1、l5.4.2正弦函数、余弦函数的性质.1|周期函数1.周期函数设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零 常数T,使得对每一个xD都有x+TD,且 f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小 的正数,那么这个最小 正数就叫做f(x)的最小正周期.2|正弦函数、余弦函数的性质函数y=sin xy=cos x图象(x0,2)定义域 R 周期性最小正周期:T=2 值域 -1,1 最值x=2k+,kZ时,ymax=1;x=2k+,kZ时,ymin=-1x=2k ,kZ时,ymax=1;x=2k
2、+,kZ时,ymin=-1奇偶性奇 函数偶 函数图象的对称中心(k,0),kZ ,kZ232,02k 续表函数y=sin xy=cos x图象的对称轴直线 x=k+,kZ直线 x=k ,kZ单调性在2k-,2k+,kZ上单调递增;在2k+,2k+,kZ上单调递减在2k-,2k ,kZ上单调递增;在2k,2k+,kZ上单调递减2222321.周期函数y=f(x)的周期可能只有一个.()提示:周期函数的周期一定有无限个,如T是它的周期,则nT(nZ,n0)也是它的周期.2.任何周期函数都有最小正周期.()提示:对于常数函数f(x)=c,任意一个正实数都是其周期,因而不存在最小正周期.3.若存在正数
3、T,使f(x+T)=-f(x),则2T为函数f(x)的周期.()4.y=sin x的图象与y=cos x的图象既是中心对称图形又是轴对称图形.()5.正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数.()提示:正弦函数、余弦函数在定义域内呈周期性变化,增减交替,不是单调函数.6.存在实数x,使得sin x=.()提示:正弦函数的最大值为1.2判断正误，正确的画“”，错误的画“”.1|求函数的周期 求一般函数的最小正周期的常用方法(1)定义法:对于定义域D内每一个x,存在一个最小的正数T,使得对每一个xD都有x+TD,且f(x+T)=f(x),则f(x)的最小正周期为T.(2)公式法:正弦型函数y=Asi
4、n(x+)+B或余弦型函数y=Acos(x+)+B(其中A,B为常数,且A0,0,xR)的最小正周期为T=.(3)图象法:画出函数的图象,通过图象直接判断.2|求下列函数的周期.(1)y=3cos;(2)y=|cos x|.23x解析(1)函数y=3cos的周期为T=.(2)作出函数y=|cos x|的图象,如图.由y=|cos x|的图象,可知y=|cos x|的周期为.23x222|求函数的单调区间形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)(A0,0)的单调区间的求法:(1)当A0时,把x+看作一个整体,利用y=sin x或y=cos x的单调增区间求得的x的范围即为函数的单调增区间,
5、利用y=sin x或y=cos x的单调减区间求得的x的范围即为函数的单调减区间.(2)当A0时,把x+看作一个整体,利用y=sin x或y=cos x的单调增区间求得的x的范围即为函数的单调减区间,利用y=sin x或y=cos x的单调减区间求得的x的范围即为函数的单调增区间.注意:若为负,一般先把化为正数再求解.求函数y=1+sin,x-4,4的单调递减区间.124x思路点拨利用诱导公式将x的系数化为正值,然后整体代换求出单调区间.解析 y=1+sin=1-sin.令2k-x-2k+(kZ),解得4k-x4k+(kZ).又x-4,4,函数y=1+sin的单调递减区间为,.124x124x
6、21242232124x54,23,227,423|利用单调性比较三角函数值的大小 利用单调性比较三角函数值的大小的步骤(1)依据诱导公式把三角函数化为同名函数;(2)依据诱导公式把角化到同一个单调递增(减)区间内;(3)依据三角函数的单调性比较大小.比较下列各组数的大小:(1)cos与cos;(2)cos 1与sin 2.7876思路点拨利用诱导公式化为同一个单调区间内的同名函数,利用函数的单调性进行比较.解析 (1)cos=cos=cos=-cos,cos=-cos,函数y=cos x在上单调递减,且0cos.-cos-cos,cos2,sinsin 2,即cos 1sin 2.78788
7、87660,2862868678760,212,22,22124|求与正、余弦函数有关的函数的值域或最值常见的求与正、余弦函数有关的函数值域(最值)的类型及解法:(1)形如y=sin(x+)的函数,令t=x+,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin t的最值(值域).(2)形如y=asin2x+bsin x+c(a0)的函数,可先设t=sin x,将函数y=asin2x+bsin x+c(a0)化为关于t的二次函数y=at2+bt+c(a0),根据二次函数的单调性求值域(最值),注意t的取值范围.(3)对于形如y=asin x(或y=acos x)
8、的含参函数求值域(最值),需要注意对a进行讨论.(4)求形如y=(ac0)的函数的值域(最值),可以用分离常量法求解,也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.sinsinaxbcxd求下列函数的值域:(1)f(x)=cos,x;(2)y=cos2x+2sin x-2,xR.224x,02思路点拨(1)将2x+看成一个整体,利用余弦函数的单调性求解;(2)先把原函数转化为只含sin x的式子,再把sin x看成一个整体,将问题转化为求二次函数的值域.4解析 (1)-x0,-2x+,-cos1,-1cos,即f(x)的值域是-1,.(2)y=cos2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1=-(sin x-1)2.令sin x=t,则y=-(t-1)2,t-1,1,y-4,0,函数y=cos2x+2sin x-2,xR的值域为-4,0.234442224x224x22
