1、1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘
2、求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.【知识拓展】1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量2若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则()3.(，为实数)，若点A，B，C共线，则1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段
3、来表示向量()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关()(3)若ab，bc，则ac.()(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()1给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若a，b都是单位向量，则ab；向量与相等则所有正确命题的序号是()A BC D答案A解析根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；向量与互为相反向量，故错误2(教材改编)D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()A BC. D.答案A解析如图，.3对于非
4、零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析当ab0时，ab，ab；当ab时，不一定有ab，“ab0”是“ab”的充分不必要条件4已知a，b是不共线的向量，ab，ab(，R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是()A2 B1C1 D1答案D解析由ab，ab(，R)及A，B，C三点共线得t，所以abt(ab)tatb，即可得所以1，故选D.5在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.答案2解析由向量加法的平行四边形法则，得.又O是AC的中点，AC2AO，2，2.又，2.题型一平面向量的概念例1给出下列四个命题：若
5、|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是()A BC D答案A解析不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，.正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确
6、命题的序号是.故选A.思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1C2 D3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方
7、向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.题型二平面向量的线性运算命题点1向量的线性运算例2(1)在ABC中，c，b，若点D满足2，则等于()A.bc B.cbC.bc D.bc(2)(2015课标全国)设D为ABC所在平面内一点，若3，则()A. B.C. D.答案(1)A(2)A解析(1)2，22()，32A，bc.(2)3，3()，即43，.命题点2根据向量线性运算求参数例3(1)设D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1、2为实数)，则12的值为_(2)在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线
8、段CD上(与点C，D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是()A. B.C. D.答案(1)(2)D解析(1)()，1，2，即12.(2)设y，yy()y(1y).3，点O 在线段CD上(与点C，D不重合)，y，x(1x)，xy，x.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合三角形法则(2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于
9、E，F两点，且交对角线AC于点K，其中，则的值为()A. B.C. D.答案A解析，2.由向量加法的平行四边形法则可知，()2，由E，F，K三点共线，可得，故选A.题型三共线定理的应用例4设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线(1)证明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5，共线又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)解假设kab与akb共线，则存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，kk10.消去，得k210，k1.思维升
10、华(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a、b不共线(1)已知向量a3b，5a3b，3a3b，则()AA，B，C三点共线 BA，B，D三点共线CA，C，D三点共线 DB，C，D三点共线(2)如图所示，设O是ABC内部一点，且2，则ABC与AOC的面积之比为_答案(1)B(2)2解析(1)2a6b2(a3b)2，、共线，又有公共点B，A，B，D三点共线故选B.(2)取AC的中点D，连接OD，则2，O是AC
11、边上的中线BD的中点，SABC2SOAC，ABC与AOC面积之比为2.4容易忽视的零向量典例下列叙述错误的是_若ab，bc，则ac.若非零向量a与b方向相同或相反，则ab与a，b之一的方向相同|a|b|ab|a与b方向相同向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba.0.若ab，则ab.错解展示解析中两个向量的和仍是一个向量，0.答案现场纠错解析对于，当b0时，a不一定与c平行对于，当ab0时，其方向任意，它与a，b的方向都 不相同对于，当a，b之一为零向量时结论不成立对于，当a0且b0时，有无数个值；当a0但b0或a0但b0时，不存在对于，由于两个向量之和仍是一个向量，所以0.对
12、于，当0时，不管a与b的大小与方向如何，都有ab，此时不一定有ab.故均错答案纠错心得在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量1已知a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则下列说法正确的是()Aab0BabCa与b共线反向D存在正实数，使ab答案D解析因为a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则a与b共线同向，故D正确2已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但ab与c共线，且bc与a共线，则向量abc等于()Aa BbCc D0答案D解析依题意，设abmc，bcna，则有(ab)(bc)mcna，即acmcna.又a与c不共线，于是有m1，n1，abc，abc0，选D.3已知a2b，5a
13、6b，7a2b，则下列一定共线的三点是()AA，B，C BA，B，DCB，C，D DA，C，D答案B解析因为3a6b3(a2b)3，又，有公共点A，所以A，B，D三点共线4已知平面内一点P及ABC，若，则点P与ABC的位置关系是()A点P在线段AB上 B点P在线段BC上C点P在线段AC上 D点P在ABC外部答案C解析由得，即2，所以点P在线段AC上5.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为()A1 B2C3 D4答案B解析O为BC的中点，()(mn)，M，O，N三点共线，1，mn2.6设P为锐角ABC的外心(三角形外接
14、圆的圆心)，k()(kR)，若cosBAC，则k等于()A. B. C. D.答案A解析取BC的中点D，连接PD，AD，则PDBC，2，k()(kR)，2k，A，P，D三点共线，ABAC，cosBACcosDPC，APAD，2k，解得k，故选A.7(2015课标全国)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.答案解析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则得解得.8.(2016滨州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足cxayb(x，yR)，则xy_.答案解析如图，取单位向量
15、i，j，则ai2j，b2ij，c3i4j.cxaybx(i2j)y(2ij)(x2y)i(2xy)j，xy.9设a，b不共线，2apb，ab，a2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值是_答案1解析ab，a2b，2ab.又A，B，D三点共线，共线设，2apb(2ab)，a，b不共线，22，p，1，p1.*10.已知ABC和点M满足0.若存在实数m，使得m成立，则m_.答案3解析0，M为ABC的重心如图所示，连接AM并延长交BC于点D，则D为BC的中点.又()，()，即3，m3.11.如图，在ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，.解
16、()ab.()()ab.12设a，b是不共线的两个非零向量(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若ab，2a3b，2akb，且A，C，D三点共线，求k的值(1)证明由已知得，3ab2aba2b，a3b3ab2a4b，故2，又与有公共点B，所以A，B，C三点共线(2)解3a2b，2akb.因为A、C、D三点共线，所以，即3a2b2akb，所以所以综上，k的值为.*13.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若m，求实数m的值解由N是OD的中点得()，又因为A，N，E三点共线，故，即m()，所以解得故实数m.
