1、应用数学 主编:河南机电学校基础部第四章指数函数和对数函数第一节指数幂在初中我们已经学习了整数指数幂的概念：正整数指数幂零指数幂负整数指数幂整数指数幂有下面的运算性质：一、根式一、根式我们知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.一般地，如果一个数的一般地，如果一个数的n n次方等于次方等于a a(n1，且nN*)，那么这个数叫做那么这个数叫做a a的的n n次方根次方根.就是说，如果xn=a那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN N*.第一节指数幂c当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n
2、次方根用符号 表示.当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号-表示，正的n次方根和负的n次方根可以合并写成 (a0).第一节指数幂1616的的4 4次方根可以写成次方根可以写成 负数没有偶次方根负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0，记作式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.根据n次方根的意义，可 .注意当n为奇数时,当n为偶数时，第一节指数幂第一节指数幂二、分数指数幂二、分数指数幂我们看下面的例子:这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式.根式的被开方数的指数不能被根指
3、数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式.我们规定正数的正分数指数幂的意义是正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定第一节指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数指数.上述整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用，即对于任意有理数m,n均有下面的运算性质：第一节指数幂一般地，当a0时，任意给定一个无理数，都有a是一个唯一确定的实数.这样我们就把有理数指数幂的概念推广到了实数指实数指数幂数幂.第一节指数幂第一节指数幂第一节指数幂第一节指数幂第一节指数幂第二节指 数 函 数一、指数函数的定义一、指
4、数函数的定义引例引例1 1某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个,一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是y=2x.引例引例2 2某企业原来的年产值为1亿元，计划从今年开始年产值平均每年增加8%，求x年后的产值y(单位：亿元).分析分析1年后的年产值是1+0.08=1.08，2年后的年产值是(1+0.08)(1+0.08)=1.082，3年后的年产值是(1+0.08)2(1+0.08)=1.083，x年后的年产值是(1+0.08)x-1(1+0.08)=1.08x，所以x年后的年产值y是y=1.08x.第二节指 数 函 数以上两个例子中的函数，它们的指数都是变量，
5、底数都是常量，对于这样的函数，给出下面的定义.定义形如定义形如y=ay=ax x(a(a0 0，a1)a1)的函数称为指数函数的函数称为指数函数.其中其中x x是自变量是自变量.函数的定义域是函数的定义域是R.R.第二节指 数 函 数第二节指 数 函 数第二节指 数 函 数表4-1二、指数函数的图像和性质二、指数函数的图像和性质现在我们分两种情况来描绘指数函数的图像，从而进一步研究指数函数的性质.(1)a1的情况.例如，画出y=2x的图像.列出x,y的对应值表4-1，用描点法画出图像：(2)0a1的情况.例如,我们来画 的图像,即y=2-x的图像.列出x,y的对应值表4-2，用描点法画出图像：
6、表4-2第二节指 数 函 数因为 ，所以只要在函数y=2x中，把x换成-x，并且根据y=2-x的图像与y=2x的图像关于y轴对称，就可以画出函数y=2-x，也就是 的图像(图4-1).图4-1第二节指 数 函 数第二节指 数 函 数表4-3一般地，指数函数y=ax在底数a1及0a1这两种情况下的图像和性质如表4-3所示.第二节指 数 函 数第二节指 数 函 数第二节指 数 函 数第二节指 数 函 数三、指数函数的应用三、指数函数的应用第三节对数一、对数一、对数1.对数的概念我们知道，2的4次幂等于16，即24=16,这里2是底数，4是指数，16是2的4次幂.如果提出另一个问题：2的多少次幂等于
7、16？也就是说，如果2b=16,b=?这是已知幂和底数的值，求指数的问题.为了解决这类问题，引进一个新的概念对数.对数的定义如果对数的定义如果a(a0,a1)a(a0,a1)的的b b次幂等于次幂等于N N，就，就是是a ab b=N=N，那么数，那么数b b叫做以叫做以a a为底的正数为底的正数N N的对数，记作的对数，记作logloga aN=bN=b其中a叫做对数的底数底数，简称底底，N叫做对数的真数真数，简称真数.第三节对数指数形式ab=N简称指数式，对数形式logaN=b简称对数式，这两类形式表示了a,b,N间的同一关系.设a0,a1,例如,24=16log216=4102=100l
8、og10100=210-2=0.01log100.01=-2第三节对数从定义可知，(1)负数和零没有对数负数和零没有对数.(2)1 1的对数等于的对数等于0.0.即 (3)底的对数等于底的对数等于1.1.即 (4)根据对数的定义，如果ab=N，那么b=logaN，把b=logaN代入ab=N中，得恒等式同样，把N=ab代入b=logaN，得恒等式第三节对数第三节对数第三节对数2.常用对数和自然对数通常将以通常将以1010为底的对数叫做常用对数，为底的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数log10N简记作lgN例如:log105简记作lg5,log1035简记作lg35在科学技术中常常使用以
9、无理数e=2.71828为底的对数，以以e e为底的对数叫做自然对数为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简记作ln N.例如:自然对数loge3简记作ln 3，自然对数loge10简记作ln 10.第三节对数第三节对数第三节对数二、对数的运算法则二、对数的运算法则已知logaM,logaN(M,N0)，求loga(MN),logaM/N,logaMa.设logaM=p,logaN=q,根据对数的定义，可得M=ap,N=aqMN=apaq=ap+q,loga(MN)=p+q=logaM+logaN.MN=ap/aq=ap-q,logaM/N=p-q=logaM-logaN.M
10、a=(ap)a=apa,logaMa=ap=alogaM.第三节对数总结以上论证，我们得到下面的对数运算法则：(1)loga(MN)=logaM+logaN.即两个正数乘积的对数等于各个因数对数的和两个正数乘积的对数等于各个因数对数的和.这个法则可推广到多个正数积的情况，即loga(M1M2Mk)=logaM1+logaM2+logaMk(kN*)(2)logaM/N=logaM-logaN.即两个正数商的对数等于被除数的对数减去除数的对两个正数商的对数等于被除数的对数减去除数的对数数.第三节对数(3)logaMn=nlogaM.即正数幂的对数等于幂的指数乘以幂的底数的正数幂的对数等于幂的指数
11、乘以幂的底数的对数对数.即正数的算术根的对数等于被开方数的对数除正数的算术根的对数等于被开方数的对数除以根指数以根指数.MMannaloglog)4(1第三节对数第三节对数第三节对数三、对数的换底公式三、对数的换底公式设logaN=x,则有ax=N,两边取以b(b0且b1)为底的对数，得logbax=logbNxlogba=logbNx=logbN/logba即logaN=logbN/logba此公式叫做对数的换底公式对数的换底公式，其中a,b均为不等于1的正数.第三节对数如果取a=e,b=10,那么公式变成此式是自然对数和常用对数的互换公式.第三节对数第三节对数第三节对数第三节对数第四节对
12、数 函 数一、对数函数的定义一、对数函数的定义我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂的问题.某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2x表示.现在我们来研究相反的问题.如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数.根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x=log2y.如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y=log2x.下面我们具体分析当a0且a1时，指数函数y=ax的反函数的解析表达式.由于当a0且a1时，有logaN=bab=N.因此,指数函数y=ax把b对应到NN=ab
13、 b=logaN 函数y=logax把N对应到b从而指数函数y=ax的反函数是y=logax.我们把函数y=logax叫做对数函数对数函数，其中a0且a1.第四节对 数 函 数表4-4由于对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数，因此有下列结论(表4-4)：例如，y=log2x,y=log1/3x,y=lgx,y=ln x等都是对数函数.它们分别是指数函数y=2x,y=(1/3)x,y=10 x,y=ex的反函数.其中y=lgx称为常用对数函数常用对数函数。y=ln x称为自然对数函数自然对数函数.第四节对 数 函 数二、对数函数的图像和性质二、对数函数的图像和性质现在研究对数函数y=
14、logax(a0且a1)的图像和性质.因为对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数，所以y=logax的图像与y=ax的图像关于直线y=x对称.因此，我们只要画出和y=ax的图像关于直线y=x对称的曲线，就可以得到y=logax的图像.第四节对 数 函 数例如，画出y=2x的图像关于直线y=x对称的曲线，就可以得到y=log2x的图像.同样，画出与 的图像关于直线y=x对称的曲线，就可以得到y=log1/2x的图像.图4-2第四节对 数 函 数由图4-2可以看出，对数函数y=logax(a0且a1)有如下性质：(1)图像都在y轴的右方；(2)图像都经过点(1,0).当a1时是增函数，当x1时，y0;当0 x1时，y0.当0a1时，y0;当0 x0.第四节对 数 函 数表4-5一般地，对数函数y=logax在其底数a1及0a1这两种情况下的图像和性质如表4-5所示.第四节对 数 函 数第四节对 数 函 数第四节对 数 函 数第四节对 数 函 数第四节对 数 函 数三、对数函数的应用三、对数函数的应用现在用已学过的知识举例说明对数函数的应用.第四节对 数 函 数第四节对 数 函 数第四节对 数 函 数
