1、4.1.1 n次方根与分数指数幂次方根与分数指数幂一、知识回顾一、知识回顾 在初中，我们研究了正整数指数幂：一个数在初中，我们研究了正整数指数幂：一个数a的的n次幂等于次幂等于n个个a连乘的积，即连乘的积，即an=aa an个个正整数指数幂正整数指数幂的运算法则有五条：的运算法则有五条：1.aman=am+n；2.aman=am-n；3.(am)n=amn；4.(ab)n=anbn；5.).0()(bbabannn另外，我们规定：另外，我们规定：);0(10aa)0(1 aaannm,nN+m,nR二、探索新知二、探索新知类似地，类似地，(2)4=162叫做叫做16的的4次方根次方根.25=3
2、2 2叫做叫做32的的5次方根次方根.xn=a x就是就是a的的n次方根次方根.根式根式 一般地，如一般地，如xn=a，那么，那么x叫做叫做a的的n次方根次方根，其中，其中n1，且，且n N*.我们知道，如果我们知道，如果x2=a，那么，那么x叫做叫做a的平方根的平方根.如果如果x3=a，那么，那么x叫做叫做a的立方根的立方根.若若x3=-27，则，则x=_若若x5=32，则，则x=_若若x7=-128，则，则x=_nnaxnaaxn 次方根次方根的的，则，则为奇数时，为奇数时，当当若若x2=9，则，则x=_若若x4=16，则，则x=_若若x6=64，则，则x=_nnaxnaaaxn 次方根次
3、方根的的，则，则为偶数时，为偶数时，当当)0(3273 2325 21287 39 2646 2164 二、探索新知二、探索新知规律规律当当n是是奇数奇数时，正数的时，正数的n次方根是一个正数次方根是一个正数 负数的负数的n次方根是一个负数次方根是一个负数当当n是是偶数偶数时，正数的时，正数的n次方根有次方根有两个两个，互为相反数，互为相反数 负数没有偶次方根负数没有偶次方根)0(aaann和和0000 n，记为，记为的任何次方根都是的任何次方根都是na根指数根指数被开方数被开方数根式根式让我们认识一下这个式子让我们认识一下这个式子:3)3(,5)5()(552 例例次方根的意义，可得次方根的
4、意义，可得根据根据aannn2233332)4()2()3()2()2()2()1(求值求值 表示表示an的的n次方根次方根,等式等式 一定成立吗一定成立吗?如果不一定成立如果不一定成立,那么那么 等于什么等于什么?三、探究三、探究=-2=2=2 00|aaaaaanaannnnn是偶数时，是偶数时，当当是奇数时，是奇数时，当当=2nnannaaann.2;)(1()(的奇偶性的奇偶性的值取决于的值取决于可以是全体实数，可以是全体实数，中的中的）（的范围的范围的奇偶性可知的奇偶性可知有意义，据有意义，据已暗含了已暗含了与与正确区分正确区分naaaanaaaannnnnnnnnnn例例1、解解:
5、(6)8x0且且x-121，且，且nN*)0的任何次方根都是的任何次方根都是0,记作记作负数没有偶次方根负数没有偶次方根.00 n四、小结：四、小结：)0()(anaxnaxaxnnn是偶数，且是偶数，且当当；是奇数是奇数当当；na根指数根指数被开方数被开方数根式根式根式：根式：为偶数为偶数，为奇数为奇数，nanaann|aannn)(次方根的意义，可得次方根的意义，可得根据根据(1)观察以下式子观察以下式子,并总结出规律并总结出规律:(a 0)结论：结论：当根式的当根式的被开方数的指数被开方数的指数能被能被根指数根指数整除时整除时,根式可以表示为根式可以表示为分数指数幂的形式分数指数幂的形式
6、.合作探究合作探究根式与分数指数幂的互化根式与分数指数幂的互化525102)2(2 2552510)(aaa 3443412)(aaa 43343123)3(3 2102 3123 412a 510a(2)利用利用(1)的规律的规律,你能表示下列式子吗你能表示下列式子吗?总结：总结：当根式的当根式的被开方数的指数不被开方数的指数不能被能被根指数根指数整除时整除时,根式可以写成根式可以写成分数指数幂的形式分数指数幂的形式.534 53435732a79a357 32a 79a(3)你能用方根的意义解释你能用方根的意义解释(2)的式子吗的式子吗?43的的5次方根是次方根是 75的的3次方根是次方根
7、是 a2的的3次方根是次方根是 a9的的7次方根是次方根是 结果表明结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的方根的结果与分数指数幂是相通的.综上综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义我们得到正数的正分数指数幂的意义.534535344 353577 3232aa 7979aa 35732a79a1.正数的正分数指数幂的意义正数的正分数指数幂的意义：)1*,0(nNnmaaanmnm且且注意注意:1、分数指数幂是根式的另一种新的写法，可以互换，只是形式、分数指数幂是根式的另一种新的写法，可以互换，只是形式上的不同，不可将其理解为上的不同，不可将其理解为 个个a相乘；相乘；2、公式成立的前提条件：
8、公式成立的前提条件：a0;我们规定我们规定：nmnmnmaa)1,0(1*nNnmaaanmnm且且2、正数的、正数的负分数指数幂负分数指数幂的意义是的意义是3、0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义的负分数指数幂没有意义.3232323434341151515aaa ，例如，例如，说明：说明：(1)分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性；定的合理性；(2)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了了有理数指数有
9、理数指数；(3)关于整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用，关于整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用，即对即对任意有理数任意有理数r，s，均有下面的性质：，均有下面的性质：rrrrssrsrsrbaabaaaaa )(3()(2()1(a0，r,sQ);(a0，r,sQ);(a0,b0，rQ);课本课本P107页练习页练习132534321)4()3()2()1(aaaa练习：用根式的形式表示下列各式练习：用根式的形式表示下列各式例题讲解例题讲解 例例2、求值：、求值：4332)8116()2(8)1(，328323)2(3232 422 43)8116()43(4)32(8
10、27)32(3 例例3、用分数指数幂的形式表示下列各式：、用分数指数幂的形式表示下列各式：aaa练练习习：.)2(;)1(3322aaaa 322aa 322 a38a 2131)(aa 2134)(a 32a 当有多重根式时当有多重根式时,要由里向外层层转化要由里向外层层转化 对于有分母的对于有分母的,可以先把分母写成负指数幂可以先把分母写成负指数幂.练习练习：课本：课本P107页第页第2题题42332)(3(aaa )3()6)(2()1(656131212132bababa )()()3()6(2)1(653121612132bbbaaa 原式原式65-312161-21324 ba04
11、ab a4 883841)()()2(nm原式原式32 nm32nm 88341)(2(nm例例4、计算下列各式（式中的字母都是正数）、计算下列各式（式中的字母都是正数）例例5、计算下列各式、计算下列各式.)0()2(;25)12525()1(32243 aaaa423325)55(2123325)55(212321325555 2123213255 5561 556 32212aaa 32212 a65a 65a 练习练习 P107页练习题第页练习题第3题题无理指数幂无理指数幂探究探究:在前面的学习中，我们已经把指数由在前面的学习中，我们已经把指数由正整数正整数推广到了推广到了有理数有理数，
12、那么，能不，那么，能不能继续推广到能继续推广到实数实数范围呢？范围呢？(1)一般地，无理数指数幂一般地，无理数指数幂aa a(a0，a a是无理数是无理数)是一个确定的实数是一个确定的实数;(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂，即：有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂，即：aa aab b=aabab（a0，a,ba,b是无理数）；是无理数）；(aa a)b b=aabab（a0，a,ba,b是无理数）；是无理数）；(ab)a a=aa aba a（a0，b0，a a是无理数）是无理数）.求值求值33122322231222)5)(2(;824)1(323223122)2
13、(2)2()1(原式原式2-22-3222222 2-22-32222 823 3312225)2(原式原式1225 27 133733293)1(aaaa 0322213)27102(1.0)972)(2(2.求值求值.94100 1 625625.1 计算计算例例32 246347625:计算计算练习练习22.)3(;)2(;(1).,3.22121232322-12121 aaaaaaaaaa求下列各式的值求下列各式的值已知已知例例(1)7(2)47(3)8.71021212121的值的值及及，求，求且且若若 aaaaaaa.3921)(710212122121 aaaaaaaaa所以所
14、以所以所以，且且解：解：5521)(212122121 aaaaaa所以所以同理，同理，1、n次方根和根式的概念。次方根和根式的概念。2、当、当n为奇数时，为奇数时，a的的n次方根是次方根是 。当当n为偶数时，正数为偶数时，正数a的的n次方根是次方根是 负数没有偶次方根。负数没有偶次方根。3、0的任何次方根都是的任何次方根都是0当当n是奇数时，是奇数时，当当n是偶数时，是偶数时，课堂小结课堂小结na naaann 00|aaaaaann4、分数指数概念分数指数概念5、有理指数幂运算性质有理指数幂运算性质(3)0的正分数指数幂为的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义的负分数指数幂没有意义.
15、)1*,0()1(nNnmaaanmnm且且)1,0(1)2(*nNnmaaanmnm且且).,0,0()(3();,0()(2();,0()1(QrbabaabQsraaaQsraaaarrrrssrsrsr 课堂练习课堂练习1、判断：下列正确的是（、判断：下列正确的是（）)0()0()1()0()0()(3314343316221 xxxDxxxCxxxBxxxA、C2、计算下列各式、计算下列各式)12()4()(1(24132cbababa ca3 2141031|01.0|)1681()811()064.0)(2(1031作业作业A本本 P109页习题页习题4.1第第4、5题题105432)(0625.0833416)1(45.05.003225.024993)27102(1.0)972)(2(
