1、作者 重庆一中 李长鸿一、从平面到空间1、立体几何中的元素点、直线、平面A BaA2、立体图的画法2145DD1A1B1ACBC13、一些几何模型 二、平面的性质公理1：如果一条直线上两点在平面内，则这条直线在平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，则它们有且仅有一条通过该点的公共直线。公理3：经过不在同一直线上的三点有且仅有一个平面。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。A BaPABC三、空间两直线1、位置关系（1）平行:（2）相交:（3）异面:同一平面内，有且仅有一个公共点同一平面内，没有公共点不同在任何一平面内，没有一个公共点共面DD1A1B1ACBC1ab三、空间两直线2、异
2、面直线所成的角ab经过空间中一点o，分别作a、b的平行线 、，和 所成的锐角或直角。a b ab3、异面直线的垂直若两异面直线所成的角是直角，则称两异面直线垂直，记为.ba 4、异面直线间的距离DD1A1B1ACBC1两异面直线间公垂线段的长度。四、空间直线与平面1、位置关系A BAa（1）直线在平面内，记为.a（2）直线与平面相交，记为.Aa（3）直线与平面平行，记为./a2、直线与平面平行的判定平面外一直线与平面内一直线平行，则这条直线与平面平行。线线平行 线面平行四、空间直线与平面3、直线与平面垂直的判定定义：如果一条直线与一个平面内的任何一条直线都垂直，称这条直线与平面垂直。判定定理：
3、如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直。线线垂直 线面垂直aAbc四、空间直线与平面4、斜线与斜线在平面上的射影斜线BPA斜足垂足射影5、直线与平面上所成的角一条直线和它在平面上的射影所成的锐角。.0/,。时，为或ll.90。时，为l6、三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。BPaAPABPB面证明：PAaaPAaAB 又AABPAPABa面PBa 7、三垂线定理证明BPaA四、空间直线与平面ABaBPBPA,：已知在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线的射影垂直。、三垂线定理的逆定理66
4、、三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。四、空间两个平面1、位置关系（1）平行：无公共点，记为./（2）相交：有一条公共直线，记为).(ABa2、面面平行的判定如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。线线平行 线面平行 面面平行3、二面角AB从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。AB二面角的棱 二面角的面、.AB记为：二面角ACBDEFNM四、空间两个平面4、二面角的平面角ABoAB以二面角的棱上任意点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。AOB即A/0/B/例1
5、：面CDEF表示水平面，面ABCD表示一山坡所在平面，山坡与水平面成600的二面角。山坡上一条直道MN，它与坡脚的水平线CD的夹角300，沿MN上山，行走100米后，升高多少米？PH300CDEFMH面的射影是PMPHCDPH 由作法CDPM的射影垂直于即CDPM 由三垂线定理知CDPH 又为二面角的平面角MPH600中在MPNRt5030sinMNMP中在MPHRt32560sinMPMHCBMAP四、多面体和旋转体1、多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体叫多面体。各个多边形多面体的面2、棱柱、棱锥、棱台两个面的公共边多面体的棱若干个面的公共顶点多面体的顶点CDABA1B1D1C13、圆
6、柱、圆锥、圆台V长方体=sh依据公理V柱体=V长方体思路：借助已知体积的几何体求体积=sh4、多面体和旋转体的体积V柱体=shV柱体=shV柱体=sh123三棱锥Vsh31h1hsh1S1hS2ss1,21sssss2212hhss21ss 221hh定理 等底等高的两个锥体的体积相等 三棱锥Vsh31定理 等底等高的两个锥体的体积相等 一个底面为s高为h的棱锥的体积如何求呢？2rs圆锥hrV231圆锥sh31锥体V定理V柱体=shsh31锥体VhSSSSV）下下上上台体(31sh31锥体VhsssVn).3121（多面体时当n球（ssssn).21RSV球球31Rh 24 RS球而.343R
7、V 球例2：设直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AB、C1D1 确定的平面与底面成600的二面角，SABC1D1=Q,求此平行六面体的全面积。ABCDA1B1C1D1HABCDDD面1HDABDHD1,连结作过由三垂线定理与底面的二面角为面111DABCHDD601HDD则HDHDDD1112360sinHDDH121同理HDABQ1而面积相等底面是菱形，四个侧面1144DDABAAABS侧.322341QHDAB60cos1HDABDHABS底面.2160cos11QSDABCABCDA1B1C1D160cos1HDABDHABS底面.2160cos11QSDABC
8、cos11DABCSS底面cos11DABCSS底面的射影。是的射影，是的射影是的射影，是1111BBAACCDD底面的射影，在是面面11DABCABCD面积射影定理：例3：如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的六个面是全等的菱形，求证：面A1C 面B1D面线面分析：面线线PQ过A1作A1R 面ABCD，过A1作A1E AD，A1F AB.REABCA1B1C1D1DF连结ER、FR，有三垂线定理 ER AD，FR AB.知FAAEAA11A1E=A1FAR=AR90AFRAERARFAREER=FRA1在面ABCD的射影是RR在 DAB的平分线上AA1在面ABCD的射影是AC而BD A
9、C,得AA1 BDARABD1面11ACCABD面即DBBD1面ACBD 显然2243423aaS全例4：如图，棱锥V-ABC为底面边长为a的正三棱锥，P、Q分别是VB、VC的中点，截面APQ 侧面VBC.求（1）棱锥的全面积。（2）棱锥的侧面与底面所成的二面角的大小。223aSABC解：求出一个侧面即可CVABQPaMN连结NA、AMVB=VC,P、Q为中点得PQ=AQ为等腰三角形APQPQAN 得若两个平面垂直，则在其中一个平面内作交线的垂线，那么这条线与另一个平面垂直。VBCAN面VMAN 而N是 AVM的中点是等腰三角形AVMaMAVA23aVCVBVA23则aMB21aMBVBVM2
10、22224221aVMBCSVBC612cos222AMVMAVAMVMVNA61arccosAMV现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是-生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐，可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去
11、想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一边做着家务.生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦.生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气
12、，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵.生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式，在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而倍感欣慰；有时，你会为刚参
13、加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至哉。生而为人，芳华
14、刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防，生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方向；我们
15、习惯了飞翔，却成了无脚的鸟。年轻时我们并不了解自己，不知道自己需要什么。不知道什么才是自己最想要的，什么才是最适合自己的，自己又是怎么样的一个人。”时光叠加，沧桑有痕，终究懂得，漫漫人生路，得失爱恨别离，不过是生命的常态。原来，人生最曼妙的风景，就是那颗没被俗世河流污染的初心。大千世界，有很多的东西可以去热爱，或许一株风中摇曳的小草，一朵迎风招展的小花，一条弯弯曲曲的小河，都足够让我们触摸迷失的初心。紫陌红尘，芸芸众生，皆是过客。若时光允许，我愿意一生柔软，爱了樱桃，爱芭蕉，静守于轮回的渡口，揣一颗云水禅心，将寂寞坐断，将孤独守成一帧最美的山水画卷。一直渴盼着，与心悦的人相守于古朴的小院，守着
16、老旧的光阴，只闻花香，不谈悲喜，读书喝茶，不争朝夕。阳光暖一点，再暖一点，日子慢一些，再慢一些，从容而优雅地老去。浮生荡荡，阳春白雪，触目横斜千万朵，赏心不过两三枝；任凭弱水三千，只取一瓢饮。有梦的季节，有爱的润泽，走过的日子，都会成为笔尖温润如玉的诗篇。相信越是走到最后，剩下的唯有一颗向真向善向美的初心。似水流年，如花美眷，春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横朝花夕拾，当回望过往，你是此生无憾，还是满心懊悔呢？随着芳华的流逝，我们终究会明白：任何的财富都比不上精神上的愉悦，任何的快感都不及对初心的执着。愿你不趋炎附势，不阿谀奉迎，不苟且偷生，不虚掷有限的年华，活出属于自己的风采，活在每一个当下，不
17、忘初心，不负今生曾经有人说，成大事者必经以下三种境界：“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”，此第一境界也;“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”，此第二境界也;“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”，此第三境界也。我想说的是：事无大小，只要你还在坚持，成功的曙光终会毫不吝啬地照向你有这样一个小故事。1987年，她14岁，在湖南益阳的一个小镇卖茶，1毛钱一杯。因为她的茶杯比别人大一号，所以卖得最快，那时，她总是快乐地忙碌着。她17岁，她把卖茶的摊点搬到了益阳市，并且改卖当地特有的“擂茶”。擂茶制作比较麻烦，但能卖个好价钱，她也总是忙忙碌碌。她20岁，仍在卖茶，不过卖茶的地点又变了，在省
18、城长沙，店面也由摊点变成了小店。客人进门后，必能品尝到热乎乎的香茶，在尽情享用后，他们或多或少会掏钱再带上一两袋茶叶。1997年，她24岁，长达十年的光阴，她始终在茶叶与茶水间滚打。这时，她已经拥有37家茶庄，遍布于长沙、西安、深圳、上海等地。福建安溪、浙江杭州的茶商们一提起她的名字莫不竖起大拇指。她的最大梦想实现了。“在慢慢习惯于喝咖啡的潮流下，也有洋溢着茶叶清香的茶庄出现，那就是我开的”说这句话时她已经把茶庄开到了故事虽短，内涵颇深，一件事，只有始终坚韧不拔地去做，无谓任何艰难险阻，不左右摇摆，不顾左右而言它，才能披荆斩棘，在一千次的跌倒后又一千零一次地站起来。事实上，我们在做一件事的时候
19、，总是不自觉地放大困难，使得我们产生畏惧之心，没有了乘风破浪的豪情与气魄。困难并不可怕，可怕的是我们没有直面困难的勇气。面对着被自己放大了的困难，我们需要有的就是坚持的精神，或许只是一瞬间的坚持我们就挖掘了自身潜能，造就了一个全新的自己。有时做一件事就像是跑400米，当你已经跑过300米，面对着那已出现在眼前的终点线时，你实际上并不需要多想，要做的就是再加把劲，冲过去，得到真正属于自己的成绩。坚持是一种信念，让你有不怕困难、奋勇向前的勇气;让你有乘风破浪、直击沧海的豪情;让你有不达目的誓不罢休的毅力。所以我们既然选择了，就一定要走下去，不要在有限的时间里，蹉跎无限的光阴。只有如此，到暮年之时，细细回想起来，才不会有年华虚度、韶华易逝的感慨。
