1、目录目录 12-1割集 12-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 12-3回路电流方程的矩阵形式 12-4节点电压方程的矩阵形式 12-5割集电压方程的矩阵形式 12-6状态方程12-1割集图的基本概念图的基本概念1(1)图（拓扑图）与连通图图（拓扑图）与连通图电路的“图”是指将电路中的每一条支路（不管元件类型）以抽象的线段替代而形成的结点和支路的集合。任意两个结点间至少存在一条路径时，该图称为连通图。(2)回路回路从图中某一结点出发，经过不同的支路和结点又回到该结点所经过的闭合路径称为回路。(3)树树对连通图G而言，树是它的一个子图，它包含连通图的确平顺结点但不形成回路。属于的支路称为树支，不属
2、于对支的支路称为连支。12-1割集割集割集2(1)割集割集一个割集Q是具有下列性质的支路集合：如果把Q中的全部支路移去，原来的连通图将分成两个分离部分；如果少移去一条支路，则图G仍是连通的。即割集是将一个连通图分割成两个分离部分的最少支路集合。(2)基本割集基本割集我们把只含有一个树支的割集称为单树支割集或基本割集。(3)基本割集的编号及其参考方向规定基本割集的编号及其参考方向规定编号的顺序一般都取为与树支的编号顺序一致。基本割集的参考方向一般就规定为该基本割集中所含树支的参考方向。12-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵12.2.1关联矩阵关联矩阵因为图的任何一个支路一定是而且恰好是连接在两个节
3、点上，所以称此支路与这两个节点为彼此有关联。则节点与支路的关联性质可用一个nb阶矩阵来描述，记为Aa。它的每个元素ajk定义如下：ajk=1，表示支路 k 与节点 j 有关联，且支路k的方向是离开节点 j 的，称为同向关联。ajk=-1，表示支路 k 与节点 j有关联，且支路k的方向是指向节点 j的，称为反向关联。ajk=0，表示支路 k 与节点 j 无关联。12-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵12.2.1关联矩阵关联矩阵Aa称为图的节点-支路关联矩阵，简称关联矩阵。例如，对于图12-1所示的图，可写出它的节点-支路关联矩阵为110100011001100011001110aAAa中的每一行对
4、应于一个节点，每一列对应一条支路。12-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵12.2.1关联矩阵关联矩阵今若把 Aa中的任一行划去，剩下的矩阵就变为(n-1)b阶。用A表示，并称为降阶关联矩阵。110100011001100011A由于今后主要用的是降阶关联矩阵A，所以将把降阶关联矩阵A直接就称为关联矩阵。Ai=0u=ATun12-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵12.2.2回路回路矩阵矩阵基本回路中包含有某一支路，则称此基本回路与该支路有关联，否则为无关联。基本回路与支路的关联性质也可用一个矩阵来描述，称为基本回路一支路关联矩阵，简称基本回路矩阵，用B表示，其中任一元素bjk的定义为：bjk=1，表
5、示支路 k 与基本回路 j 有关联，且支路 k与基本回路 j 的参考方向一致，称为同向关联。bjk=-1，表示支路 k 与基本回路 j 有关联，但它们两者的参考方向相反，称为反向关联。bjk=0，表示支路 k 与基本回路 j 无关联。12-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵12.2.2回路回路矩阵矩阵若规定各支路的编号顺序是先连支后树支，同时又规定基本回路的参考方向与构成它的单连支的参考方向一致，则在基本回路矩阵 B中一定要出现一个 l l 阶的单位子矩阵如果所选独立回路组是对应于一个树的单连支回路组，这种回路矩阵主称为基本回路矩阵，用Bf表示。下标l和t分别表示与连支和树支对应的部分。Bu=0i
6、=BTil12-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵12.2.3割集矩阵割集矩阵割集矩阵为一个（n-1）b的矩阵，用Q表示。Q的行对应割集，列对应支路，它的任一元素qjk定义如下：qjk=+1，表示支路k与割集 j 关联并且具有同一方向；qjk=-1，表示支路k与割集 j 关联但是它们的方向相反；qjk=0，表示支路k与割集 j 无关联。如果选一组单树支割集为一组独立割集，这种割集矩阵称为基本割集矩阵，用Qf表示。Qf=lt Ql下标t和l分别表示对应于树支和连支部分。U=QTUt12.3回路电流方程的矩阵形式(1)当电路中电感之间无耦合时，对于第k条支路有()kkkSkSkUZIIU12TbIII
7、I12TbUUUU12TSSSSbIIII12TSSSbUUUU为支路电流列向量；为支路电压列向量；为支路电流源的电流列向量；为支路电压源的电压列向量。图12-7 复合支路 kUZkkISkISkU12.3回路电流方程的矩阵形式对整个电路有11111222220000000000SSSSbbbSbSbZUIIUZUIIUZUIIU即()SSUZ IIU式中Z称为支路阻抗矩阵，它是一个对角阵。12.3回路电流方程的矩阵形式(2)当电路中电感之间有耦合时，第 g 支路之间相互均有耦合，则有：1111221331122112223322112233eeegegSeeegegSggegegegegSg
8、UZ Ij M Ij M Ij M IUUj M IZ Ij M Ij MIUUj M Ij MIj MIZ IU 所有互感谢电压前取“+”号或“-”号决定于各电感的同名端和电流、电压的参考方向。12.3回路电流方程的矩阵形式支路电压与支路电流之间的关系可用下列矩阵形式表示112111121222221200000000000000gSgSgggggSghhhShbbbSbZj Mj MUIIj MZj MUIIj Mj MZUIIZUIIZUII 12SSgShSbUUUUU()SSUZ IIU回路电流方程的矩阵形式TlSSBZB IBUBZI12-4节点电压方程的矩阵形式对于复合支路，如图
9、12-11所示，其参考方向如图。下面分三种情况推导出整个电路的支路方程的矩阵形式。1.当电路中无受控电流源(Idk=0)电感间无耦合时，对于第k条支路有对整个电路有式中，Y称为支路导纳矩阵，它是一个对角阵。2.当电路中无受控源，但电感之间有耦合时，矩阵Z不再是对角阵，其主对角线元素为各支路阻抗，而非对角线元素将是相应的支路这间的互感阻抗。3.当电路中含有受控电流源时，设第k支路中有受控电流源并受第j支路中无源元件上的电压Uej 或电流Iej 控制，其中Idk=gkjUej或Idk=kjIej。()kkkSkSkIY UUI()SSIY UUIYk dkISkUSkIkIekUkUekI图12-
10、11复合支路12-4节点电压方程的矩阵形式第 k 支路有()kkkSkdkSkIY UUII111122220000000000000000000000000000000000000SSjjjSjkjkkkSkbbbSbYIUUYIUUYIUUYYIUUYIUU12SSSjSkSbIIIII式中 即()SSIY UUI结点电压方程的矩阵形式TnSSAYA UAIAYU12.5割集电压方程的矩阵形式割集分析法以树支电压为电路变量。对于具有n个节点的连通网络。选定树后，若各支路先连支后树支的顺序编号，则可定义树支电压向量ut为把支路方程代入KCL，可得0ffSfSQ YUQ YUQ I再把KVL代
11、入上式，便可得割集电压方程如下TfftfSfSQ YQ UQ IQ YU12.6状态方程“状态变量”就是一组独立的动态变量，它既表示了对“过去”的总结，也代表了对“将来”的影响；电容上电压uC（或电荷qC），电感中的电流iL(或磁通链L)就是电路的状态变量。对状态变量列出的一阶微分方程称为状态方程。111LCCSCLdiudtLduCiuidtCRCiSRLCiRiLiCuC图12-15 RLC 并联电路图 12.6状态方程用矩阵来描述，则有 10011LLSCCdiidtLiuCduCCRdtxAxBv要列出包括项的方程，必须对只接有一个电容的结点或割集写出KCL方程，而要列出包含项的方程，必须对只包含一个电感的回路列写KVL方程。CdudtLdidt12.6状态方程对于复杂电路，利用树的概念建立状态方程较为方便。下面介绍一种借助特有树建立状态方程的方法。(1)选特有树：将电容元件与独立电压源选为树支，电感元件与独立电流源选择为连支。(2)对电容树支列出所对应的基本割集KCL方程，对是电感的连支列出所对应的基本回路KVL方程。(3)将上两类方程中的非状态变量消去，得到只含状态变量的状态方程。要利用网络的其他基本割集、基本回路方程。(4)输出方程的列写用状态变量和激励来表示输出变量的方程称为输出方程，一般表示为其中，y为输出变量列向量。yCxDv
