1、差分方程种群模型课本上的模型考虑的是人口课本上的模型考虑的是人口/种群的总量种群的总量变化，在实际问题中，还要考虑种群的变化，在实际问题中，还要考虑种群的组成结构组成结构简单的种群增长模型简单的种群增长模型 v假设在一个自然生态地区生长着一群鹿假设在一个自然生态地区生长着一群鹿,在一段时间在一段时间内内,鹿群的增长受资源制约的因素较小。试预测鹿群鹿群的增长受资源制约的因素较小。试预测鹿群的增长趋势如何的增长趋势如何?下面将建立一个简单的鹿群增长下面将建立一个简单的鹿群增长模型。模型。v假设假设:（1）公、母鹿占群体总数的比例大致相等）公、母鹿占群体总数的比例大致相等,所以本模型仅所以本模型仅考
2、虑母鹿的增长情况；考虑母鹿的增长情况；（2）鹿群中母鹿的数量足够大）鹿群中母鹿的数量足够大,因而可近似用实数来表示；因而可近似用实数来表示；（3）将母鹿分成两组）将母鹿分成两组:一岁以下的称为幼鹿组一岁以下的称为幼鹿组,其余的称其余的称为成年组；为成年组；简单的种群增长模型简单的种群增长模型 v假设假设:（4）将时间离散化）将时间离散化,每年观察一次每年观察一次,分别用分别用xn、yn表示第表示第n年的幼鹿数及成年鹿数，且假设各年的环境因素都是不年的幼鹿数及成年鹿数，且假设各年的环境因素都是不变的变的;（5）分别用）分别用b1,b2表示两个年龄组鹿的出生率表示两个年龄组鹿的出生率,用用d1,d
3、2表示其死亡率。出生率、死亡率为常数，记表示其死亡率。出生率、死亡率为常数，记s1=1-d1,s2=1-d2;（6）鹿的数量不受自然资源的影响）鹿的数量不受自然资源的影响;（7）刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为）刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为s，t1=sb1,t2=sb2 简单的种群增长模型简单的种群增长模型v根据以上假设根据以上假设,建立模型如下建立模型如下 n=0,1,v或写成矩阵形式或写成矩阵形式nnnnnnysxsyytxtx211211nnnnyxststyx221111简单的种群增长模型简单的种群增长模型v令令v则模型可表示为则模型可表示为v于是可得到于是可得到 un=Anu0，即即
4、 v其中其中x0,y0分别是初始时刻的幼鹿数与成年鹿数。分别是初始时刻的幼鹿数与成年鹿数。nnAuu1002211yxststyxnnn nnnyxu2211ststAxn、yn的解法的解法v假如假如A可以对角化可以对角化,先将先将A对角化对角化,如不能对角化如不能对角化,则将则将其化成约当标准型。对于本例其化成约当标准型。对于本例,可作如下处理可作如下处理,令令v得到特征方程得到特征方程v判别式判别式v特征方程有两个相异的实根特征方程有两个相异的实根,因此因此A可以对角化。对可以对角化。对应的特征向量分别为应的特征向量分别为0 IA0)(1221212ststst04)(12221ststT
5、ss),(1211Tss),(1222xn、yn的解法的解法v由此得到由此得到v因而因而122121ssssA21001122121ssss122121ssssAnnn21001122121ssssxn、yn的解法的解法v最终有最终有v即即v其中其中nnyx122121ssssnn210021cc21ccnnnnssss2122211121)()(,)()(21211122221211nnnnnnscscyscscx00112212121yxssssccLeslie人口模型人口模型 v现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用前面提出的差分方程
6、模型，仅考虑女性人口的借用前面提出的差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。发展变化。v如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。精确的模型。v20世纪世纪40年代提出的年代提出的Leslie人口模型，就是一个预人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。测人口按年龄组变化的离散模型。Leslie人口模型人口模型v模型假设模型假设(1)将时间离散化，假设男女人口的性别比为将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此，因此本模型仅考虑女性
7、人口的发展变化。假设女性最大年龄本模型仅考虑女性人口的发展变化。假设女性最大年龄为为S岁，将其等间隔划分成岁，将其等间隔划分成m个年龄段（不妨假设个年龄段（不妨假设S为为m的整数倍），每隔的整数倍），每隔S/m年观察一次，不考虑同一时间间隔年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化内人口数量的变化;(2)记记ni（t）为第）为第i个年龄组次观察的女性总人数，记个年龄组次观察的女性总人数，记n（t）=n1（t），），n2（t），），n3（t），），nm（t），），T。第第i年龄组女性生育率为年龄组女性生育率为bi（注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为（注：所谓女性生育率指生女率），女性
8、死亡率为di，记记si=1-di，假设，假设bi，di不随时间变化不随时间变化;Leslie人口模型人口模型v模型假设模型假设v(3)不考虑生存空间等自然资源的制约不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响灾难等因素对人口变化的影响;v(4)生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。有关。Setting up the Leslie MatrixvConcept of population vectorvBirthsvDeathsPopulation VectorN0N1N2N3.Nss+1 rows by 1 co
9、lumn(s+1)x 1Where,s=maximum ageBirthsN0=N1F1+N2F2+N3F3.+FsNsNewborns=(Number of age 1 females)times(Fecundity of age 1 females)plus (Number of age 2 females)times(Fecundity of age 2 females)plus .Note:fecundity here is defined as number of female offspring Also,the term“newborns”may be flexibly defi
10、ned(e.g.,as eggs,newly hatched fry,fry that survive past yolk sac stage,etc.MortalityNa,t=Na-1,t-1SaAnother way of putting this is,for age 1 for example:N1,t=N0,t-1S0-1 +N1,t-1(0)+N2,t-1(0)+N3,t-1(0)+Number at age in next year=(Number at previous age in prior year)times (Survival from previous age t
11、o current age)Leslie MatrixN0N1N2N3.NsF0 F1 F2 F3 .FsS0 0 0 0 .00 S1 0 0 .0 0 0 S2 0 .0.0 0 0 0 Ss-1 0=N0N1N2N3.Ns(s+1)x 1 (s+1)x(s+1)(s+1)x 1Leslie MatrixN0N1N2N3.NsF0 F1 F2 F3 .FsS0 0 0 0 .00 S1 0 0 .0 0 0 S2 0 .0.0 0 0 0 Ss-1 0=N0N1N2N3.Nss x 1 s x s s x 1Leslie MatrixN0N1N2N3.NsF0 F1 F2 F3 .FsS0
12、 0 0 0 .00 S1 0 0 .0 0 0 S2 0 .0.0 0 0 0 Ss-1 0=N0N1N2N3.NsNt+1 =A Nt建立模型与求解v根据以上假设，可得到方程根据以上假设，可得到方程 miiitnbtn11)()1()()1(1tnstniii=1,2.,-1建立模型与求解v写成矩阵形式为写成矩阵形式为 n(t+1)=L n(t)v记记v假设假设n(0)和矩阵和矩阵L已经由统计资料给出，则已经由统计资料给出，则n(t)=Ltn(0)t=1，2，其中 L=000000000121121mmmsssbbbb Tmnnnn)0(,),0(),0()0(21建立模型与求解v为了讨论
13、女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：先给出如下两个条件：(i)si 0，i=1，2，m-1;(ii)bi0，i=1，2，m，且，且bi不全为零。不全为零。易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。v在条件（在条件（i）、（）、（ii）下，下面的结果是成立的：）下，下面的结果是成立的：v定理定理1 vL矩阵有唯一的单重正特征根矩阵有唯一的单重正特征根 ，且对应的一个特，且对应的一个特征向量为征向量为Tmmssssssn/,/,/,1 101212021010v定理定理2 v若若 是矩
14、阵是矩阵L 的任意一个特征根，则必有的任意一个特征根，则必有 v定理定理3 v若若L第一行中至少有两个顺次的第一行中至少有两个顺次的bi，bi+10，则，则i）若）若 是矩阵是矩阵L 的任意一个特征根，则必有的任意一个特征根，则必有ii）v其中其中c是与是与n（0）有关的常数。）有关的常数。i0|ii0|i cntntt0/)(limv由定理由定理3的结论知道，当的结论知道，当t充分大时，有充分大时，有v所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年龄组的人口数近似
15、地按龄组的人口数近似地按1的比例增长。可得到如的比例增长。可得到如下结论：下结论：v(i)当当1时，人口数最终是递增的；时，人口数最终是递增的；v(ii)当当 1时，人口数最终是递减的；时，人口数最终是递减的；v(iii)当当=1时，人口数是稳定的。时，人口数是稳定的。*)(0nctnt2007全国赛A题：中国人口增长预测v中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测。的方法，对中国人口做出分析和预测。v近年来中国的人口发展出现了一
16、些新的特点，例如，近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。增长。2007年初发布的年初发布的国家人口发展战略研究报国家人口发展战略研究报告告(附录附录1)还做出了进一步的分析。还做出了进一步的分析。2007全国赛A题：中国人口增长预测v关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录量数据资料。附录2就是从就是从中国人口统计年鉴中国人口统计年鉴上收集到的
17、部分数据。上收集到的部分数据。v试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的并由此对中国人口增长的中短期中短期和和长期长期趋势做出预趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。v看一看所给的数据！看一看所给的数据！2007全国赛A题：中国人口增长预测v已有数据包括（分为已有数据包括（分为城市城市、城镇城镇和和
18、乡村乡村三类）三类）各年龄段男、女性占总人口的比率各年龄段男、女性占总人口的比率各年龄段育龄妇妇女生育率各年龄段育龄妇妇女生育率各年龄段男、女性人口死亡率各年龄段男、女性人口死亡率v题目中涉及的因素还有题目中涉及的因素还有总和生育率总和生育率人口扶养比人口扶养比老龄化率老龄化率出生人口性别比出生人口性别比人口红利人口红利这些因素之间是什这些因素之间是什么样的因果关系？么样的因果关系？谁决定了谁？谁决定了谁？用什么样的模型来描述这个问题？v题目中给出了题目中给出了2001年到年到2005年的市、镇和乡人口不年的市、镇和乡人口不同性别的人在该类人口中所占的百分比（），以同性别的人在该类人口中所占的
19、百分比（），以及死亡率数据和生育率数据及死亡率数据和生育率数据 v非机理模型非机理模型：内部机制未知，从外部观测：内部机制未知，从外部观测(黑盒模型黑盒模型)将各年总人口数据进行插值外推得到将各年总人口数据进行插值外推得到这个模型对这个问题合适吗？这个模型对这个问题合适吗？v机理模型机理模型差分方程模型：差分方程模型：Leslie模型模型微分方程模型微分方程模型用什么样的模型来描述这个问题？vx年龄段年龄段t年人口数年人口数*该年龄段存活率该年龄段存活率=x+1年龄段年龄段t+1年人口数年人口数v若考虑到人口迁移，人口数向量之间有关系若考虑到人口迁移，人口数向量之间有关系v其中的矩阵其中的矩阵
20、A即为即为Leslis矩阵矩阵1111(1)()FFFxtx txPPS1111(1)()()FFFFtttPAPGLeslis矩阵模型v其中其中B表示出生率，表示出生率，S表示存活率，表示存活率，g表示迁入量表示迁入量v如何计算这些量？这些量是常数吗？如何计算这些量？这些量是常数吗？11111110(1)0()012211111(1)1()01112(1)2()111123(1)3()111211(1)000000000000000FFFFFFFttFFFttFFFttFFFttFFFtPPBBBBBPPSPPSSPPSSP 10010111211(2)1()FFtFtFtFFttggggg
21、P01-05各年龄平均死亡率的变化趋势 01-05年各年龄妇女平均生育率 v生育率曲线是常数吗？生育率曲线是常数吗？如何处理异常数据v2003年的平均生育率与其他组数据有明显差异，年的平均生育率与其他组数据有明显差异，将将其剔除其剔除，其他年曲线基本重合，因此在短期预测时，其他年曲线基本重合，因此在短期预测时，各年龄妇女生育率可以对各年求平均得到。各年龄妇女生育率可以对各年求平均得到。v20032003年：非典影响生育率？年：非典影响生育率？v20032003年：羊年年：羊年v异常数据中有可能包含了没有发现的规律异常数据中有可能包含了没有发现的规律v和教科书上的题目不同，建模竞赛的题目是会包含
22、和教科书上的题目不同，建模竞赛的题目是会包含错误的！因为在建模的过程中我们往往会面对错误错误的！因为在建模的过程中我们往往会面对错误的信息和数据！的信息和数据！城乡差别v数据说话数据说话城市与乡村在生育率和死亡率上有显著差别城市与乡村在生育率和死亡率上有显著差别乡村生育率曲线峰值较城市高，年龄偏小乡村生育率曲线峰值较城市高，年龄偏小乡村死亡率比城市提前加速乡村死亡率比城市提前加速v数据背后的原因：合情、合理的假设和解释数据背后的原因：合情、合理的假设和解释生育率和死亡率是常数吗？生育率和死亡率是常数吗？什么决定了生育率曲线和死亡率曲线的形状？什么决定了生育率曲线和死亡率曲线的形状？思考v人口短期预测和长期预测在模型上有什么不同的要人口短期预测和长期预测在模型上有什么不同的要求？求？
