1、2021-2022学年高一数学经典题型必刷（人教A版2019必修第一册）第2.2课时 基本不等式一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）1若x0，y0，且x+y=S，xy=P，则下列说法中正确的是（ ）A当且仅当x=y时S有最小值2B当且仅当x=y时P有最大值C当且仅当P为定值时S有最小值2D若S为定值，当且仅当x=y时P有最大值2若a0，b0，且ab，则（ ）ABCD3若a，b为非零实数，则以下不等式：； .其中恒成立的个数是（ ）A4B3C2D14若，且，则的最小值为（ ）A2B3C4D55已知当x=a时，代数式取得最小值b，则a+b= （ ）A-3B2C3D86如图所示，
2、4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是（ ）A(a+b)24abB当a=b时，A1，B1，C1，D1四点重合C(a-b)24abD(a+b)2(a-b)27已知ab0，全集为R，集合M=，N=，P=，则M，N，P满足（ ）AP=MBP=NCP=M NDP=MN8某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（ ）ABCD二、多选题（本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意）9设其中为参数.下列选项正确的是（ ）A当时，的最大值为4B当时，的最小值为4C当时，的最小值为9D当时，
3、的最大值为310某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是（ ）A该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低B该单位每月最低可获利20000元C该单位每月不获利，也不亏损D每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损11设，且，则必有（ ）ABCD12已知a0，b0，对于代数式，下列说法正确的是（ ）
4、A最小值为9B最大值是9C当a=b=时取得最小值D当a=b=时取得最大值三、填空题（本大题共4小题）13函数的最小值是_.14工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.则工厂和仓库之间的距离为_千米时，运费与仓储费之和最小.15若，则的最小值为_16已知正实数a，b，c满足a2-2ab+9b2-c=0，则当取得最大值时，的最大值为_.四、解答题（本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程）17中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美
5、国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额成本）；（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？18已知实数a0，b0，且a2+b
6、28，若a+bm恒成立（1）求实数m的最小值；（2）若2|x1|+|x|a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围19已知方程的解为、.（1）求、的值.（2）求的最小值.20已知，满足.（1）求证：；（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数，使对任意恒成立，试写出一个，并证明之.21已知，均为正实数，求证：若，则22（1）若，求证：；（2）利用（1）的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时的值.参考答案1D【解析】x，yR+，x+y=S，xy=P，S=x+y2=2，当且仅当x=y时取等号；如果P是定值，那么当且仅当x=y时S的值最小，故AC错误；由得，P=，当且仅当x=y时取
7、等号；如果S是定值，那么当且仅当x=y时P的值最大，故D正确，B错误.故选：D.2B【解析】a，bR+，且ab，a+b2，而0，故选：B3C【解析】解：对于，由重要不等式可知正确；对于， ，故正确；对于，当时，不等式的左边为，右边为，可知不正确；对于，令可知不正确故恒成立的个数为个.故选：C.4C【解析】因为，所以因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立所以，即的最小值为4故选：C5C【解析】令，由，得x+10，0，所以由基本不等式得，当且仅当x+1=，即(x+1)2=9，即x+1=3，即x=2时取等号，所以a=2，b=1，a+b=3.故选：C6C【解析】对于A，由题图可知正方形ABCD的面积
8、不小于4个长方形的面积之和，即有(a+b)24ab，故A正确；对于B，正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2，当a=b时，正方形A1B1C1D1的面积为， A1，B1，C1，D1四点重合，故B正确；对于C，结合图象正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定，因此C选项错误.对于D，结合图形可知(a+b)2(a-b)2，且当a=b时A1，B1，C1，D1四点重合，故D正确；故选：C7A【解析】由ab0知，a，b，由基本不等式可得，（取等号条件不成立）.故ab.或，则M，即A正确；或，则N，即B错误；又，即CD错误.故选：A8B【解析】解：由题意得，则，因为，所以，所以，当
9、且仅当时取等号，故选：B9BC【解析】当时，则，即，当且仅当时等号成立，当时，的最小值为4；当时，解得（舍去）或，则，当且仅当时等号成立，当时，的最小值为9.故选：BC.10AD【解析】由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，当且仅当，即时等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元，故A正确；设该单位每月获利为S元，则，因为，所以.故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损，故D正确，BC错误，故选：AD11BD【解析】解：由基本不等式可得，又，所以，所以A错B对C错D对，故选：BD.12AC【解析】因为，所以=5+2，当且
10、仅当时，即a=b=时，等号成立.所以a=b=时，代数式取得最小值9.故选：AC.134【解析】令，则，当且仅当，即时，.所以函数的最小值是4.故答案为：4142【解析】设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，设；当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，所以，则；所以运费与仓储费之和为，因为，当且仅当，即时，运费与仓储费之和最小为万元.故答案为：2152【解析】由，则，当且仅当时取“”，即的最小值为2故答案为：2.161【解析】正实数a，b，c满足a2-2ab+9b2-c=0，得=，其中，当且仅当=，即a=3b时，取最小值6.故，取最大值又因为a2-2a
11、b+9b2-c=0，所以此时，所以，当时，即当a=3，b=1时，取得最大值1，故答案为：1.17（1）；（2）2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.【解析】（1）当时，；当时，； ；（2）若，当时，万元 ；若，当且仅当即时，万元 .答：2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元.18（1）4；（2）或【解析】（1）a2+b22ab，2a2+2b2（a+b）2，（a+b）216，（a+b）4，故m4，实数m的最小值为（2）由2|x1|+|x|a+b恒成立，由（1）可得a+b的最大值为4故只需2|x1|+|x|4，即：当x1时，
12、2（x1）+x4，解得：x2；当0x1时，2（1x）+x4，无解；当x0时，2（1x）x4，解得；故得实数x的取值范围是或19（1），；（2）.【解析】（1）由韦达定理可得，解得，；（2）由（1）知，所以，当时，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立.因此，的最小值为.20（1）证明见解析；（2），证明见解析.【解析】（1）由于，所以，要证，只需证明.左边（2）要使，只需，左边，所以只需即可，即，所以可以取，3代入上面过程即可.21证明见解析【解析】证明：因为，均为正实数，由基本不等式得，当且仅当时，即a=1取等号，同理，当且仅当时，即b=1取等号，当且仅当时，即c=1取等号，以上三式相加，得所以，当且仅当时，取等号22（1）证明见解析；（2）当时取得最小值，最小值为25.【解析】（1）当时，当且仅当时取等号，；（2）当时，由（1）可知，当且仅当，即时取等号，即当时，取得最小值.
