1、2021-2022学年度永强中学高一数学期中考试复习-4指数函数与对数函数（含解析）一、单选题1下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）ABCD2已知函数则（ ）A10B2CD3已知函数，若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）ABCD4若，则（ ）ABCD5已知，且，函数与的图象只能是图中的（ ）ABCD6已知函数为偶函数，函数为奇数，当时，则（ ）ABCD7设函数则满足的的取值范围是（ ）ABCD8通常人们用震级来描述地震的大小，地震震级是对地震本身大小的相对量度，用表示，强制性国家标准GB17740-1999地震震级的规定规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动最
2、大值进行测定，计算公式如下（其中为震中距），已知某次某地发生了级地震，测得地震面波质点运动最大值为，则震中距大约为（ ）ABCD9已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：当时，函数值域为当时方程恰有四个实根当时，若恒成立，则其中正确的个数为（ ）A1B2C3D410若不等式恒成立，则实数的范围是（ ）ABCD.二、填空题11_12函数的单调减区间为_13设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是_.14设，则的最小值为_15设函数，若恰有1个零点，则实数a的取值范围是_16设函数若函数有三个零点，则实数a的范围为_17某数学学习小组为了锻炼自主探究学习能力，以函数为基本素材研究其相关
3、性质，得到部分研究结论如下函数在定义域上是奇函数；函数的值域为；使的的取值范围为；对于任意实数，都有.其中正确的结论是_（填上所有正确结论的序号）.三、解答题18已知函数，其中（1）求的最大值和最小值；（2）若实数满足恒成立，求实数的取值范围19已知定义域为的函数是奇函数，当时，.（1）求在上的解析式；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.20某种商品原来每件价格为元，年销售万件（1）据市场调查，价格每提高元，年销售量将相应减少件，要使该商品的年销售收入不低于原来的年销售收入，该商品每件价格最高为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销
4、策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技术改革费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：该商品明年的销售量（单位：万件）至少应达到多少万件，才可能使明年的销售收入不低于技术改革和宣传费用的总投入与原来的年销售收入之和？21已知函数，定义域为的偶函数.(1)求实数b的值；(2)若，函数的负数零点有且仅有一个，求a的取值范围.22已知函数（k为常数，），且是偶函数.（1）求k的值；（2）设函数，若方程只有一个解，求a的取值范围.参考答案1D【分析】熟悉指数函数，对数函数，幂函数，反比例函数的图像特点，即可判断其在区间上的单调性.【详解】对于A，由于 ，结合指数函数单调性可
5、知，函数在区间上单调递增；对于B，的底数为10，且 ，结合对数函数单调性可知，函数在区间上单调递增；对于C，幂函数中指数为3， ，结合幂函数单调性可知,函数在区间上单调递增；对于D，反比例函数，即 ，结合反比例函数单调性可知，函数在区间上单调递减.故选：D2D【分析】根据分段函数解析式，直接将代入即可求解.【详解】由所以.故选：D3B【分析】利用二次函数、指数函数的单调性以及函数单调性的定义，建立关于a的不等式组，解不等式组即可得答案.【详解】解：因为函数在R上为减函数，所以，解得，所以实数a的取值范围为，故选：B.4A【分析】根据对数函数和指数函数单调性，借助临界值和即可比较出大小.【详解】
6、，.故选：A.5B【分析】求出函数的定义域，分、两种情况讨论，分析函数与的单调性，由此可得出合适的选项.【详解】对于函数，可得，即函数的定义域为，排除AC选项，当时，函数为增函数，对于函数，由于内层函数为减函数，外层函数为增函数，所以，函数为上的减函数，B选项满足要求；当时，函数为减函数，对于函数，由于内层函数为减函数，外层函数为减函数，所以，函数为上的增函数，D选项不满足要求.故选：B.6B【分析】由是偶函数，是奇函数，可得，于是，即函数是以4为周期的函数，再根据函数得周期性即可的解.【详解】解：是偶函数，是奇函数，即函数是以4为周期的函数，则.故选：B.7D【分析】结合函数性质分析可得或，
7、求解即可【详解】由题意，在单调递增，且故或解得：故选：D8C【分析】由题意，代入式子可得，结合选项估计，即得解【详解】由题意，代入可得因此震中距是接近100但小于100的数结合选项，震中距大约为98故选：C9C【分析】由题可画函数图象，结合图象可解.【详解】当时，是把向右平移2个单位变成后，再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，如图：，故正确；由题知函数在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，故当时，函数值域为，故正确；当时有无数个实数根，故错误；当时，函数的图象与的图象交于点，结合图象，即，故正确,故选：C10D【分析】先将不等式化简，进而参变分离转化为求函数最值问题
8、，最后解得答案.【详解】题设不等式化为，即，易知是减函数，时，所以由不等式上恒成立得.故选：D.11【分析】根据分数指数幂及换底公式计算可得；【详解】解：故答案为：12或【分析】由二次函数、对数函数的单调性，结合复合函数的单调性判断确定的减区间.【详解】令，易知：上递增，上递减，对于为减函数，且，即.综上，在上为减函数.故答案为：13【分析】结合方程的特点，可设（），问题转化为一元二次方程（）与两个函数有交点问题.【详解】因为，所以，令（），则（），要想方程有实数解只需与有交点即可；设，当时，单调递增，所以，即时，解得时，有实数解故答案为：.14#【分析】利用消元法化简，再根据二次函数的性质可
9、求其最小值.【详解】因为且，故且.而，当且仅当时等号成立，故所求最小值为.故答案为：.15【分析】首先求和的实数根，再根据分段函数只有1个零点，确定实数的取值范围.【详解】，解得：或，解得：，当时，函数的零点只有一个，即，当时，函数有两个零点，即或，当时，函数的零点只有一个，即，当时，函数有两个零点，即或，综上可知，若恰有1个零点，则的取值范围是.故答案为：16【分析】令，则原方程的解变为方程组的解，作出函数，采用数形结合法即求【详解】函数的零点即为方程的解，令，则原方程的解变为方程组的解，作出函数的图象，由图象可知，当时，有唯一的x与之对应；当时，有两个不同的x与之对应由方程组有三个不同的x
10、知，需要方程有两个不同的t，且一个，一个，结合图象可知，当时，满足一个，一个，符合要求，综上，实数a的取值范围为故答案为：17.【分析】先分析定义域，再根据的关系即可判断出奇偶性；将变形为，然后根据指数函数单调性求解出的值域；先分析的单调性以及的取值，然后根据单调性将问题转化为，由此求解出的取值范围；分别计算出分式的分子与分母，然后两部分相除验证结果是否为.【详解】：定义域为关于原点对称，又，所以为奇函数，故正确；：，因为，所以，所以，所以的值域为，故正确；：因为中单调递增，所以单调递减，所以单调递增，且，因为，所以，所以，所以，即，故正确；：，所以，而与不恒相等，故错误；故答案为：.【点睛】
11、思路点睛：求解形如的函数的值域的步骤：（1）先采用分离常数的方法将函数变形为；（2）根据已知条件分析出的取值范围，由此分析出的取值范围，则的取值范围可分析出，即的值域可求.18（1）最大值，最小值；（2）.【分析】（1）令，问题转化为求二次函数在上的最大值和最小值，利用二次函数的基本性质即可得解；（2）分析可得，结合（1）中的结论可求得实数的取值范围.【详解】（1）因为，因为，设，设，其中，则，则，；（2）因为对任意的恒成立，则，解得.因此，实数的取值范围是.19（1）；（2）.【分析】（1）由时，结合可得时的解析式，综合两部分解析式可得结果；（2）由奇偶性可将不等式变为，分别在、和三种情况下
12、，利用恒成立问题的求解方法可确定的范围.【详解】（1）当时，又为上的奇函数，；（2）由得：，由（1）知：，即对，；当时，为减函数，在上为减函数，由题意知：当时，；当时，；当时，恒成立，即，；当时，若时，解得：或，不符合；当时，不合题意；当时，解得：或，又，；当时，由知：，解得：或，不等式组无解；综上所述：的取值范围为.20（1）每件定价最多为40元（2）至少应达到12.2万件【分析】（1）设每件定价为元，求出原销售收入和新销售收入后列不等式求解；（2）列出不等关系，分离参数得有解.注意，利用基本不等式求得不等式右边的最小值即可得【详解】（1）设每件定价为元，依题意，有，整理得，解得.因此要使销
13、售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.（2）依题意，时，不等式能成立，等价于时，有解.时，(当且仅当时，等号成立)，.因此当该商品明年的销售量至少应达到12.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元.21(1)1；(2).【分析】(1)利用偶函数的定义即可求解；(2)利用指数函数的单调性以及复合函数单调性求出在上单调递减，然后结合已知条件可得到，进而求解不等式即可.【详解】(1)因为为定义域为的偶函数，所以，解得；(2)当时，由指数函数单调性和复合函数单调性易知，在上单调递减，因为有且仅有一个负数零点，且当时，所以，即，故a的取值范围为.22（1）；（2）或.【分析】（1）由偶函数的性质即可求出；（2）令，题目等价于只有一解，讨论，两种情况讨论求解.【详解】（1）因为，是偶函数，因为，即，；（2）若方程只有一个解，即只有一个解，整理得：，令得，令，因为，所以与同号，当时，则，方程在区间上只有一个解，因为图像是开口向上的，且，所以当时方程在区间上只有一个解；当时，则，方程在区间上只有一个解，因为方程对应的二次函数图像是开口向下的，且，则解得，所以当时，方程在区间上只有一个解；综上：当或时，方程只有一个实根.
