1、4.4.3 不同不同函数函数增长的差异增长的差异温故知新温故知新三种函数模型的性质三种函数模型的性质y=ax(a1)y=logax(a1)y=xa(a0)在在(0，)上的增减性上的增减性图象的变化图象的变化趋势趋势随随x增大逐渐近似增大逐渐近似与与_平行平行随随x增大逐渐近似增大逐渐近似与与_平行平行随随n值而不同值而不同增长速度增长速度y=ax(a1)：随着：随着x的增大，的增大，y增长速度增长速度_，会，会远远大于远远大于y=xn(n0)的增长速度，的增长速度，y=logax(a1)的增长速的增长速度度_存在一个存在一个x0，当，当xx0时，有时，有_增函数增函数增函数增函数增函数增函数y
2、轴轴y轴轴越来越快越来越快越来越慢越来越慢axxnlogax 我们我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异事实上异事实上，这种，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映因此，如果把握了不同函数律的反映因此，如果把握了不同函数增长增长方式的差异，那么方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化变化规律规律下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异方式的差异提
3、出问题提出问题 虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.我们仍然采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法我们仍然采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法.下面就来研究一次函数下面就来研究一次函数f(x)=kx+b，k0，指数函数，指数函数g(x)=ax(a1)，对数函数对数函数h(x)=logax(a1)在在定义域内增长方式的差异定义域内增长方式的差异.问题探究问题探究以函数以函数y=2x与与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异为例研
4、究指数函数、一次函数增长方式的差异.分析分析：(1)在区间在区间(-,0)上，指数函数上，指数函数y=2x值恒大于值恒大于0，一次函数，一次函数y=2x值恒小于值恒小于0，所以我们重点研究在区间，所以我们重点研究在区间(0,+)上它们的增长差异上它们的增长差异.(2)借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386y=2xy=2x问题探究问题探究(3)观察两个函数图象及其增长方式：观察两个函数图象及其增长方式：结论结论1：函数函数y=2x与与y
5、=2x有两个交点有两个交点(1,2)和和(2,4)结论结论2：在区间在区间(0,1)上，函数上，函数y=2x的图象位于的图象位于y=2x之上之上结论结论3：在区间在区间(1,2)上，函数上，函数y=2x的图象位于的图象位于y=2x之下之下结论结论4：在区间在区间(2,3)上，函数上，函数y=2x的图象位于的图象位于y=2x之上之上综上：虽然函数综上：虽然函数y=2x与与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数函数y=2x的增长速度不变，但是的增长速度不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快的增长速度改变，先慢后快.问题探究问题探究 请大家想象一下，
6、取更大的请大家想象一下，取更大的x值，在更大的范围内两个函数图值，在更大的范围内两个函数图象的关系？象的关系？思考思考：随着自变量取值越来越大，函数随着自变量取值越来越大，函数y=2x的图象几乎与的图象几乎与x轴垂直，轴垂直，函数值快速增长，函数函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和的增长速度保持不变，和y=2x的增长相的增长相比几乎微不足道比几乎微不足道.问题探究问题探究总结一：总结一：函数函数y=2x与与y=2x在在0,+)上增长快慢的不同如下：上增长快慢的不同如下：虽然函数虽然函数y=2x与与y=2x在在0,+)上都是单调递增，但它们的增长上都是单调递增，但它们的增长速度速度
7、不同不同.随着随着x的增大，的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度的增长速度.尽管在尽管在x的一定范围内，的一定范围内，2xx0时，恒有时，恒有2x2x.归纳总结归纳总结总结二：总结二：一般地指数函数一般地指数函数y=ax(a1)与一次函数与一次函数y=kx(k0)的增长都与的增长都与上述类似上述类似.即使即使k值远远大于值远远大于a值，指数函数值，指数函数y=ax(a1)虽然有一段区间会小于虽然有一段区间会小于y=kx(k0)，但总会存在一个，但总会存在一个x0，当，当xx0时，时，y=ax(a1)的增长速度会的增长速度会大
8、大超过大大超过y=kx(k0)的增长速度的增长速度.归纳总结归纳总结跟踪训练跟踪训练1、四个变量四个变量y1，y2，y3，y4随变量随变量x变化的数据如表：变化的数据如表：关于关于x呈指数函数变化的变量是呈指数函数变化的变量是_.x151015202530y1226101226401626901y22321024377681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907答案：答案：y2以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量y1，
9、y2，y3，y4均是从均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象的增长速度最快，画出它们的图象(图略图略)，可知变量，可知变量y2关于关于x呈指数型函数变呈指数型函数变化故填化故填y2.分析：分析：(1)在区间在区间(-,0)上，对数函数上，对数函数y=lgx没意义，没意义，一次函数值一次函数值恒小恒小于于0，所以，所以研究在区间研究在区间(0,+)上它们的增长差异上它们的增长差异.(2)借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：
10、xy=lgx0不存在不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786以函数以函数y=lgx与与 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.y=lgx问题探究问题探究xy101 xy101(3)观察两个函数图象及其增长方式：观察两个函数图象及其增长方式：总结一：虽然函数总结一：虽然函数y=lgx与与 在在(0,+)上都是单调递增上都是单调递增，但，但它们的增它们的增长速度存在明显差异长速度存在明显差异.在在(0,+)上增长速度不变上增长速度不变，y=lgx在在(0,+)上的增长速度在变化上的增长速度在变化.随
11、着随着x的增大，的增大，的图象离的图象离x轴越来越远轴越来越远，而，而函数函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样轴平行一样.110yxy=lgx问题探究问题探究xy101 xy101 xy101 例如：例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4；111110110010100010010000100010101010，这表明，当这表明，当x10，即，即y1，y=lgx比比 相比增长得就很慢了相比增长得就很慢了.110yx110yxy=lgx问题探究问题探究思考：思考：将将y=lgx放大放大1000倍，将函数倍，将函数y=1000
12、lgx与与 比较，仍比较，仍有上面规律吗？先想象一下，仍然有有上面规律吗？先想象一下，仍然有.110yx 总结二：总结二：一般地，虽然对数函数一般地，虽然对数函数y=logax(a1)与一次函数与一次函数y=kx(k0)在在(0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度不同上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着随着x的增大，一次函数的增大，一次函数y=kx(k0)保持固定的增长速度，而对数保持固定的增长速度，而对数函数函数y=logax(a1)的增长速度越来越慢的增长速度越来越慢.不论不论a值比值比k值大多少，在一定范围内，值大多少，在一定范围内，logax可能会大于可能会大于kx，但由，但由
13、于于logax的增长会慢于的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个的增长，因此总存在一个x0，当，当xx0时，恒时，恒有有logaxkx.归纳总结归纳总结跟踪训练跟踪训练1、函数函数f(x)=lg x，g(x)=0.3x-1的图象如图所示的图象如图所示(1)试根据函数的增长差异指出曲线试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的的大小进行比较大小进行比较).解：解：(1)C1对应的函数为对应的函数为g(x)=0.3x1，C2对应的函数为对应的函数为f(x)
14、=lg x.(2)当当xf(x)；当；当x1xg(x)；当当xx2时，时，g(x)f(x)；当；当x=x1或或x=x2时，时，f(x)=g(x)常见的函数模型与增长特点常见的函数模型与增长特点方法规律方法规律(1)线性函数模型：线性函数模型：y=kx+b(k0)的增长特点是直线上升，其增长速的增长特点是直线上升，其增长速度不变度不变.(2)指数函数模型：指数函数模型：y=ax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即速度急剧增长，被形象地称为值增大的速度越来越快，即速度急剧增长，被形象地称为“指数爆指数爆炸炸”.(3)对数函数模型：对数
15、函数模型：y=logax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度越来越慢函数值增大的速度越来越慢，即增长速度越来越慢.(4)幂函数模型：幂函数模型：y=xn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间的增长速度介于指数增长和对数增长之间.根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡陡”的函的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数数是指数函数；图象趋于平缓的
16、函数是对数函数当堂达标当堂达标1、下列函数中随下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是的增大而增大且速度最快的是()Ay=exBy=ln x Cy=x2 Dy=ex解析：结合指数函数，对数函数及一次函数的图象变化趋势解析：结合指数函数，对数函数及一次函数的图象变化趋势可知可知A正确正确当堂达标当堂达标2、能使不等式能使不等式log2xx24时，时，log2xx20，指数函数指数函数g(x)=ax(a1)，对数函数，对数函数h(x)=logax(a1)在在定义域上定义域上的不同的不同增长方式增长方式.2、根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数课堂小结课堂小结
