1、1統計分析方法變異數分析迴歸分析迴歸分析因素分析區別分析集區分析2迴歸分析w 找出預測模式：n簡單迴歸(Simple regression)以一個變項預測另一個有興趣的數量變數。n複迴歸(Multiple regression)以多個變項預測某一個有興趣的數量變數。n羅吉斯迴歸(Logistic regression)以多個變項預測某一個有興趣的0-1變數。3最小平方迴歸4迴歸直線(regression line)w 迴歸直線是用來描述反應變數 y 與解釋變數 x 線性關係的直線，在給定 x 之下通常使用迴歸直線的公式來預測 y。w 平均日加溫度數為20度時，根據下圖的迴歸直線可算出月平均瓦斯
2、消耗量約為490 cu.ft。5迴歸直線實例246.35110.9438.9337.5265.313441.701.201.211.20246810120102030405060Average number of heating degree-days per dayAverage amount of gas consumedper day in hundreds of cubic feet(20,5)6預測誤差w 迴歸直線的選擇直接影響預測值 y 的準確性。w 我們以 y 觀察值-預測值 y 稱為誤差，或稱為垂直距離。n平均日加溫度數為 20度時，若實際月平均瓦斯消耗量為 510 cu.ft
3、，則誤差=510-490=20。7預測誤差圖示246.35110.9438.9337.5265.313441.701.201.211.262.1123.1306.4327.25211306.94.555.566.5720222426283032average number heating degree-days per dayaverage amount of gas consumed per day inhundreds of cubic feet預測值觀察值 y誤差y yy-8最小平方迴歸直線w 依據誤差平方和最小的原則求得的迴歸直線，稱為最小平方迴歸直線(Least square reg
4、ression line)。n改變迴歸直線的截距與斜率，選擇使誤差平方和最小的直線。9最小平方迴歸直線方程式w 若直線方程式為 y=a+bx，則在 xi 之下 yi 的預測值為 ，則誤差平方和即為 。w 依據微積分的方法可求得使誤差平方和最小的 a,b 值分別為w 最小平方迴歸直線即為。-iiiiiibxayyy22)()(iibxayxbya-xyssrb xbay10最小平方迴歸直線實例w 統計資料 則w 最小平方迴歸直線即為 。0892.131.22189.0306.5-a189.074.17368.3995.0bxy189.00892.1meanSt.Dev.Correlation r
5、Deg-dayx22.3117.740.995gas usedy5.3063.36811最小平方迴歸直線-minitabThe regression equation isgas used=1.09+0.189 deg-dayPredictor Coef Stdev t-ratio pConstant 1.0892 0.1389 7.84 0.000deg-day 0.188999 0.004934 38.31 0.000s=0.3389 R-sq=99.1%R-sq(adj)=99.0%Analysis of VarianceSOURCE DF SS MS F pRegression 1 1
6、68.58 168.58 1467.55 0.000Error 14 1.61 0.11Total 15 170.1912最小平方迴歸直線-minitab圖504030201001050deg-daygas used13最小平方迴歸的性質w 最小平方迴歸直線中反應變數 y 與解釋變數 x 的角色無可取代。n反應變數 y 與解釋變數 x 互換會得到不同的迴歸直線。w 迴歸直線的斜率與相關係數關係密切。b=r(sy/sx)14兩迴歸直線21010005000distancevelocity15最小平方迴歸的性質(續)w 迴歸直線一定通過 點。n迴歸直線方程式中，以 代入可得 即表示點 在迴歸直線上
7、。),(yxyxbxbyxbay-)(xbayxx),(yx16最小平方迴歸的性質(再續)w 相關係數描述了迴歸直線的強度。n相關係數平方即為反應變數 y 的變異中，在變數 x 迴歸後解釋的部分(比例)。-2222)()()()(yyyxbayyyyyy的變異的變異-2222)()()()(yyxbxbyyyxbxby2222222)1()1()()()(rsnsnssryyxxbXXXY-17餘差(Residuals)w 觀察值 y 與預測值 的差稱為餘差。n餘差總和必為零iiiyye-y-iiiiiiibxaynyye)()(0)(-xbxbynyn)()(xbanynbxaynii-18
8、餘差圖(Residuals Plot)w 餘差與對應的解釋變數的散佈圖，稱為餘差圖。w 餘差圖有助於瞭解迴歸直線的適合性。n餘差圖為非線性。n餘差的散佈隨著 x 值的增加而散開或縮減。19標準餘差圖-4-2024x20曲線型餘差圖-4-2024x21散發型餘差圖-4-2024x22餘差圖中的特殊點w 離群點：餘差特出的點，偏離整體餘差的分佈。nChild 19w 干擾點：該點的移除對於迴歸直線的計算結果有重大的影響，稱為干擾點。nx 值特出(大或小)的點，多為干擾點。nChild 18 23餘差圖實例w 小孩說第一句話的時間與日後Gesell 能力測驗成績的迴歸關係。n迴歸直線如後n餘差如下，
9、餘差圖如後RESI12.03109.5721 15.6040-8.73099.0310-0.33413.41202.52303.14216.665911.0151-3.7309-15.6040-13.47704.52301.39608.6500-5.540330.2850-11.47701.396024迴歸直線圖403020101251151059585756555agescoreChild 19Child 1825迴歸餘差圖403020103020100-10-20ageRESI1Child 18Child 1926特殊點對迴歸直線的影響403020101251151059585756555
10、agescoreChild 18Child 1927相關與迴歸的迷思28相關性與迴歸直線的侷限w 相關性與迴歸直線僅用來描述兩變數之間的線性關係，且其數值受特殊點的影響極大。w 平均日加溫度數為20度時，根據下圖的迴歸直線可算出月平均瓦斯消耗量約為490 cu.ft。29外插(Extrapolation)預測w 以迴歸直線預測原解釋變數概括的範圍外資料之對應 y值，其準確性的多半不高。w 以38歲孩童身高資料得到的迴歸直線，預測25歲成人身高(預測值約為8呎長人)必然不準確。30使用平均數w 使用平均數資料(月平均瓦斯消耗量)評估相關性，往往高於未平均前資料(每日瓦斯消耗量)的相關性。n平均數
11、資料已整合了未平均前資料的離散情況。31複迴歸分析32複相關係數w 變數 y 與預測變數 x1,x2,xp之間的相關係數稱為複相關係數。w 預測變數之線性組合 a1x1+a2x2+apxp與變數 y 之相關係數。33複相關係數實例w 大一微積分成績為 y，預測變數為聯考數學成績 x1與英文成績 x2。n大一微積分y，與聯考英數平均成績 x=(x1+x2)/2 的相關係數。n大一微積分y，與聯考英數加權平均成績 x*=ax1+bx2的相關係數。n求a,b 使得 corr(y,ax1+bx2)為最大。34複迴歸模式w 變數 y 與預測變數 x1,x2之 n 組隨機資料為 yi,x1i,x2i,i=
12、1,n 則複迴歸模式為 n 為隨機誤差服從常態。n 為三未知常數，可由隨機資料 yi,x1i,x2i,i=1,n 估計之。nixxyiiii,1,22110),0(2Niidii210,35迴歸方程式之估計w 最小平方法即為 Normal Equations 之解:w 令 分別為上列聯立方程組之解，則迴歸方程式為Ynxxx Yxxx xx Yxx xxiiii iiiiii iiiii01321011122122021122221iiixxY22110210,36複迴歸分析變異數分析表w 則拒絕來源 自由度 平方和均方和迴歸kSSRMSR=SSR/kF=MSR/MSE誤差n-k-1SSEMSE
13、=SSE/(n-k-1)總和n-1SSY1,-knkFF01210 Hnot:v.s.0.:HHk37複迴歸實例w 會計事務所以十位會計師過去資料，利用迴歸直線預測 CPA 考試分數。資料如下:R O W S co re G P A E xp S ex 1 7 4.2 3.0 8.5 1 2 6 8.1 2.7 7.1 1 3 5 0.2 2.6 5.9 0 4 6 8.3 3.2 8.6 0 5 7 1.6 2.4 1 3.3 1 6 6 8.9 3.2 7.4 0 7 5 9.6 3.1 6.8 0 8 3 9.8 2.4 3.8 0 9 8 6.6 3.5 9.1 1 1 0 7 1.2
14、 2.8 1 2.6 138相關分析w 相關分析得 MTB corr c1-c3 Score GPA GPA 0.632 Exp 0.675 0.031393.53.02.5908070605040gpascore資料散佈圖(Score vs.GPA.)40GPA對Score之簡單迴歸 The regression equation is Score=1.1+22.4 GPA Predictor Coef Stdev t-ratio p Constant 1.08 28.28 0.04 0.971 GPA 22.413 9.713 2.31 0.050 s=10.77 R-sq=40.0%R-
15、sq(adj)=32.5%Analysis of Variance SOURCE DF SS MS F p Regression 1 617.4 617.4 5.32 0.050 Error 8 927.6 115.9 Total 9 1544.941資料散佈圖(Score vs.Exp.)1494908070605040ExpScore42Experience對Score之簡單迴歸 The regression equation is Score=40.3+3.07 Exp Predictor Coef Stdev t-ratio p Constant 40.35 10.37 3.89 0.
16、005 Exp 3.069 1.185 2.59 0.032 s=10.25 R-sq=45.6%R-sq(adj)=38.8%Analysis of Variance SOURCE DF SS MS F p Regression 1 704.3 704.3 6.70 0.032 Error 8 840.6 105.1 Total 9 1544.9 43GPA 及 Exp 對 Score 之複迴歸 T h e r e g r e s s i o n e q u a t i o n i s S c o r e =-2 1.6 +2 1.7 G P A +2.9 8 E x p P r e d i
17、 c t o r C o e f S t d e v t-r a t i o p C o n s t a n t -2 1.5 9 1 6.9 9 -1.2 7 0.2 4 4 G P A 2 1.6 8 2 5.5 3 6 3.9 2 0.0 0 6 E x p 2.9 8 1 8 0.7 0 9 8 4.2 0 0.0 0 4 s =6.1 3 5 R-s q =8 2.9%R-s q(a d j)=7 8.1%A n a l y s i s o f V a r i a n c e S O U R C E D F S S M S F p R e g r e s s i o n 2 1 2
18、8 1.4 9 6 4 0.7 5 1 7.0 3 0.0 0 2 E r r o r 7 2 6 3.4 3 3 7.6 3 T o t a l 9 1 5 4 4.9 2 44複迴歸之殘差分析1.50.5-0.5-1.51050-5Z-S c oreRes idualNormal Plot of Residuals1050-543210R es idualFrequenc yHistogram of Residuals10987654321020100-10-20Obs erv ation N um berRes idualI Chart of ResidualsX=0.000UCL=16
19、.62LCL=-16.6280706050401050-5FitRes idualResiduals vs.FitsResidual Model Diagnostics45迴歸係數檢定w 給定i，檢定 已在模式內時 是否還需要加入即檢定n 檢定統計量為 ，其中 則拒絕 H0。w 檢定 ，則檢定統計量為0:v.s.0:10jjHHjsTj-2222112211212)()()(12)1(,2,1xxxxxxxxrSSXMSEiiiijjrjsTtn-/,23Hbj0:jsbTj)(-ijxj,ix46迴歸信賴區間w j 的 100(1-)%信賴區間為w 在 x10,x20 情形下，的 100(1
20、-)%信賴區間為 其中jstnj3,2/-20210100 xxY)()1()(2)1()()1()(1212212,122011021222220212121100rSSXSSXSCPxxxxrSSXxxrSSXxxnYXXMSEs-03,2/0YnstY-47複判別係數w 判別係數nk 增加則 SSE 減少，則 R2 增加w 修正判別係數nk 增加則 SSE 減少，但增加，則 Adj R2 不一定增加RSSRSSYSSESSY21-Adj(usted)2Rnn k-11SSYSSEknnnSSYknSSE111)1()1(1-48複判別係數與變數項目數kk12345R24082.596.4
21、97.598.2Adj R232.578.493.293.593.449指標變數w 若考慮性別因素，令 x3為指標變數x3=1 為男，x3=0 為女，則模式為w 一般分類型資料若有 2k 類則以 k 個指標變數分析。w 例：以(x3,x4)=(0,0)為第一季，(0,1)為第二季，(1,0)為第三季，(1,1)為第四季，即以 2 個指標變數代表四季。iiiixxY3311050Score vs.GPA散佈圖(by Sex)3.53.02.5908070605040GPAScore1 0 51含指標變數之迴歸分析The regression equation isScore=-9.7+23.1
22、GPA+17.4 SexPredictor Coef Stdev t-ratio pConstant -9.69 12.99 -0.75 0.480GPA 23.122 4.416 5.24 0.000Sex 17.442 3.096 5.63 0.000s=4.893 R-sq=89.2%R-sq(adj)=86.1%Analysis of VarianceSOURCE DF SS MS F pRegression 2 1377.33 688.67 28.76 0.000Error 7 167.59 23.94Total 9 1544.9252含指標變數之迴歸方程式3.53.02.59080
23、706050GPAFITS11 0 男,sex=1,Score=7.7+23.1GPA女,sex=0,Score=-9.7+23.1GPA迴歸方程式 Score=-9.7+23.1GPA+17.4Sex53含指標變數之迴歸殘差圖1.50.5-0.5-1.594-1-6Z-S c oreRes idualNormal Plot of Residuals94-1-66543210R es idualFrequenc yHistogram of Residuals109876543210100-10Obs erv ation N um berRes idualI Chart of Residuals
24、X=0.000UCL=8.966LCL=-8.966908070605094-1-6FitRes idualResiduals vs.FitsResidual Model Diagnostics54含指標變數之複迴歸分析 The regression equation is Score=-18.0+22.5 GPA+1.55 Exp+11.8 Sex Predictor Coef Stdev t-ratio p Constant -17.985 9.337 -1.93 0.102 GPA 22.515 3.036 7.42 0.000 Exp 1.5462 0.5191 2.98 0.025
25、Sex 11.833 2.839 4.17 0.006 s=3.357 R-sq=95.6%R-sq(adj)=93.4%Analysis of Variance SOURCE DF SS MS F p Regression 3 1477.31 492.44 43.70 0.000 Error 6 67.61 11.27 Total 9 1544.9255含指標變數之複迴歸殘差圖1.50.5-0.5-1.543210-1-2-3-4-5Z-S c oreRes idualNormal Plot of Residuals4-1-66543210Res idualFrequenc yHistogr
26、am of Residuals10987654321072-3-8Obs erv ation Num berRes idualI Chart of ResidualsX=0.000UCL=6.332LCL=-6.33290807060504043210-1-2-3-4-5FitRes idualResiduals vs.FitsResidual Model Diagnostics56多項式迴歸模式w 迴歸殘差圖顯示，殘差項仍為 x2的(二次)函數，故宜在模式上加入 項，即w 一般多項式迴歸，則視需要加入 p 次項，模式為20 xy22x222210 xxyppxxy2210.57多項式迴歸分析
27、The regression equation isScore=-23.2+18.9 Exp-0.884 exp2Predictor Coef Stdev t-ratio pConstant -23.17 17.20 -1.35 0.220Exp 18.858 4.054 4.65 0.000exp2 -0.8845 0.2237 -3.95 0.006s=6.094 R-sq=83.2%R-sq(adj)=78.4%Analysis of VarianceSOURCE DF SS MS F pRegression 2 1284.99 642.49 17.30 0.002Error 7 259
28、.94 37.13Total 9 1544.9258多項式迴歸殘差圖1.50.5-0.5-1.5122-8Z-S c o reResidualNormal Plot of Residuals122-86543210R e s id u a lFrequencyHistogram of Residuals10987654321020100-10-20Ob s e rv a tio n N u m b e rResidualI Chart of ResidualsX=0.000UCL=15.91LCL=-15.917565554535122-8FitResidualResiduals vs.Fit
29、sResidual Model Diagnostics59含指標變數之多項式迴歸分析The regression equation isScore=-16.3+17.2 Exp-0.849 exp2+8.58 SexPredictor Coef Stdev t-ratio pConstant -16.26 14.88 -1.09 0.317Exp 17.181 3.514 4.89 0.003exp2 -0.8487 0.1890 -4.49 0.004Sex 8.577 4.344 1.97 0.096s=5.124 R-sq=89.8%R-sq(adj)=84.7%Analysis of
30、VarianceSOURCE DF SS MS F pRegression 3 1387.37 462.46 17.61 0.002Error 6 157.55 26.26Total 9 1544.9260含指標變數多項式迴歸殘差圖1.50.5-0.5-1.594-1-6Z-S c oreRes idualNormal Plot of Residuals1050-543210R es idualFrequenc yHistogram of Residuals109876543210100-10Obs erv ation N um berRes idualI Chart of Residuals
31、X=0.000UCL=11.71LCL=-11.71807060504094-1-6FitRes idualResiduals vs.FitsResidual Model Diagnostics61迴歸模式的選擇w 模式一：複迴歸w 模式二：含指標變數複迴歸w 模式三：多項式迴歸w 模式四：含指標變數多項式迴歸62迴歸模式的比較F-檢定R2Adj R2常態變異數齊一模式一0.002.829.781Y/NY/N模式二0.000.956.934YY/N模式三0.002.832.784YY/N模式四0.002.898.847Y/NY/N63迴歸理論的應用案例w 兩迴歸線是否相等64共線性診斷w 兩迴
32、歸預測因子具高度相關時，可能會對迴歸模式有重大的影響。一般稱為共線性(multi-collinearity)問題。w 共線性問題常用變異膨脹因子(variance inflation factor,簡記為 VIF)的方法來偵測。65變異膨脹因子(VIF)w 迴歸模式各變數標準化後的新未知參數為*k 及 *2。定義新迴歸係數*k 的最小平方估計b*k的變異數為 2(b*k)=*2(VIF)k，其中(VIF)k就稱為*k 的變異膨脹因子。n應用上，(1-R2k)-1 是(VIF)k的估計，其中 R2k 為Xk 對其他迴歸因子的複判別係數。w 最大的(VIF)k 或是(VIF)k 的平均數都是判斷共
33、線性嚴重性的指標。n一般而言，(VIF)k大於10表示會嚴重影響。66)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmt*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x
34、+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMd
35、PhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&
36、v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8K
37、cNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u
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