集.我们在研究数集时，常常把实数集R作为全集.一般地，设U为全集，
13、如果集合A是U的一个子集，由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为集合A在集合U中的补补集集，记作读作“A在U中的补集”.如果从上下文可以明显看出全集U指的是哪个集合，则可以把U省略不写，即记作读作“A的补”.第四节集合的运算全集U通常用一个长方形的内部表示，则子集A在I中的补集可以用图1-4的阴影部分形象地表示.图1-4第四节集合的运算设U是全集，子集A的补集 可以用描述法表示成 从补集的定义可知，对于U的任意子集A,有其中 表示 的补集.第四节集合的运算第五节充 要 条 件一、命题一、命题观察下面的句子：(1)7是21的约数；(2)-2是自然数；(3)35；(4)是有理数；(5)圆上各点到
14、圆心的距离相等吗？(6)祝你快乐！句子(1)陈述的事实是正确的；句子(3)也是正确的；而句子(2)与句子(4)是错误的陈述因为句子(5)是疑问句，句子(6)是感叹句，所以句子(5)、(6)不存在判断正确或错误的问题上述事实表明，有些句子是可以判断真假的，而有一些句子则不能判断真假第五节充 要 条 件一般地，我们把可以判断真假的陈述句(或式子)叫做命题命题，其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.注意：命题的真假只能取其一，不可能既真又假.第五节充 要 条 件第五节充 要 条 件二、充要条件二、充要条件例如，命题r:如果a=b，那么a2=b2我们可以将命题r分解成两部分，即命题p：a=b；命题q：a2=b2.则命题r可以写成“如果p，那么q”的形式.我们可以判断命题“如果a=b，那么a2=b2”是真命题.即由p可以推出q.一般地，设p、q是两个命题，如果由p可以推出q，那么称p是q的充分条件充分条件，q是p的必要条件必要条件.当p可以推出q时，简记做pq.
