第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换 ppt课件（含导学案）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第五章 三角函数5.5 三角恒等变换5.5.2 简单的三角恒等变换一、教学目标1、会利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换；2、能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法.3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力二、教学重点、难点重点：利用相关公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式难点：二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）复习回顾，创设情景，揭示课题（一）复习回顾，创设情景，揭示课题【回顾】1、和差角的正弦、余弦与正切公式：和角和角公式：()()(),SCT差角差角公式：()()(),SCT sin()sincoscossinsin()sincoscossincos()coscossinsincos()coscossinsintantantan()1tantantantantan()1tantan2、二倍角的正弦、余弦与正切公式以及公式的外延：二倍角二倍角公式：222,SCT降幂降幂公式sin22sincos2sin21cossin22cos2cossin22cos121 2sin 22cos1cos2，22cos1sin222tantan21tan【问题】这么多的三角公式，如何进行有效的应用，解决各类问题？（二）阅读精要，研讨新知，典型示例（二）阅读精要，研讨新知，典型示例【例题研讨】阅读领悟课本225P例 7、例 8（用时约为 3-4 分钟，教师作出简要精准的评析.）注意注意例题的精要简述，可以有与课本例题的精要简述，可以有与课本不一样不一样的描述.的描述.例 7 试以cos表示222sin,cos,tan222解：因为2coscos21 2sin22，所以21 cossin22；因为2coscos22cos122，所以21 coscos22两式相除得222sin1 cos2tan21 coscos2【发现】1 cossin22，1 coscos22，1 costan21 cos，称之为半角公式（不要求记忆），符号由2角的象限决定.【三角恒等变换特点】三角恒等变换面对各种问题的差异，先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式和变形路径.例 8 求证：（1）1sincossin()sin()2；（2）sinsin2sincos22证明：（1）由已知sin()sincoscossinsin()sincoscossin两式相加得2sincossin()sin()；所以1sincossin()sin()2；（2）由（1）得sin()sin()2sincos 设,，则,22，把,的值代入式中得sinsin2sincos22【例题研讨】阅读领悟课本227P例 9、例 10（用时约为 4-5 分钟，教师作出简要精准的评析.）注意注意例题的精要简述，可以有与课本例题的精要简述，可以有与课本不一样不一样的描述.的描述.例 9 求下列函数的周期，最大值和最小值：（1）sin3cosyxx （2）3sin4cosyxx【辅助角公式】经常遇见关于sincosyaxbx的最值、周期性、单调性、对称轴、对称中心等问题.统一有 22sincossin(),yaxbxabx其中tanba解：（1）利用辅助角公式化简得sin3cos2sin()3yxxx 因此，所求为maxmin2,2,2Tyy（2）利用辅助角公式化简得3sin4cos5sin()yxxx，其中4tan3因此，所求为maxmin2,5,5Tyy 例 10（更换为与课本相似的实际问题更换为与课本相似的实际问题）某工厂鼓励增产节约，焊工小明师傅遇到了一个问题：如图所示，有一块扇形钢板OPQ，半径为1OP m，圆心角3POQ，现在要求小明师傅按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，若想裁下钢板面积最大试问小明师傅如何确定A点位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？解：如图，连接OA，设AOP，过点A作AHOP于H，则sinAH，cosOH，在Rt ABH中，3tansin33AHBHBH，所以3cossin3OBOHBH，记平行四边形ABOC的面积为S，则3(cossin)sin3SOB AH2313 1sincossinsin2(1 cos2)32321333sin2cos22)26663si36n(因为(0,)3，所以52(,)666，当2in()1s6，即262，即6时max333636S所以当A是PQ的中点时，能使裁下的钢板面积最大，最大面积为36【小组互动】完成课本228P练习 1、2、3，同桌交换检查，老师答疑并公布答案.（三）探索与发现、思考与感悟（三）探索与发现、思考与感悟【类型一利用倍（半）角公式求值】1已知是第二象限角，且3sin4cos0，则tan2=（）A2 B12 C2D12解：是第二象限角，222,kkkZ，,224kkkZ，2是一、三象限角，tan02又3sin4cos0，3tan40，可得4tan3=22tan21tan2，化简得22tan3tan2022解得1tan,22 或tan22，又tan02，tan2=2故选 A2.已知0000sin29 cos127cos29 sin53a，0022tan131tan 13b，01 cos502c，则,a b c的大小关系是（）Aabc BabcCcabDacb解：00000000sin29 cos127cos29 sin53sin29 cos53cos29 sin53a 000sin(5329)sin24，00202tan131tasni1n263b，00201 cos50sin 25sin252csinyx在00(0,90)上单调递增，acb故选 D3.已知10,sin2cos2R，则tan2（）A43 B34 C34 D43解由2210(sin2cos)()2，可得2222sin4cos4sincos10sincos4，所以22tan44tan10tan14，化简得23tan8tan30，解得tan3或1tan3，于是22tan3tan21tan4 故选 C4.已知2sin23，则2cos()4（）A16 B13 C12 D23解：由已知211cos()1cos2()1cos(2)424221121(1 sin2)(1)2236，故选 A【类型二 三角函数式的求值】5.化简0000sin65sin35 cos30cos35（）A32B12C12D32解：0000sin65sin35 cos30cos3500000sin(3530)sin35 cos30cos350000cos35 sin301sin30cos352，故选 C6.求值：00203tan123sin12(4cos 122)_解：原式0000020000sin12333sin123cos12cos122sin12(2cos 121)2sin12 cos12 cos240000132 3(sin12cos12)22sin24 cos24000002 3sin(1260)4 3sin484 31sin48sin482 答案：4 3【类型三 三角函数式的化简】7.化简 222cos12tan()sin4()4（）A1B2C3D4解：原式2cos22tan()cos44()cos2cos2cos21cos22sin()cos()sin(2)442，故选 A8化简：(1 sincos)(sincos)22(0)22cos解：原式2(12sincos2cos1)(sincos)222222(1cos)22cos(sincos)(sincos)222222 2cos)2222cos(sincos)222|2cos|22coscos2|2cos|2由0，得022，所以cos02于是原式2coscos2cos2cos2【类型四 三角恒等式的证明】9求证：sin2sincos1 sincos1xxxxx1 cossinxx证明：左边sin2sin(cos1)sin(cos1)xxxxx22sin2sin(cos1)xxx22sin2sincos2cos1xxxx2sin22sin cos2cos2cos2cos(1 cos)xxxxxxxsin1 cosxx22sin(1 cos)sin(1 cos)sin(1 cos)(1 cos)(1 cos)1 cossinxxxxxxxxxx1 cossinxx=右边所以原等式成立【类型五 角的变换问题】10.设为锐角，若cos()645，则sin(22)1的值为（）A17 250B13 250C11 250D9 250解：(0,)2，2(,)663，又cos()645，sin()635，3sin(2)2sin()cos()662425，3cos(2)22(os)c16 725因此sin(2)12sin(2)433sin(2)cos43cos(2)sin4=24225272252=17 250，故选 A11已知,(0,)4，且3sinsin(2),24tan1tan22，求的值解：由已知24tan1tan22，得22tan121tan2，即1tan2，又3sinsin(2),，所以3sin()sin()展开化简得sin()cos2cos()sin，所以tan()2tan，即tan()1因为,(0,)4，所以(0,)2，于是4【类型六 与三角函数性质有关的问题】12已知函数2tan()1 tanxf xx，则函数()f x的最小正周期为（）A4 B2 C D2解：因为212tan1()tan22 1 tan2xf xxx，所以2T，故选 B13已知函数2()sin(2)2cos16f xxx（1）求函数()f x的最大值及其相应x的取值集合；（2）若42且4()5f，求cos2的值解：（1）因为函数3131()sin2cos2cos2sin2cos22222f xxxxxxsin(2)6x 当sin(2)16x时，max()1f x 此时22,62xkkZ，即,6xkkZ，所以x的取值集合为|,6x xkkZ（2）由42，得272366，由4()sin(2)65f，所以3cos(2)65，所以cos2cos(2)66cos(2)cossin(2)sin6666334143 3()525210【类型七 三角恒等变换在实际问题中的应用】14.沪昆高铁开通以来，带动了沿线的旅游发展，某市在高铁站附近有一块边长为 100 m 的正方形地块，如图ABCD所示，其中AST是一半径为 90 m 的扇形小山，其余部分都是平地，某开发商想在平地上建一个矩形的停车场，使矩形的一个顶点P在圆弧ST上，相邻两边,CQ CR落在正方形的,BC CD边上，求矩形停车场PQCR面积S的最大值与最小值 解：设,0,2PAB，延长RP交AB于点M，则90cos,90sinAMMP所以PQMBABAM10090cos,PRMRMP10090sin,所以(10090cos)(10090sin)SPQ PRg100009000(sincos)8100sincos令sincost，0,2，则2sin()1,24t，21sincos(1)2t所以211000090008100(1)2Stt22104050900059504050()9509ttt当109t 时，min950S，当2t 时，max140509000 2S.【发现】如果以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则(90cos,90sin)P，0,2，10090cos,PQ10090sin,PR其余同上.（四）归纳小结，回顾重点（四）归纳小结，回顾重点（1）三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；化切为弦，异名化同名；三角公式的逆用等.（2）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”.（五）作业布置，精炼双基（五）作业布置，精炼双基1.完成课本228P习题 5.5 10、11、12、13、14、15、16、172.思考完成课本228P习题 5.5 18、19、203.预习课本 5.6 函数sin()yAx五、教学反思：（课后补充，教学相长） 5.5.2 简单的三角恒等变换第五章 三角函数 目录 CONTENT（一）复习回顾，创设情景，揭示课题（一）复习回顾，创设情景，揭示课题 目录 CONTENT（二）（二）阅读精要，阅读精要，研讨新知研讨新知，典型示例，典型示例 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT（三）探索与发现、思考与感悟（三）探索与发现、思考与感悟 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT（四）归纳小结，回顾重点（四）归纳小结，回顾重点 目录 CONTENT（五）作业布置，精炼双基（五）作业布置，精炼双基A good beginning is half done良好的开端是成功的一半