1、 薛定谔薛定谔（Erwin Schrodinger，18871961）奥地利理论物理学家。在德布罗意物质波思想的基础上，引入波函数来描述微观客体，提出以薛定谔方程为基础的波动力学，并建立了微扰的量子理论量子力学的近似方法。他是量子力学的创始人之一。（1）含有对时间的一阶偏导数，且要求波函数是复数；（2）由态叠加原理，该方程为线性方程；（3）这个方程的系数不应该包含状态参量。运动方程的解为求一阶偏导数得E 用非状态参量代替，由非相对论情况得则说明：即可以看出：作如下变换即作用到波函数上它的总能量为tr，两边乘以作如下变换则得令得哈密顿算符哈密顿算符势场中粒子的波动方程势场中粒子的波动方程薛定谔方
2、程薛定谔方程作替换得，并将，两边乘以PEtrrrN21多粒子多粒子体系薛定谔体系薛定谔方程方程 子的机械能守恒。不显含时间，则运动粒若rV令方程解的形式为代入薛定谔方程式 ，并用分离变量法分离且两边同除以tfr得所以若要等式成立，两边应为同一常数 E，即无关，与trE积分得所以即为能量。罗意假设，常数，由德布的正弦函数，频率为为EhEt方程右边即 当 V 不显含时间 t 时，能量具有确定值，能量不随时间变化的状态称为定态定态。波函数为定态波函数定态波函数。上述方程即为定态薛定谔方定态薛定谔方程：程：，可得波函数求出波函数r 本征态函数。称为，值，称为能量的本征值可以取的不能任意取值，要满足波函
3、数的条件，rEEr 定态波函数描述的粒子：定态波函数描述的粒子：（1）空间各处的几率密度不会随时间变化；（2）一切力学量（不显含 t）的平均值也不会改变。Oax xV势能分布为，为定态问题。不显含txV由定态薛定谔方程 axx，01令则通解为 即在即在 xa，x0 的区域内，粒子的区域内，粒子出现的几率为零。出现的几率为零。002xVax，令则通解为根据函数的连续性，有代入得即（一）能量量子化（能级）（一）能量量子化（能级）（1）基态和激发态）基态和激发态（2）例：例：，则的势阱内（普通势阱）的电子，处在质量makgm231100.1101.9（微观），则的势阱内若电子处在ma1010所以，当
4、 n 1，则当 n 时，量子经典。（3）“静止的波静止的波”无意义无意义粒子的波动性粒子的波动性（二）正交归一化波函数（二）正交归一化波函数：确定nC即所以得（三）几率密度（三）几率密度能量为 E 的粒子在势阱中的几率密度为（1）一维无限深势阱）一维无限深势阱的粒子波函数的粒子波函数xxxx1n2n3n4n0000aaaa1234xxxx1n2n3n4n0000aaaa21222324（2）一维无限深）一维无限深势阱的粒子位置势阱的粒子位置几率密度分布几率密度分布 例例 射在一维无限深势阱中，运动粒子的状态用描述，求粒子能量的可能值及相应的几率。解：解：一维无限深势阱的本征波函数为相应的本征能
5、量值为将状态波函数用本征波函数展开得 所以粒子处于状态 n=1，3 本征态上的几率均为能量的可能值为 线性谐振子（如分子振动、晶格振动、原子表面振动等）：取平衡位置为势能零点，线性谐振子的势能为定态薛定谔方程为为简单起见，引入无量纲参量代替 x：则分析：当 x 即 时，方程近似表达为在 时，波函数的渐近行为是 无限深势阱本征态为束缚态，+号不合理，应舍去。令方程的一般解为代入方程得 此方程用级数法求解，为使是束缚态，必须为奇数，即（一）能量量子化（一）能量量子化由得（1）能量量子化）能量量子化（2）基态能）基态能（二）本征波函数（二）本征波函数当可求出相应方程的解 nH归一化本征波函数为偶函数量子状态偶函数量子状态偶宇称态偶宇称态奇函数量子状态奇函数量子状态奇宇称态奇宇称态（三）几率分布（三）几率分布x 20 x11O02442（1）基态线性谐振子）基态线性谐振子几率分布几率分布（2）n=10 线性谐振子线性谐振子几率分布几率分布
