1、 第第2 2讲讲 空间向量与立体几何空间向量与立体几何1.1.共线向量与共面向量定理共线向量与共面向量定理 （1 1）如果表示空间向量的有向线段所在直线互相）如果表示空间向量的有向线段所在直线互相 平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量.（2 2）平行于同一个平面的向量叫做共面向量）平行于同一个平面的向量叫做共面向量.（3 3）共线向量定理：对空间任意两个向量）共线向量定理：对空间任意两个向量a a、b b (b b0 0),),a ab b的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数 ，使，使a a=b b.（4 4）共面向量定理：如果两个向量共面向
2、量定理：如果两个向量a a、b b不共线，不共线，则向量则向量p p与向量与向量 a a、b b共面的充要条件是存在实数对共面的充要条件是存在实数对 (x,y)x,y)，使，使p p=x=xa a+y+yb b.2 2.空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算 设设a a=(a a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),b b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3),),则则a a+b b=(a=(a1 1+b+b1 1,a,a2 2+b+b2 2,a,a3 3+b+b3 3),),a a-b b=(a=(a1 1-b-b1 1,a,a2 2-b-b2 2,a,a3 3-b-b3 3),
3、),a a=(a a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),a ab b=a=a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3,a ab b a a=b b a a1 1=b=b1 1,a,a2 2=b=b2 2,a,a3 3=b=b3 3(R)R),a ab b a ab b=0=0 a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3=0 0.3.3.模、夹角和距离公式模、夹角和距离公式 （1 1）设设a a=(a a1 1,a,a2 2,a,a3 3),b b=(b b1 1,b,b2 2,b,b3 3),则则|a a|=|=,23222
4、1aaaaacoscosa a,b b=(2)(2)距离公式距离公式设设A A（x x1 1,y,y1 1,z,z1 1）,B(x,B(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则则d dABAB=.=.(3)(3)平面的法向量平面的法向量如果表示向量如果表示向量a a的有向线段所在直线垂直于平面的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面则称这个向量垂直于平面 ，记作，记作a a .如果如果a a ，那么向量，那么向量a a叫做平面叫做平面 的法向量的法向量.4.4.直线与平面、平面与平面的平行与垂直直线与平面、平面与平面的平行与垂直设直线设直线l l，m m的方向向量分别为的方
5、向向量分别为a a=(a=(a1 1,b,b1 1,c,c1 1),),b b=(a=(a2 2,b,b2 2,c c2 2).).平面平面 、的法向量分别为的法向量分别为 =(a=(a3 3,b,b3 3,c,c3 3),),v v=(a=(a4 4,b,b4 4,c,c4 4)（以下相同）（以下相同）.232221232221332211bbbaaabababababa221221221)-()-()-(zzyyxx(1)(1)线面平行线面平行l l a a a a =0 0 a a1 1a a3 3+b+b1 1b b3 3+c+c1 1c c3 3=0.=0.(2)(2)线面垂直线面垂
6、直l l a a a a=a a1 1=a=a3 3,b,b1 1=b=b3 3,c,c1 1=c=c3 3.(3)(3)面面平行面面平行 v v =k kv v a a3 3=k ka a4 4,b,b3 3=k kb b4 4,c,c3 3=k kc c4 4.(4)(4)面面垂直面面垂直 v v v v=0=0 a a3 3a a4 4+b+b3 3b b4 4+c+c3 3c c4 4=0.=0.5.5.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线设直线l,ml,m的方向向量分别为的方向向量分别为a a=(a=(a1 1,b,b1 1,
7、c,c1 1),),b b=(a=(a2 2,b,b2 2,c,c2 2).).平面平面 、的法向量分别为的法向量分别为 =(a=(a3 3,b,b3 3,c,c3 3),),v v=(a=(a4 4,b,b4 4,c,c4 4)（以下相同）（以下相同）.kkkk(1)(1)线线夹角线线夹角设设l l，m m的夹角为的夹角为 (0 )(0 )，则，则cos cos(2)(2)线面夹角线面夹角设直线设直线l l与平面与平面 的夹角为的夹角为 （0 0 ）,则则sin =|cossin =|cosa a，|.|.(3)(3)面面夹角面面夹角设平面设平面 、的夹角为的夹角为 （0 0 0 0，xx0
8、 0=，Q Q 即在线段即在线段CDCD上存在一点上存在一点Q Q满足题意满足题意.探究提高探究提高 空间向量最适合于解决这类立体几何中的空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断推理，只需通过坐标运算进行判断.在解题过程中，在解题过程中，往往把往往把“是否存在是否存在”问题，转化为问题，转化为“点的坐标是否点的坐标是否有解，是否有规定范围的解有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题决更简单、有效，应善于运用这一方法解题.,
9、5454,8.0|202220 xxEA即nn34.0,2,34 变式训练变式训练4 4 （20092009宁夏、海南理，宁夏、海南理，1919）如图，四）如图，四 棱锥棱锥S SABCDABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是的底面是正方形，每条侧棱的长都是 底面边长的底面边长的 倍，倍，P P为侧棱为侧棱SDSD上的点上的点.（1 1）求证：求证：ACSDACSD；（2 2）若若SDSD平面平面PACPAC，求二面角，求二面角P P AC ACD D的大小；的大小；（3 3）在在（2 2）的条件下，侧棱的条件下，侧棱SCSC上是否上是否 存在一点存在一点E E，使得，使得BEBE平面平面P
10、AC.PAC.若存在，若存在，求求SEECSEEC的值；若不存在，试说明理由的值；若不存在，试说明理由.2（1 1）证明证明 连结连结BDBD，设，设ACAC交交BDBD于于O O，由题意知，由题意知SOSO平面平面ABCDABCD，以，以O O为坐标原点，为坐标原点，、分分别为别为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴的正方向，建立空间直角坐标系轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyzO-xyz如图所示如图所示.设底面边长为设底面边长为a,a,则高则高SO=a.SO=a.于是于是S S（0 0，0 0，a a）,OB OCOS2626,26,0,22aaSD0,22,0aC,0,22,0,0,
11、0,22aOCaB,0,0,22aD =0 0.故故OCSDOCSD，从而，从而ACSD.ACSD.(2)(2)解解 由题意知，平面由题意知，平面PACPAC的一个法向量的一个法向量 平面平面DACDAC的一个法向量的一个法向量 设所求二面角为设所求二面角为 ,则则coscos =，故所求二面角，故所求二面角P PACACD D的大的大小为小为3030.OCSD,26,0,22aaDS,26,0,0aOS23|DSOSDSOS(3)(3)解解 在棱在棱SCSC上存在一点上存在一点E E使使BEBE平面平面PAC.PAC.由由（2 2）知知 是平面是平面PACPAC的一个法向量的一个法向量,而而
12、 即当即当SEEC=SEEC=2121时，时，而而BEBE不在平面不在平面PACPAC内，故内，故BEBE平面平面PAC.PAC.DS.26),1(22,22,0,22,22,26,22,0,26,0,22attaaCStBCCEBCBECStCEaaBCaaCSaaDS则设且,310tDSBEBE,DS规律方法总结规律方法总结1 1.点共线、点共面的证明方法点共线、点共面的证明方法（1 1）点共线点共线由共线向量定理可知，要证明三点由共线向量定理可知，要证明三点A A、B B、C C共线，共线，只需证明：只需证明：ABACABAC，且，且ABAC=A.ABAC=A.（2 2）点共面点共面由空
13、间向量基本定理知，要证由空间向量基本定理知，要证P P、MM、A A、B B四点四点共面，只需证明存在有序实数对（共面，只需证明存在有序实数对（x,yx,y），使），使 =x +y .=x +y .2.2.空间线面关系的判定空间线面关系的判定设不同直线设不同直线l l，m m的方向向量分别为的方向向量分别为a a,b b，不同平，不同平 面面 、的法向量分别为、的法向量分别为u u,v v，则，则MPMAMB lm lma ab ba a=k kb b,k kR R;lm lma ab ba ab b=0 0;l l a au ua au u=0 0;l l a au ua a=k ku u,
14、k kR R;u uv vu u=k kv v,k kR R;u uv vu uv v=0 0.3 3.空间角的计算空间角的计算 （1 1）两条异面直线所成角的求法两条异面直线所成角的求法 设直线设直线a,ba,b的方向向量为的方向向量为a a,b b，其夹角为，其夹角为 ，则，则 coscos =|=|coscos|=|=(其中其中 为异面直线为异面直线a,b a,b 所成的角所成的角).|baba（2 2）直线和平面所成角的求法直线和平面所成角的求法如图所示，设直线如图所示，设直线l l的方向向量为的方向向量为e e，平面，平面 的法向量的法向量为为n n，直线，直线l l与平面与平面 所
15、成的角为所成的角为 ，两向量，两向量e e与与n n的夹的夹角为角为 ，则有，则有sinsin =|=|coscos|=|=，或者，或者sinsin =coscos .|nene(3)(3)二面角的求法二面角的求法利用向量求二面角的大小，利用向量求二面角的大小，可以不可以不作作出平面角，如图所示，出平面角，如图所示，m,nm,n即为所求二面角的平面角即为所求二面角的平面角.对于易于建立空间对于易于建立空间直直角角坐坐标系的几何体标系的几何体,求二面求二面角的大小时，可以利用角的大小时，可以利用这这两个平面的法向量的夹两个平面的法向量的夹角来求角来求.如图所示，二面角如图所示，二面角 -l-l-
16、，平面，平面 的法向量为的法向量为n n1 1，平面平面 的法向量为的法向量为n n2 2，n n1 1，n n2 2=，则 则 二面角二面角 -l-l-的大小为的大小为 或或 -.-.一、选择题一、选择题1 1.以下命题中，不正确的命题个数为以下命题中，不正确的命题个数为 （）已知已知A A、B B、C C、D D是空间任意四点，则是空间任意四点，则 +=+=0 0；若若 a,b,ca,b,c 为空间一个基底，则为空间一个基底，则 a+b,b+c,c+aa+b,b+c,c+a 构成空间的另一个基底构成空间的另一个基底;对空间任意一点对空间任意一点O O和不共线三点和不共线三点A A、B B、
17、C,C,若若 =x +y +z =x +y +z (其中其中x,y,zx,y,zR R),则则P P、A A、B B、C C四点共面四点共面.A A.0 B0 B.1 C1 C.2 D2 D.3 3ABBCCDDAOPOAOBOC解析解析 由向量的和运算知正确由向量的和运算知正确.由由a a,b b,c c为空间一个基底，为空间一个基底，则则a a,b b,c c为两两不共线的非零向量为两两不共线的非零向量.不妨假设不妨假设a a+b b=x=x(b b+c c)+y+y(c c+a a),即（即（1 1-y-y）a a+(1(1-x-x)b b-(x+yx+y)c c=0 0.1 1-x=-
18、x=0 0 1 1-y=-y=0 0 x+y=x+y=0 0,不存在实数不存在实数x x、y y使假设成立，故使假设成立，故正确正确.中若加入中若加入x+y+z=x+y+z=1 1则结论正确，故则结论正确，故错误错误.答案答案 B Ba a、b b、c c两两不共线，两两不共线，2 2.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，给出以下向量表达中，给出以下向量表达 式：式：其中能够化简为向量其中能够化简为向量BDBD1 1的是的是 （）A A.B B.C C.D D.解析解析 中中 中中 中中 中中 所以选所以选A A.;)(111ABAADA;2)
19、(1DDABAD;)(1111DDAADB;)(11111BDABADABAADA；）（1111111BDCDBCCDBBBCAD(;)(111CDBBBC;22)111BDDDBDDDAB)(111AADB,111111BDDBDDDBDDA3 3.A.A、B B、C C、D D是空间不共面的四点，且满足是空间不共面的四点，且满足 则则BCDBCD是是 （）A.A.钝角三角形钝角三角形 B B.锐角三角形锐角三角形 C.C.直角三角形直角三角形 D D.不确定不确定 解析解析 DBCDBC是锐角是锐角.同理可证同理可证DCBDCB，BDCBDC都是锐角都是锐角.BCDBCD是锐角三角形是锐角
20、三角形.ACAB,0,0,0ADABADAC,ABADBDABACBC)()(ABADABACBDBC.0|22ABABB4.4.（20092009宁夏、海南理，宁夏、海南理，8 8）如图所示，）如图所示，正方体正方体 ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1 1，线段线段B B1 1D D1 1上有两个动点上有两个动点E E，F F且且EF=EF=，则下列结论中错误的，则下列结论中错误的是（是（）A A.ACBE.ACBE B B.EF.EF平面平面ABCDABCD C C.三棱锥三棱锥A ABEFBEF的体积为定值的体积为定值 D D.异面直线异面
21、直线AEAE，BFBF所成的角为定值所成的角为定值 解析解析 ACAC平面平面BBBB1 1D D1 1D D，又，又BEBE平面平面BBBB1 1D D1 1D.D.ACBE ACBE，故，故A A正确正确.B B1 1D D1 1平面平面ABCDABCD，又，又E E、F F在直线在直线D D1 1B B1 1上运上运 动，动，EFEF平面平面ABCDABCD，故，故B B正确正确.22C C中由于点中由于点B B到直线到直线B B1 1D D1 1的距离不变的距离不变,故故BEFBEF的面的面积为定值，又点积为定值，又点A A到平面到平面BEFBEF的距离为的距离为 ,故故V VA AB
22、EFBEF为定值为定值.当点当点E E在在D D1 1处，处，F F为为D D1 1B B1 1的中点时的中点时,建立空间直角坐标系，如图所示，建立空间直角坐标系，如图所示，可得可得A A（1 1，1 1，0 0），B B（0 0，1 1，0 0）,E E（1 1，0 0，1 1），），F F（），），=(0,-1,1)(0,-1,1),=（）,=.=.又又|=|=，|=|=，2212121，12121，AEBFAEBF23226AEBFcoscosAEAE，BFBF=AE=AE与与BFBF成成3030角角.当当E E为为D D1 1B B1 1中点，中点，F F在在B B1 1处时，此时处时
23、，此时E E ，F F（0 0，1 1，1 1），），=,=,=(0,0,1)(0,0,1),=1 1,|=,|=,coscos ,=，故选，故选D D.答案 D.232622312121,12121,-AEBFAEBF23233632AEAE BF5 5.如图所示如图所示,在正方体在正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,棱长为棱长为a,M,Na,M,N 分别为分别为A A1 1B B和和ACAC上的点上的点,A,A1 1MM =AN=,=AN=,则则 MNMN与平面与平面 BBBB1 1C C1 1C C的位置关系是（的位置关系是（）A A.相交相交
24、B B.平行平行 C C.垂直垂直 D D.不能确定不能确定 解析解析 分别以分别以C C1 1B B1 1、C C1 1D D1 1，C C1 1C C所在直线为所在直线为x x，y y，z z轴，建立空间直角坐标系轴，建立空间直角坐标系.A A1 1M=AN=aM=AN=a，M M ，N N ，32a323,32,aaaaaa,32,32 =.=.又又C C1 1（0 0，0 0，0 0），D D1 1（0 0，a a，0 0）,=（0 0，a a，0 0），），=0 0，.是平面是平面BBBB1 1C C1 1C C的法向量，的法向量，且且MNMN平面平面BBBB1 1C C1 1C C
25、，MNMN平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.答案答案 B Baa3203,MN11 DCMN11DCMN 11DC11DC二、填空题二、填空题6 6.已知四边形已知四边形ABCDABCD中，中，=a a-2 2c c,=,=5 5a a+6 6b b-8 8c c,对对 角线角线ACAC，BDBD的中点分别为的中点分别为E E、F F，则，则 =.（用（用a a，b b，c c表示）表示）解析解析 ,又又 ,两式相加，得两式相加，得2 2 E E是是ACAC中点，中点，故故 0 0,同理同理 0 0 ,所以所以2 2 =a a-2 2c c+(5(5a a+6 6b b-8 8c c)
26、=6 6a a+6 6b b-1010c c.=3 3a a+3 3b b-5 5c c.ABCDBFABEAEFDFCDECEF,)()(DFBFCDABECEAEF ECEA DFBFCDABEFEF3 3a+a+3 3b-b-5 5c c EF7 7.如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，ACB=ACB=9090，AAAA1 1=2 2，AC=BC=AC=BC=1 1,则异面直线则异面直线A A1 1B B与与ACAC所成角的余弦所成角的余弦 值是值是 .解析解析 以以C C为坐标原点，为坐标原点，CACA、CBCB、CCCC1 1所在
27、直线分别所在直线分别 为为x x、y y、z z轴建立空间直角坐标系，轴建立空间直角坐标系，A A1 1（1 1，0 0，2 2）,B B（0 0，1 1，0 0），），A A（1 1，0 0，0 0），），C C（0 0，0 0，0 0），），则则 =（-1-1，1 1，-2-2），），=（-1-1，0 0，0 0），），coscosBA1AC.664111|111ACBAACBAACBA,668 8.设设MM、N N是直角梯形是直角梯形ABCDABCD两腰的中两腰的中 点，点，DEABDEAB于于E E（如图）（如图）.现将现将ADEADE 沿沿DEDE折起，使二面角折起，使二面角A AD
28、EDEB B为为4545,此时点此时点A A在平面在平面BCDEBCDE内的射影恰为点内的射影恰为点B B，则则MM、N N的连线与的连线与AEAE所成角的大小等于所成角的大小等于 .9090三、解答题三、解答题9 9.（20092009菏泽模拟）三棱锥被平行于底菏泽模拟）三棱锥被平行于底 面面ABCABC的平面所截得几何体如图所示，的平面所截得几何体如图所示，截面为截面为A A1 1B B1 1C C1 1，AAAA1 1平面平面ABCABC，AAAA1 1=,AB=AC=,AB=AC=2 2，A A1 1C C1 1=1 1，D D是是BCBC的中点的中点.（1 1）证明：平面证明：平面A
29、 A1 1ADAD平面平面BCCBCC1 1B B1 1；（2 2）求二面角求二面角A-BBA-BB1 1-C-C的余弦值的余弦值.（1 1）证明证明 AA1 1AA平面平面ABCABC，BCBC平面平面ABCABC，AA1 1ABC.ABC.BAC=BAC=6060，ABCABC为正三角形，即为正三角形，即ADBC.ADBC.32|ACBA3232|ACABACBA,又又A A1 1AAD=AAAD=A，BCBC平面平面A A1 1ADAD，BCBC平面平面BCCBCC1 1B B1 1，平面平面A A1 1ADAD平面平面BCCBCC1 1B B1 1.（2 2）解解 如图，建立空间直角坐
30、标系，如图，建立空间直角坐标系，则则A A（0 0，0 0，0 0），），B B（2 2，0 0，0 0），），C C（1 1，0 0）,A,A1 1（0 0，0 0，），），B B1 1(1,01,0,),),=(-1,0,)(-1,0,),=,=(-1,0)(-1,0),显然，平面显然，平面ABBABB1 1A A1 1的法向量为的法向量为m=m=(0,1,0)(0,1,0),设平面设平面BCCBCC1 1B B1 1的法向量为的法向量为n=n=（x,y,x,y,1 1）,3331BB3BC3则则 n n=0 0，n n=0 0 -x+y=-x+y=0 0 -x+=-x+=0 0cosco
31、sm m,n n=即二面角即二面角A-BBA-BB1 1-C-C的余弦值为的余弦值为 .x=,y=x=,y=1 1,n n=(,1,1),(,1,1),1BBBC3333555111310113022551010.（20092009山东理，山东理，1818）如图，在直四棱）如图，在直四棱 柱柱ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，底面中，底面ABCDABCD为为 等腰梯形，等腰梯形，ABCDABCD，AB=AB=4 4,BC=CD,BC=CD =2 2，AAAA1 1=2 2，E E，E E1 1，F F分别是棱分别是棱ADAD，AAAA1 1，ABAB的中点的中
32、点.（1 1）证明：直线证明：直线EEEE1 1平面平面FCCFCC1 1；（2 2）求二面角求二面角B BFCFC1 1C C的余弦值的余弦值.（1 1）证明证明 如图，取如图，取A A1 1B B1 1的中点的中点F F1 1，连结连结FFFF1 1，C C1 1F F1 1，由于，由于FFFF1 1BBBB1 1 CC CC1 1，所以，所以F F1 1平面平面FCCFCC1 1,因此平面因此平面 FCCFCC1 1即为平面即为平面C C1 1CFFCFF1 1.连结连结A A1 1D D，F F1 1C C，由于，由于A A1 1F F1 1 D D1 1C C1 1 CD,CD,所以
33、四边形所以四边形A A1 1DCFDCF1 1为平行四边形，为平行四边形，因此因此A A1 1DFDF1 1C.C.又又EEEE1 1AA1 1D D，得，得EEEE1 1FF1 1C.C.而而EEEE1 1平面平面FCCFCC1 1，F F1 1C C平面平面FCCFCC1 1，故故EEEE1 1平面平面FCCFCC1 1.（2 2）解解 过过D D作作DRCDDRCD交交ABAB 于于R R，以，以D D为坐标原点建立如为坐标原点建立如 图所示的空间直角坐标图所示的空间直角坐标 系系.则则F F（，1 1，0 0），），B B（，3 3，0 0），），C C（0 0，2 2，0 0），），
34、C C1 1（0 0，2 2，2 2），），所以所以 =(0(0，2 2，0)0),33FB =(-(-，-1-1，2)2),=,=(，3 3，0)0),由由FB=CB=CD=DFFB=CB=CD=DF，所以所以DBFC.DBFC.又又CCCC1 1平面平面ABCDABCD，所以所以 为平面为平面FCCFCC1 1的一个法向量的一个法向量.设平面设平面BFCBFC1 1的一个法向量为的一个法向量为n n=(x,y,z),=(x,y,z),n n ,n n（x,y,zx,y,z）（0 0，2 2，0 0）=0 0 2 2y=y=0 0（x,y,zx,y,z）（-，-1-1，2 2）=0 0.-x-y+.-x-y+2 2z=z=0 0 y=y=0 0,z=,z=,1BC33DB则由则由得得FB1BC即即3取取x=x=1 1得得因此因此n=n=(1,0,)(1,0,)23233DB所以所以coscos ,n n ，故所求二面角的余弦值为，故所求二面角的余弦值为 .DB431933|n|nDBDB7777返回
