1、第五节第五节 Fourier变换与变换与Laplace 变换的应用变换的应用 求解微分方程的积分变换法求解微分方程的积分变换法 求解积分方程和卷积型方程求解积分方程和卷积型方程 利用积分变换计算积分值利用积分变换计算积分值一、求解微分方程的积分变换法一、求解微分方程的积分变换法微分方程积分变换像函数代数方程求解代数方程像函数原像（微分方程的解）积分逆变换求微分方程的解00 23|0|1-tttyy-yeyy求求方方程程满满足足初初始始条条件件，的的解解。例例1解解:()()y tY s 设设，L变换得：对原方程两边作Laplace)0()0()(2ysysYs)0()(yssY)(3sY11s
2、代入初始条件得，11)(3)(2 1)(2ssYssYsYs，解出)(sY)3)(1)(1(2)(sssssY逆变换得：作Laplace3,)3)(1)(1()2(Res1,)3)(1)(1()2(Res 1,)3)(1)(1()2(Res)(sssessssessssestystststttteee3818341的解。满足初始条件求方程组 0)0()0(0)0()0(222 xxyytxyxyeyxxyt例例2 ()()()()y tY sx tX s设设，LL，变换，并利用初始条件对原方程组两边作Laplace解解:1)()(2)()(2211)()()()(22222ssXssYsXss
3、YssssYssXsXssYs )1(1)()1(12)(222sssYssssX的代数方程，、解此关于)()(sYsX逆变换得：作Laplace()()(1)()()1(1)ttx tu t t ey tu te t 二、求解积分方程和卷积型方程二、求解积分方程和卷积型方程1、求解积分微分方程的积分变换法、求解积分微分方程的积分变换法 ()RLCEi t在在电电路路中中串串接接直直流流电电源源，求求开开关关闭闭合合后后回回路路电电流流。例例3解解:根根据据基基尔尔霍霍夫夫定定律律，LRCUUUE 0()1()()tRLCdi tURi tULUi t dtdtC 其其中中，(0)0i 当当开
4、开关关刚刚闭闭合合时时，0)0()()()(1 )(0iEdttdiLtRidttiCtit的方程综合以上可得关于 Laplace ()()i tI s 对对于于以以上上这这个个积积分分微微分分方方程程，两两边边取取变变换换，设设LsEissILsRIsICs)0()()()(1CRsLsELsRCsE/ssI11)(2解得则的根为逆，设方程的为求,01 Laplace)(212rrCRsLssILCLRLRLCLRRr142242222,1可表示为，则)(sI)()(21rsrsLEsI,21rr 若221121,)(Res,)(Res)(rrsrseLErrsrseLEtistst12 2
5、1 21rrerreLEtrtr)()(2121trtreerrLE,21rr 若LRrrr2 21则rrseLEtist,)(Res)(2)(stedsdLEtreLEt tLReLEt 22、求解卷积型方程的积分变换法0(1)()()()(),(0)xf xb xfdg xx 变换，采用的变化范围是由于Laplace),0(x)0(),()(*)()(xxgxfxbxf写成卷积形式为：)()(*)()(sGsFsBsF)(1)()(sBsGsF解得 1()()1()-G sf tB s 因因此此L(2)()()()(),()f xb xfdg xx )(),()(*)()(xxgxfxbx
6、f写成卷积形式为：变换，采用的变化范围是由于Fourier),(x)()(*)()(wGwFwBwF)(1)()(wBwGwF解得 1()()1()-G wf tB w 因因此此F2222222(1),(0)(2)()()1 (,0)()a taeaway xy uduxbaxuaxb 证证明明求求解解关关于于的的积积分分方方程程F例例4解解:(1)jwajwaawa11222 1()a tu t eajw 已已知知，F 11 ()a tut eajw 由由相相似似性性质质（相相似似系系数数取取为为），F则，1222awa F1111ajwajwFFtataetuetu )()(tae(2)，
7、即将原方程写成卷积形式222211*)(bxaxxy变换后有程两边做由傅氏卷积定理，对方Fourier 222211()Y wxaxbFF由对称性质，22221122aaxaxa FFwaea 221waea 同样，221 b webxb FwbwaebeawY )(故，()()b a waY web()1()b a way xeb F()1 b a wa b-aebba F22)(1)(abxbb-aa逆，得求Fourier0()()3sin2()cos()(0)ty ty ttytdt 求求解解关关于于的的积积分分方方程程例例50sindttt算积分利用积分变换的方法计例例6解解21sin
8、 1ts Lsintt Ltgstgsdssssarc2arc11|2000sinsindtettdtttt2)arc2(|0stgs三、利用积分变换计算积分值三、利用积分变换计算积分值023sin tdttet计算积分例例7解解21sin3,9ts L22216 sin3()9(9)dsttds ss L故202sin3 sin3|tstetdttt L16912)9(6|222sss022sincosdwwwtwwt计算积分例例8解解dwwwtwwtdwwwtwwt22022sincos21sincosdwweejweejwtjwtjwtjwt22)(2)(221dwwejwejwjwtj
9、wt22)()(41dwjwedwjwejwtjwt41，则若令ww1111dwjwedwjwetjwjwt故dwjwedwwwtwwtjwt21sincos022dwjwejwt211112jw Ftetu)(处需作处理，故的间断点积分定理，在按照0 )(Fourier tetut0 0,0 ,20 ,sincos 022tttedwwwtwwtt四四、FourierFourier变变换换在在频频谱谱分分析析的的应应用用1.相关函数的概念12()()f t f tdt+-定义:称1212()()(),f tf tR为与的互相关函数,记成即12()R12()()f t f tdt+-()R21
10、()R12()()f tf t dt+-12()()(),f tf tR特别地，当时,记成即()()f tf t dt+-偶函数2112()()RR自相关函数2.相关函数和能量谱密度函数的关系()R1()2jSed+-()S()jRed+-()R1()cos2Sd+-()S()cosRd+-三角函数表达形式特别地=0时(0)R1()2Sd+-帕塞瓦尔等式()()RS与构成一个傅氏变换对1212()()()SFF互能量谱密度121212121()()2()()jjRSedSRed+-+-构成一个傅氏变换对2112()()SS注：00(),0.ttf tet例9：求指数衰减函数(0)的自相关函数和能量谱密度
