1、3.2 函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第2课时复习与回顾 1.什么是函数的单调性？什么是单调递增，单调递减，增函数、减函数？2.理解函数的单调性时应把握好哪一些问题？3.如何判定函数的单调性？(1)图象法(直观判断)；(2)定义法(严格推导)。确定取值区间D：定义域或定义域下的某个区间取值：任取x1，x2D，且x10时：y=kx+b是增函数(2)k0时：y=kx+b是减函数2.反比例函数(0)kykx (1)时：0k 在单调递增，在，单调递增。(,0)(0)kyx (2)时：0k 在单调递减，在，单调递减。(,0)(0)kyx 一次函数，反比例函数，二次函数的单调性3.二次函数2
2、(0)yaxbxc a (1)时：0a (2)时：0a 在单 调 递 减，(,2ba yox-2bxa 24(-,)24bacbaa yox-2bxa 24(-,)24bacbaa 在，单 调 递 增。)2ba 在单 调 递 增，(,2ba 在，单 调 递 减。)2ba 例1.作出函数y=|x2+2x-3|图象的大致形状，并写出其单调递减区间.解:例析当x2+2x-30，即x-3或x1时y=x2+2x-3当x2+2x-30，即-3x1时y=-(x2+2x-3)222x+2x-3,x-3,y=-(x+2x-3),-3x f(3-a),求实数a 的取值范围.解：由f(2-a)f(3-a)得1211
3、3123aaaa 解得 2a3a 的取值范围为（2，3）探究新知(二)设函数的定义域为，区间，记，证明：函数在区间上单调递增的充要条件是：，都有 例。3.12121212()-()().()0fxIDIxxxyfxfxfxDyxxDxxx 根据我们在第一章所知识，请说说本题需要从 哪两个思考(1)：方面进行 证明？，都有12120yxxDxxx 在区间上单调递增()f xD充分性：必 要 性：在区间上单调递增()f xD，都有12120yxxDxxx 证明：，都有12120yxxDxxx 充 分 性：必要性：，1212()()0f xf xxx 即与同号1212()()f xf xxx 当时，
4、都有1212()(),xxf xf x 在 区 间上 单 调 递 增()fxD在区间上单调递增()f xD，当时，都有121212()()xxDxxf xf x 即1212()()0fxfxyxxx 综函数在区间上单调递增的充要条件是：上，()fxD，都 有12120yxxDxxx 设函数的定义域为，区间，记，证明：函数在区间上单调递增的充要条件是：，都有 例。3.12121212()-()().()0fxIDIxxxyfxfxfxDyxxDxxx 同 理，我 们 可 证“”的 充 要 条 件 是“,联 想 到 我 们 前 面 所 学 的 数 学 定 义 与 充 要 条 件的 关 系，你 能
5、给 出 函 数 单 调 性 的 又 一 个 定 义 吗？函 数在 区 间上单 调 递 减思 考(2)，都 有：1212()0fxDxxDxxyx 果，都有，如12120yxxxxDx 函数的单调性1212()-()()fxIDIxxxyfxfx 一般地，设函数的定义域为，区间。设，则称函数在区间上单调。递增()f xD果，都有，如12120yxxxxDx 则称函数 在单调递减区间上。()f xD将改为思考(3)也成立吗？：yxyx 78你能用这个等价定义解决教材思考(4上P 的)：例1吗？1.(0)fkxb k （x）例根 据 定 义，研 究 函 数的 单 调 性。解：，则1212,xxRxx
6、 ()fxkxbR 函 数定 义 域 为1212()()yf xf xxxx 1212()()kxbkxbxx k 当时，0k ()(0).xfkxb k 为 减 函 数 0k 当时，0yx 为 增 函 数()(0).fxkxb k 确定取值区间取值作比、化简、并判定平均变化率的符号作出结论0yx 例根 据 定 义，证 明 函 数在 区 间单 调 递 增。14.()(1,)fxxx 证明：1212(1,),xxxx ，则 确定取值区间取值作比、化简、并判定平均变化率的符号作出结论12()()fxfx 121211()()xxxx 121211()()xxxx 1212121()x xxxx x
7、 211212()xxxxx x 12121()(1)xxx x 1212(1,)xxxx ，120,xx 120,x x 1210 x x 1212121()0,x xxxx x 即12()()fxfx 1()(1,)fxxx 函 数在 区 间单 调 递 增探究新知(三)方法一例根 据 定 义，证 明 函 数在 区 间单 调 递 增。14.()(1,)fxxx 证明：，则1212(1,),xxxx 12121211()()xxxxxx 12121211()()xxxxxx 12121x xx x 21121212()xxxxx xxx ，12(1,)xx 12120,10 x xx x 即1
8、21210yx xxx x 1()(1,)fxxx 函 数在 区 间单 调 递 增方法二1212()()yfxfxxxx 确定取值区间取值作比判定平均变化率的符号作出结论你 能 探 究 函 数在 其 定 义 域 上 的 单 调 情 况 吗思：？考 11()fxxx 探 究 函 数的 单 调 性。1()fxxx 分析：，则1212(0,),xxxx 12121x xx x 当，时，12(1,)xx 12120,10 x xx x ，即0yx 函 数在 区 间单 调 递 增()(1,)fx 1212()()yfxfxxxx 的 定 义 域 为1()fxxx (-,0)(0,)首先来看函数在的单调情
9、况()(0,):fx 当，时，12(0,1)xx 12120,10 x xx x ，即0yx 函 数在 区 间单 调 递 减。()(0,1)fx同理可得，在的单调情况1()(,0):fxxx 函 数在 区 间，单 调 递 增()(1)fx 函 数在 区 间单 调 递 减。()(1,0)fx 其 图 象 大 致 为时，当，即时取等号0112211xxxxxxxx yxO1()fxxx 1 2 12事实上，分界点也可由基本不等式来确定 形 如的 函数，在的 条 件 下，函 数在 一象 限 的 图 象 类 似 于 老 师 改 作 业 的勾，我 们 把 形 如 函 数称 为对 勾 函 数。请 你 探
10、讨 一 下在 区 间(0 思 考,+)的 单 调 性。2：()()(0)0,0()“”()(0“”)0)bfxaxabxabfxkfxxbfxkxaxabx 简析：，则1212(0,),xxxx 12()()fxfx 1212()()kkxxxx 121212()x xkxxx x 1212()(1)kxxx x ，1212(0,)xxxx 120,xx 120,x x 当，时，12(,)xxk 120,x xk 12()()fxfx 在 区 间的 单 调 递 增()(0)(,)kfxxkkx 同 理，在 区 间，的 单 调 递 增()(0)(0)kfxxkkx yxO()kfxxx k2k下
11、 列 函 数 的 单 调 性 与，的 单 调 性 有 何 关 系？请 举 例 说 明。（）（C思为 常 数）（）；考：。()()11();(2)()(0);(3);()4()();(5)()()(6)()fxgxfxCkfxkfxfxgxfxgxfx 探究新知(四)（）是增函数，1()f xx（）在(0,+)单调递增，22()f xx 在(0,+)单调递增，22()2f xx -在(0,+)单调递减。2()f xx （）是增函数，3()(0)f xx x 是减函数，11(0)()xf xx （）和在(0,+)单调递增，24()()fxxg xx 在(0,+)单调递增，2()()f xg xxx
12、 和在(0,+)单调递减，2()()f xxg xx 在(0,+)单调递减，2()()fxg xxx 是增函数，是减函数()()fxxg xx 是增函数()()()2fxg xxxx 是减函数()()()2g xfxxxx 也是增函数。()11f xx 函数单的调性在运算上的性质（）与的单调情况相同；1()()f xCf x （）若，则与的单调情况相同；20()()kf xxkf 若，则与的单调情况相反；0()()kf xfkx （）若恒为正或恒为正负，则与的单调情况相反；13()()()f xf xf x （）若在公共区间上都具有单调性，则4(),()fxg xD 增增增,减减减,增减增,减
13、增减。（）若恒为非负数，则与的单调情况相同；5()()()fxfxfx 1.用函数的平均变化率如何对单调性进行定义？小结 2.怎样利用函数的单调性求函数的参数？3.函数的单调性在运算上有些什么性质？4.说说你对“对勾函数”单调性的认识？形式：代表：图象特点：单调区间分界点的确定：其中()(0)bf xaxabx 在的 条 件 下，函 数的 图 象 类 似在于限勾一 象(0,)0“”fxab 其中()(0)kfxxkx 方法一：利用单调性定义中定号的法则基本不等式取方法二：借助等号的条件作 业 1.教材P87习题3.2 第6,8(2)题2.(1)已知函数在，）上单调递增,求实数的取值范围。(2)
14、函数在，）上单调递减，若求实数的取值范围。2()(2-)52()(2 2(1)(21),f xxa xaf xf mfmm 3.()已知函数对任意总有且当时 求证是减函数选做题(),()()(),0,()0:();fxx yRfxyfxfyxfxfx 2.(1)已知函数在，）上单调递增,求实数的取值范围。(2)函数在，）上单调递减，若求实数的取值范围。2()(2-)52()(2 2(1)(21),f xxa xaf xf mfmm 函 数的 递 增 区 间 为2-2(1)()(2-)5,)2afxxa x 由题意义得，）-22,)2a ，解得-2262aa 由 题 意 得(2)21222121
15、21mmmm 1313220mmm 302m 3.()已知函数对任意总有且当时 求证是减函数选做题(),()()(),0,()0:();fxx yRfxyfxfyxfxfx 令可 得，令可 得证 明 ：，0(0)0,-(0)()(-)(-)-()xyfxyffxfxfxfx 且则1212,xxRxx 212121()()()(-)(-)f xf xf xfxf xx 1221 -0 xxxx 又时，210()0,(-)0 xfxfxx 即2112()()0,()()fxfxfxfx 是 减 函 数()x由 题 意 义 得的 定 义 域 为()fxR布置作业作业作业:课本课本39页页A组第组第1、2、3题题
