1、下册下册 总复习总复习考试题型：考试题型：一、选择题（一、选择题（2分分*5=10分分）二、填空题（二、填空题（2分分*10=20分分）三、求积分（三、求积分（6分分*3=18分分）四、求偏导数（四、求偏导数（6分分*4=24分分）五、求解微分方程（五、求解微分方程（7分）分）六、求二重积分（六、求二重积分（7分）分）七、综合应用题（七、综合应用题（7分分*2=14分分）1、定积分的应用（求面积，求体积）、定积分的应用（求面积，求体积）2、最大利润（二元函数求极值）、最大利润（二元函数求极值）kdx)1Ckx2)x dx)1(11x13)dxxln|xCdxx211)4arctan xC215
2、)1dxxarcsin xC6)cos xdx sin;xC7)sin xdx cos;xC28)cosdxx2sec xdx tan;xC29)sindxx2csc xdx cot;xC10)sectanxxdx sec;xC11)csc cotxxdx csc;xC12)xe dx;xeC13)xa dx;lnxaCa基本积分表：基本积分表：tanln|cos|;cotln|sin|xdxxCxdxxC secln|sectan|cscln|csccot|xdxxxCxdxxxC补充公式：补充公式：三、求积分（三、求积分（6分分*3=18分分）f(x)()f(x)()(xx dxdxFC1
3、、第一换元法：凑微分（解决复合函数求第一换元法：凑微分（解决复合函数求积分）积分）凑内层函数的导数凑内层函数的导数复合函数复合函数凑内层函数的导数凑内层函数的导数()(),已已知知f x dxF xC51)(21)xdx5121(12()2)xxdx5()(2121)12 dxx6(21)12 xC153dxx 1(55)1353 xdxx1()535315dxx1ln|53|5xC32xx e dx 3(ln)xdxx 2.第二换元法：变量代换第二换元法：变量代换22(2)ax;sintax 可令可令22(3)ax可令可令;tantax 22(4)xa可令可令.sectax(1)axb可令可
4、令=axbt5112)11dxx 221;1;(1)2txxtdxdttdt解：令解：令x=1,t=0;x=5,t=2时时时时202=1tdtt 原式原式20=2111tdtt 201=2(1)1dtt 20=2(t-ln|1+t|)=2(2-ln3)12012).1dxx 令令tan,xt0 x 0,t1x ,4t 2sec,dxtdt原式原式40sectdt 40(ln|sectan|)tt ln(21).uvdxudvuvvdu3.分部积分：分部积分：1)cosxxdx2)sinxxdx3).xxe dx1)lnxxdx2)sinxarcxdx3)arctan.xxdx10(1)xxe
5、dx 10 xxdxe 10 xxde ()()()()()|babbaav xvdu x v xdxu xu x 1100 xxexedx 1100 xxxee 1 11(2)lnexxdx 211ln2()1exxdx 1121ln2exdx 1112211(lnln)2eexxxdx 112111(ln)2eexxxdx 1212111(ln)22eexxx213 144 e 四、求偏导数或全微分四、求偏导数或全微分(1)arctan;yzdzx 求:求:(,)(,)xydzz x y dxz x y dy (2)();,yzf xyz x x求:z求:z(3)cos(),xyxyzex
6、yzz 求求：(4)(,),xyxzf xyzzy 求求：(5);yxyzxz 求:（6）求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数z=f(x,y)的偏的偏导数。导数。sin zxyz Th1：由方程：由方程F(x,y)=0确定的函数确定的函数y=f(x)称作隐函数，称作隐函数，其导函数为：其导函数为：()xyFfxF 隐函数求导隐函数求导Th2：由方程：由方程F(x,y,z)=0确定的函数确定的函数z=f(x,y)称作隐函数，称作隐函数，其导函数为：其导函数为：/,/xxzyyzzFFzFF (1)(1)求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数y=f(x)的导函数。的导函数。2ye
7、xy (2)求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数。的偏导数。sin zxyz 五、重积分的计算五、重积分的计算,bxa ).()(21xyx （1）X-型区域型区域D=(x,y)|.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf cyd,(y)x(y).12D=(x,y)|d(y)c(y)Df(x,y)ddyf(x,y)dx.21（2）Y-型区域型区域所所围围成成的的区区域域是是由由两两条条抛抛物物线线其其中中2,)1(xyxyDdyxD 解解积积分分区区域域下下图图所所示示 Ddyx 210 xxxdxydy dxyxxx23223dxxx)32
8、32(41047 556 D解解 积分区域如下图所示积分区域如下图所示 Ddxyx)(22 yydxxyxdy22220)(dyxxyxyy22022323 2023)832419(dyyy203481412419yy 613.2,2,)()2(22所围成的闭区域所围成的闭区域及及是由直线是由直线其中其中xyxyyDdxyxD yxoD六、微分方程计算六、微分方程计算 ydye sinxx=0,y=0dx求：的通解和满足的特解。求：的通解和满足的特解。（1）ydysinxdxe解：分离变量解：分离变量 ye dysinxdx两边同时积分两边同时积分 yecosxC ycosxeC即是方程的通解
9、即是方程的通解x0,y0C0时，时，ycosxe0方程的特解为即方程的特解为即 g(y)dyf(x)dx dyyf()dxx形如形如作变量代换作变量代换 yxu,即即,dxduxudxdy 代入原式代入原式),(ufdxduxu duf(u)u.dxx即即可分离变量的方程可分离变量的方程（2）dyyytandxxx求：的通解。求：的通解。解：解：作变量代换作变量代换,xyu yxu,即即dyduux,xdxd代入原式代入原式duuxu tanu,dx dxcotudu;x 分分离离变变量量 dxcotudu;x ln|sinu|ln|x|lnC;sinucx 变量还原变量还原ysincxx n
10、一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程的通解为的通解为yP(x)yQ(x).P(x)dxP(x)dxye Q(x)edxC 1sinx(3)yyxx 求方程的通解。求方程的通解。解：解：,1)(xxP,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 七、综合应用题七、综合应用题 1.求在直角坐标系下平面图形的面积。求在直角坐标系下平面图形的面积。baAdx 上边界下边界上边界下边界 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周ydcAdy 右边界左边界右边界左边界2-bxaVdx 2 2外外边边
11、界界内内边边界界.,)12xVxxyxy体积轴旋转形成的旋转体的此图形绕围成的图形的面积；求由oxyxy 2yx120()Axxdx 解：解：12301()236xx12220()xVxxdx 13502()3515xx 2-bxaVdx2外边界 内边界1x2x多元函数取极值的多元函数取极值的充分条件充分条件 定理定理(充分条件充分条件):设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某邻的某邻域内连续、存在二阶连续偏导数域内连续、存在二阶连续偏导数,且且 00(,)0 xfxy ，00(,)0yfxy 00(,)xxfxyA，00(,)xyfxyB，00(,)yyfxyC（1）20BA
12、C 20BAC （3）20BAC （2）练习练习p1p2q2 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，销售某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，销售价分别为价分别为 和和 ，销售量分别为，销售量分别为 和和 ，需求需求函数分别为函数分别为 和和总成本函数为总成本函数为问：厂家如何确定两个市场的售价，才能使其获得总问：厂家如何确定两个市场的售价，才能使其获得总利润最大？最大总利润是多少？利润最大？最大总利润是多少？q1C(qq)123540q.p22100 05q.p11240 2练习解答练习解答L(p,p)R(p,p)C(p,p)121212p qp q(qq)112212354022112
13、20 2320 05121395.pp.pp ppL.pL.p 12120 43200 1120由由(,).80 120p pp pp pAL.;BL;CL.1112220 400 1BAC.20 040(,)80 120是唯一极大值点是唯一极大值点也是最大值点；也是最大值点；L(80,120)=605Ch6 微分方程微分方程2340(1)(y)(y)yxy 是是几几阶阶的的，线线性性非非线线性性的的微微分分方方程程。（二阶非线性）（二阶非线性）2ln x()yxy 求求微微分分方方程程的的通通解解。（分离变量）（分离变量）22yln xC Ch8 二重积分二重积分（1 1）求）求 的偏导数的
14、偏导数 Dzxfx,y d 2xyz,z解：解：xyz;z 202214D(x,y)|xy,(2 2)若若Dd 3（3）：交换积分顺序：交换积分顺序210 xxdxf(x,y)dy 10yydyf(x,y)dx Ch7多元函数微分多元函数微分222222,0(,)0,0 xyxyxyf x yxy (1 1)：在在(0 0,0 0)极限是否存在？函数是否连续？函数是否可导？极限是否存在？函数是否连续？函数是否可导？极限不存在；函数不连续；函数可导。极限不存在；函数不连续；函数可导。00000000(,)(,)(,)limlimxxxf xx yf xyzzxyxx 定义（分段函数在分界点导数）
15、定义（分段函数在分界点导数）00000000(,)(,)(,)limlimyyyf xyyf xyzzxyyy 2(2)();,yxzfzy x x求:z求:z2(3)ln();,yzf x yz x x求:z求:z22(4)(,),xyzf xyx yzz 求求：(5)(,),xzzf xyx y 2 2求求：Ch5 定积分定积分(1)()aaf x dx ()badf x dxdx ()xaf t dt 00f(x)()()()xaf t dtf xaxb 2(2)(cos)xattdt 2x cos x()()()()()()()u xv xf t dtf u xu xf v xv x
16、ln1(3)()xxf t dt 2111(ln)()()fxfxxx 2040sin0(4);()0limxxtdtx 12(5)(2)bafx dx 1222(f(b)f(a)220(6).(0)aax dxa .42a oxya00()(7)()2()()aaaf xf x dxf x dx f x 为奇函数为奇函数为偶函数为偶函数3223cos(9)1xxxdxx 92 211111lnln,(ln),lneeeexdxxdxx dxdxx (8 8）比比较较大大小小，11.110pCCpdxxp 时时。一般地，当时在一般地，当时在收敛收敛，时发散。时发散。101,;1,.()bpadxpxpa 当当2 2.积积分分当当时时时时义义敛敛广广发发散散收收1(9)(ln)kedxkxx 当 为何值时收敛？当 为何值时收敛？1111ln(ln)(ln)kkkeedxdxdtxxxt31(10)pdxpx 1 10 0取何值时，广义积分收敛。取何值时，广义积分收敛。120 31 133pp 时时，即即1112000111dxdxdxxxx (1 11 1)请请判判别别，的的敛敛散散性性。
