1、4.1.1 n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂教学目标理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念（重点）01 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值（重点、难点）02 掌握分数指数幂的运算性质（重点、难点）0304 n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂学科素养 n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念数学抽象直观想象 分数指数幂的运算性质逻辑推理分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值数学运算数据分析数学建模 n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂01Retrospective Knowledge 指 数指 数 为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数。初中已经学过整数指数幂
2、na读作读作“a的的n次方次方”或或“a的的n次幂次幂”求n个相同因数的积的运算，叫做，乘方的结果叫做.指 数 运 算指 数 运 算整数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质：nmnmaaannnbaba)(nnnbaba)(mnnmnmaaa)()(nmnmaaa)0(,10aa)0(,1aaannaaaaan.)0(,11aaa整数指数幂：整数指数幂：),(*Nmn)(*Nn02New Knowledge explore n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂 为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数 ，记作 像 这样以
3、分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究sc 21sc 21s n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂乘方运算乘方运算16?2开方运算开方运算?42因为因为(4 4)2 2=16=16，所以，所以4 4叫做叫做1616的平方根的平方根;因为因为(3 3)2 2=9=9，所以，所以3 3叫做叫做9 9的平方根；的平方根；因为因为2 23 3=8=8，所以，所以2 2叫做叫做8 8的立方根；的立方根；因为因为(-2 2)3 3=-8=-8，所以，所以-2-2叫做叫做-8-8的立方根；的立方根；如果如果x2=a，那么，那么x叫做叫做a的平方根；的平方根；如果如果x
4、3=a，那么，那么x叫做叫做a的立方根；的立方根；类似地，类似地，因为因为(2 2)=16=16，我们把，我们把2 2叫做叫做1616的的 次方根次方根;因为因为2 2=32=32，我们把，我们把2 2叫做叫做3232的的 次方根；次方根；n n 次 方 根次 方 根 n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，0的n次方根为0，这时，a的n次方根用符号 表示例如：na.,232,23223655aa 奇次方根奇次方根 1.1.正数的奇次方根是一个正数；正数的奇次方根是一个正数；2.2.负数的奇次方根是一个负数；负数的奇次方根是一个
5、负数；3.03.0的奇次方根为的奇次方根为0 0 一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*奇次方根奇次方根 n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂当n是偶数时：正数的n次方根是有两个，这两个数互为相反数，这时候，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 表示.正的n次方根和负的n次方根合并写成 ；例如：nana na.216,216,216444 一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*偶次方根偶次方根 n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂 负数有没有偶次方根，因为任何实数的偶次方都是非负数.2.2.负数没有偶次方根；负数没有偶次方根；
6、1.1.正数的偶次方根有两个且互为相反数；正数的偶次方根有两个且互为相反数；3.03.0的偶次方根为的偶次方根为0 0 负数有没有偶次方根？为什么？偶次方根偶次方根 n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂(n为奇数)nax (当n是偶数，且a0)nax axn0的任何次方根都是0，记作 00 n 式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数na 一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*根 式根 式 n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂na根据n次方根的意义，可得：aann)(为偶数为奇数nanaann,表示 的n次方根，一定成立吗？如果不一定成立，那么 等于什么？探
7、究探究aannnnannana根 式 性 质根 式 性 质 n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂.)()4()3()3(;)10()2(;)8()1(244233ba；例例1 1 求下列各式的值：n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？把根式表示为分数指数幂的形式的时候，例如：)0(3232aaa)0(21bbb)0(4545ccc n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂正数的正分数指数幂：正数的正分数指数幂：)1,0(*nNnmaaanmnm正数的负分数指数幂：正数的负分数指数幂：)1,0(11*nNnmaaa
8、anmnmnm规定：规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义 n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂).,0,0()()3();,0()()2();,0()1(QrbabaabQsraaaQsraaaarrrrssrsrsr 一般的，无理数指数幂 a（a0，为无理数）是一个确定的实数，幂中的指数的取值范围就从整数拓展到了，并拓展到了 实数指数幂是一个确定的实数对任意r，s，均有下面的性质：n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂；328)1(例例2 2 求下列各式的值：.)8116()2(43 n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂根式化简与求值的思路及注意点：根式化简与求值的思路及
9、注意点：(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质 进行化简(2)注意点：正确区分“”与“”两式；（注意分析 是否有意义）运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方公式、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论nnanna)(na n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂例例3 3 用分数指数幂的形式表示下列各式：.)2(;)1(3322aaaa n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂例例4 4 计算下列各式（式子中的字母均是正数）：)3()6)(2()1(656131212132bababa88341)()2(nm n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂例例4
10、 4 计算下列各式（式子中的字母均是正数）：42332)()3(aaa都成立吗？对任意的实数思考：aaa214203Expansion And Promotion n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂62 562 5化简并求值：n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂.1222222xxxxx，则，且已知 n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂.1222222xxxxx，则，且已知 n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂利用指数幂的运算性质化简求值的方法：利用指数幂的运算性质化简求值的方法：（1）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数 幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序；
11、（2）在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算；（3）对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示04Sum Up n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂奇次方根奇次方根 1.1.正数的奇次方根是一个正数；正数的奇次方根是一个正数；2.2.负数的奇次方根是一个负数；负数的奇次方根是一个负数；3.03.0的奇次方根为的奇次方根为0 0 一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*偶次方根偶次方根 1.1.正数的偶次方根有两个且互为相反数；正数的偶次方根有两个且互为相反数；2.2.负数没有偶次方根；负数没有偶次方根；3.3.
12、0 0的偶次方根为的偶次方根为0 0 n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂(n为奇数)nax (当n是偶数，且a0)nax axn0的任何次方根都是0，记作 00 n 式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数na 一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂正数的正分数指数幂：正数的正分数指数幂：)1,0(*nNnmaaanmnm正数的负分数指数幂：正数的负分数指数幂：)1,0(11*nNnmaaaanmnmnm规定：规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义).,0,0()()3();,0()()2();,0()1(QrbabaabQsraaaQsraaaarrrrssrsrsr指数运算性质：指数运算性质：05Homework After Class n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂1.用分式指数幂的形式表示下列各式3(1)(0)a a a 3332 2(12)2.化简并求值：.10410,310.32 yxyx，则已知
