1、4.4.3不同函数增长的差异不同函数增长的差异|常见函数模型的比较 y=ax(a1)y=logax(a1)y=kx(k0)在(0,+)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐变“缓”增长速度不变增长速度y=ax(a1)的增长速度远远 快于 y=kx(k0)的增长速度,y=kx(k0)的增长速度 快于 y=logax(a1)的增长速度结果存在一个x0,当xx0时,有 axkxlogax 1.当x每增加一个单位时,y增加或减少的量为定值(不为0),则y是x的一次函数.()2.函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.()3.不存在一个实数m,使得当xm
2、时,1.1xx100.()提示:由于底数大于1的指数函数增长速度大于幂函数,因此存在一个实数m,使得当xm时,1.1xx100.4.对数函数y=logax(a1)和幂函数y=xn(n0)在区间(0,+)上,总存在一个x0,当xx0时,有logax1)与y=kx(k0)都是增函数,随着x的增大,指数函数的增长速度越来越快,相比指数函数,一次函数增长得较慢.常见的函数模型及增长特点1.线性函数模型y=kx+b(k0)的增长特点是增长速度不变,可称为“直线上升”.2.指数函数模型y=ax(a1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”.3.对数函
3、数模型y=logax(a1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓,可称为“对数增长”.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:当x1时,甲在最前面;当x1时,乙在最前面;当0 x1时,丁在最后面;丙不可能在最前面,也不可能在最后面;如果它们一直运动下去,那么最终在最前面的是甲.其中,所有正确结论的序号为 .解析 路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x0)的函数关
4、系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它们相对应的函数模型分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数型函数.当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=4,不正确;当x=5时,f1(5)=31,f2(5)=25,不正确;根据四种函数的变化特点,画出四个函数的图象,可知当x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等,而对数型函数的增长速度是先快后慢,从而当0 x1时,丁在最后面,正确;结合各函数图象的变化情况,可知丙不可能在最前面,也不可能在最后面,正确;指数函数的增长速度急剧,故若运动的时间足够长,则最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物
5、体,即一定是甲,正确.2|几种常见的函数模型的选择不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律:(1)线性函数模型适合描述增长速度不变的变化规律;(2)指数函数模型适合描述增长速度急剧的变化规律;(3)对数函数、幂函数模型适合描述增长速度平缓的变化规律.因此,需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双.由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量,且厂里暂时不准备增加设备和工人.假如你
6、是厂长,就月份为x,产量为y给出三种函数模型:y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=abx+c,其中a0,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量?解析 由题意知,将产量随时间变化的数据分别表示为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).(1)若选择函数y=ax+b,将B,C两点的坐标代入函数解析式,得解得y=0.1x+1.由此可得结论:在不增加工人和设备的条件下,产量会每月增加1 000双,这是不太可能的.(2)若选择函数y=ax2+bx+c,将A,B,C三点的坐标代入函数解析式,得21.2,31.3,abab0.1,1,ab1,421.2,931.3,abca
7、bcabc解得y=-0.05x2+0.35x+0.7.由此式计算得4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数的性质可知,产量自4月份开始每月下降,不符合实际.(3)若选择函数y=abx+c,将A,B,C三点的坐标代入函数解析式,得由得ab=1-c,代入,得解得0.05,0.35,0.7,abc 231,1.2,1.3,abcabcabc2(1)1.2,(1)1.3,bccbcc0.5,1.4.bc则a=-0.8,y=-0.80.5x+1.4.把x=4代入,得y=-0.80.54+1.4=1.35.故在三个函数模型中y=abx+c的误差最小.随着工人技术和管理效益逐渐提高,一
8、段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不增加设备和工人,产量必然趋于稳定,而y=-0.80.5x+1.4恰好反映了这种趋势.因此选用函数模型y=-0.80.5x+1.4比较接近客观实际.1cb题组一不同函数增长的差异1.下列函数中,增长速度越来越慢的是(B)A.y=6x B.y=log6x C.y=x6D.y=6x2.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知同年9月份两食堂的营业额又相等,则同年5月份(A)A.甲食堂的营业额较高 B.乙食堂的营业额较高C.甲、乙两食堂的营业额相同 D.
9、不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高3.(2020湖南醴陵一中高一上期中)已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,在区间(0,+)上一定存在x0,当xx0时(A)A.2xx2log2xB.x22xlog2x C.log2x2xx2 D.log2xx22x4.某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标,特制订了一个销售人员年终绩效奖励方案:当销售利润为x万元(4x10)时,奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加,但奖金总数不超过2万元,同时不超过销售利润的,则下列函数中,符合该公司奖励方案的函数模型是(参考数据:lg 20.3,lg 30.48,lg 50.7)(B)A.y=0
10、.4xB.y=lg x+1 C.y=D.y=1.125x题组二图象信息迁移问题5.向高为H的水瓶内注水,一直到注满为止,如果注水量V与水深h的函数图象如图所示,那么水瓶的形状大致是(B)6.(2021山东德州、烟台高一上期中联考)某高三学生于2020年9月第二个周末乘高铁赴济南参加全国高中数学联赛(山东省赛区)的比赛活动.早上他乘坐出租车从家里出发,离开家不久,发现身份证忘在家里了,于是回到家取上身份证,然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站,令x(单位:分钟)表示他离开家的时间,y(单位:千米)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计,出租车匀速行驶,则下列图象中与上述事件吻合最好的是(C)7.(多选)如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化的过程中某种有害物质的剩余量y与净化时间t(月)之间满足的函数关系:y=at(t0,a0,a1)的图象.若有害物质的初始量为1,则以下说法中正确的是(ACD)A.第4个月时,剩余量就会低于 B.每月减少的有害物质的量都相等C.有害物质每月的衰减率为D.当剩余量为,时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3C
