1、 第三章第三章 三角恒等变换三角恒等变换第一课时第一课时两角和与差的余弦公两角和与差的余弦公式式第1页，共36页。问题提出问题提出1.1.在三角函数中，我们学习了哪些基本在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？的三角函数公式？2.2.对于对于3030，4545，6060等特殊角的三角等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出进一步求出150150，210210，315315等角的等角的三角函数值三角函数值.而对于非特殊角如而对于非特殊角如7575，1515的三角函数值如何求？的三角函数值如何求？第2页，共36页。第3页，共36页。探
2、究探究（一）：（一）：两角差的余弦公式两角差的余弦公式 思考思考1 1：设设，为两个任意角为两个任意角,猜想猜想cos(cos()?cos(60cos(603030)cos60cos60cos30cos30cos()coscos?第4页，共36页。思考思考2 2：如图，设角如图，设角，的终边与单位的终边与单位圆的交点分别为圆的交点分别为A A、B B，则向量，则向量 、的坐标分别是什么？其数量积是什么？的坐标分别是什么？其数量积是什么？BB BO OA Ax xy y(cos(cos,sin,sin)coscossinsinOA OB (cos(cos,sin,sin)OB第5页，共36页。O
3、QOP,=OQOP,cos)cos(OQOP,=OQOP,=两边同时取两边同时取余弦余弦我们可以得出我们可以得出sinsincoscos)(cos:所以k2k2Zk？第6页，共36页。思考思考3 3：向量的夹角向量的夹角,根据数量积根据数量积定义定义 等于什么等于什么?与与、有什么关有什么关系？系？由此可得什么结论？由此可得什么结论？cosOA OBOAOB B BO OA Ax xy ycos()coscos coscos sinsin sinsin-=2kOA OB cos第7页，共36页。思考思考4 4：公式公式cos(cos()coscos coscos sinsin sinsin 称
4、为称为差角的余弦公式差角的余弦公式，记，记作作 ，该公式有什么特点？如何记忆？，该公式有什么特点？如何记忆？)(C 第8页，共36页。探究探究（二）：（二）：两角和的余弦公式两角和的余弦公式思考思考1 1：注意到注意到 ()，结合两结合两角差的余弦公式及诱导公式，角差的余弦公式及诱导公式，cos(cos()等于什么？等于什么？cos(cos()coscos coscos sinsin sinsin.思考思考2 2：上述公式就是两角和的余弦公式，上述公式就是两角和的余弦公式，记作记作 ，该公式有什么特点？如何，该公式有什么特点？如何记忆？记忆？()Ccos(+)cos(+)究竟究竟可以表示成什么
5、可以表示成什么样子？样子？coscos()cos03636213coscoscoscos.3622coscoscos.设、，则而第9页，共36页。21221221yyxxPP-两点间的距离公式两点间的距离公式 ，则则，、，意意两两点点设设直直角角坐坐标标平平面面内内的的任任222111yxPyxPyxo1P2P2N1NQ1M2M两角和的余弦公式另一推导（教两角和的余弦公式另一推导（教材材P138页页B组第组第4题）题）第10页，共36页。（1 1）分别指出点）分别指出点P P1 1、P P、P P2 2、P P3 3的坐标的坐标？（2 2）弦）弦P P1 1P P3 3的长如何表示的长如何表示
6、？（3 3）如何构造弦）如何构造弦P P1 1P P3 3的等量关系的等量关系？单位圆上点的坐标表示单位圆上点的坐标表示 P1PP2P3）+1 xyo两角和与差的余弦两角和与差的余弦第11页，共36页。两角和的余弦公式另一推导两角和的余弦公式另一推导 2222sinsincoscossin1cos 得得：cos22 展展开开整整理理，得得 ,sinsincoscos22 P1P4P3P2xoy-+-11-1sinsincoscos)cos(由及两点间距离公式1324PPP P第12页，共36页。两角和与差的余弦两角和与差的余弦 ）（简简记记：C.sinsincoscoscos 、是任意角是任意
7、角、是任意角是任意角、是任意角是任意角、是任意角是任意角用用-代替代替 ）（简简记记：C.sinsincoscoscos coscoscossinsin 第13页，共36页。两角和与差的余弦两角和与差的余弦 45303030 45 4560 456060 45 45coscoscossinsin 1.1.请用特殊角分别代替公式中请用特殊角分别代替公式中、，你会求哪，你会求哪些非特殊角的余弦值呢？些非特殊角的余弦值呢？第14页，共36页。coscoscossinsin 两角和与差的余弦两角和与差的余弦2.,2若 固定，分别用代替，你将发现什么结论呢？cos()cos.222cos()sin2 可
8、以进一步发现两角和与差的余弦公式与余弦的诱导公式有密切的联系。第15页，共36页。两角和与差的余弦两角和与差的余弦3 3倘若让你对倘若让你对C C()公式中的公式中的、自由赋值，自由赋值，你又将发现什么结论呢？你又将发现什么结论呢？coscoscossinsin 如：如：cos(+)=cos(+)=cos2=coscos2=cos2 2-sin-sin2 2，cos(-)=cos0=cos(-)=cos0=coscos2 2+sin+sin2 2=1=1.第16页，共36页。探究探究（三）：（三）：公式的正向应用公式的正向应用 例例1.1.利用余弦公式求利用余弦公式求cos15cos15的值的
9、值.coscoscos45 cos30sin45 sin30232 1222262.4解：15（45-30）=构造特殊角求值第17页，共36页。cos15另解：求的值。cos15=6045coscos45sin60 sin45123262.2 2224 cos=60的值。、思考：如何求75sin15sin第18页，共36页。两角和与差的余弦两角和与差的余弦coscoscossinsin 练习：练习：（1）cos80cos20+sin80sin20（2）cos215-sin215 智力抢答智力抢答（3）cos80cos35+cos10cos55 第19页，共36页。22233sincos1()s
10、in1cos,253431cos()coscossinsin()()666255234 3,103431cos()coscossinsin()()666255234 3.10 解：且，例2.已知43cos(),cos(),cos().5266 求探究探究（三）：（三）：公式的正向应用公式的正向应用 给值求值第20页，共36页。3sin,5cos()4a 练习1：已知是第四象限的角，求的值。给值求值123cos(),cos(2),cos135 思考：，为锐角，求。理论迁移理论迁移第21页，共36页。练习练习2 2：已知：已知 是第三象限角是第三象限角,求求cos(cos()的值的值.4sin,5
11、,25cos,13 4sin,5,2解：由 得22512sin1 cos11313 又由 是第三象限角，得5cos,13 2243cos1 sin155 所以cos()=33coscossinsin65 给值求值第22页，共36页。coscos().拆角思想:的的值值。求求都都是是锐锐角角，已已知知例例 cos,135)cos(,54cos,.3 探究探究（三）：（三）：公式的正向应用公式的正向应用 给值求值第23页，共36页。4.1cos20 cos25sin20 sin25例（）求值抢答抢答2cos()cossin()sin（）化简探究探究（三）：（三）：公式的逆向应用公式的逆向应用 co
12、s()cos.解：原式第24页，共36页。练习1：化简求值cos20 cos70sin20 sin70（1）cos()cos()sin()sin()（2）cos58 cos37cos32 cos53（3）第25页，共36页。cos()cos()73,2,cos244 442.已知=，=-，且55+-求cos2cos(.)()拆角思想:第26页，共36页。345.sinsin,coscos,cos(-)55 例 已知求。给值求值给值求值探究探究（三）：（三）：公式的变形应用公式的变形应用 sinsinsin8 0 coscoscos8 0cos().练习：已知，求第27页，共36页。31sins
13、in,coscos,cos().22拓展练习：若求的值2222223(sinsin)sin2sinsinsin41(coscos)cos2coscoscos422 sinsincoscos)11cos().2解：由已知条件得知将上面两个式子相加得到：（所以第28页，共36页。56.ABsinA,53 10cos,A-B.10B 例 已知为锐角，为钝角，且求给值求角给值求角探究探究（三）：（三）：公式的变形应用公式的变形应用 113coscos(-)0,7142 练习：已知，且求的值。第29页，共36页。31.()cossin.22f xxx例7求函数的周期cos cossin sin66cos
14、()62.xxx解：原式所以函数的周期是探究探究（三）：（三）：公式的变形应用公式的变形应用 第30页，共36页。()sin3cos.fxxx练习：求函数的最值13()2(sincos)222(cos cossin sin)662 cos()622672,2.6fxxxxxxxkkZxkkZ解：所以当，时最大值是；当时最小值是公式的变形应用公式的变形应用第31页，共36页。小结反思、消化知识小结反思、消化知识cos()coscossinsin1、学习了两角和与差的余弦公式的推导。2、强化了对公式的正向、逆向、变形应用。cos()coscossinsin第32页，共36页。1.1.在差角的余弦公
15、式的形成过程中，蕴涵着在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会等，我们要深刻理解和领会.2.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时角的余弦（或正弦）值时,要注意该角所要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符在的象限，从而确定该角的三角函数值符号号.第33页，共36页。作业：作业：P127P127练习：练习：1 1，2 2，3 3，4.4.3.3.在差角的余弦公式中，在差角的余弦公式中，既可以是单既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，换，如，2 2()()等等.同时，公式的应用具有同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择形式的选择.6)6(第34页，共36页。分层作业，满足需求分层作业，满足需求A层：非常学案中的剩余练习，课本层：非常学案中的剩余练习，课本135页页A组组 2、3，B组组1、2、4、5.B层：课本层：课本135页探索与研究。页探索与研究。第35页，共36页。第36页，共36页。
