1、6.1 概念2、在什么条件下，电路输出与输入是同频率的、在什么条件下，电路输出与输入是同频率的 正弦信号？正弦信号？正弦信号作用于线性电路时，产生的响应是正弦信号作用于线性电路时，产生的响应是与输入频率相同，振幅和初相不同的正弦信号。与输入频率相同，振幅和初相不同的正弦信号。1 1、什么是正弦稳态电路？、什么是正弦稳态电路？在正弦信号作用下，响应是同频率正弦在正弦信号作用下，响应是同频率正弦信号的电路。信号的电路。第第6章章 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析13、分析正弦稳态电路的相量法、分析正弦稳态电路的相量法已知电路已知电路正弦信号正弦信号相量电路相量电路模型模型列解相列解相量方程量方程正
2、弦稳态正弦稳态响应响应相量变换相量变换相量反变换相量反变换相量域分析相量域分析相量法的意义：相量法的意义：相量法属于一种变换域的分析方法，通过正相量法属于一种变换域的分析方法，通过正弦函数与相量的变换，把原本在时域列解微分方弦函数与相量的变换，把原本在时域列解微分方程的分析，转换为相量域里列解代数方程的分析程的分析，转换为相量域里列解代数方程的分析，从而简化了分析正弦稳态电路的难度。，从而简化了分析正弦稳态电路的难度。2正弦函数与相量正弦函数与相量相量形式的电路约束条件相量形式的电路约束条件相量分析方法相量分析方法正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率耦合电感和理想变压器耦合电感和理想变压器学习
3、内容36.2 正弦量与相量正弦量与相量在电路分析中，在电路分析中，把把sin函数和函数和cos函数统称为正弦函函数统称为正弦函数。把振幅数。把振幅Fm、角频率、角频率w w 和初相和初相j j 称为称为正弦函数的正弦函数的三要素。三要素。一、正弦电量一、正弦电量 指按正弦函数规律变化的电压或电流。指按正弦函数规律变化的电压或电流。()cos()mf tFtw wj j1、初相、初相j j 为了确保初相取值的唯一性，规定：为了确保初相取值的唯一性，规定：j j 4初相与波形的关系：初相与波形的关系：f(t)tb)j j 0 t1f(t)tc)j j 0，见图，见图b，离，离t=0最近的正峰值出现
4、在负时间最近的正峰值出现在负时间 轴轴 t1=j j/w/w 0；j j 0。5322100/20 10rad sT w w 311002.5 104trad j jw w A()10cos(100)4i tt 5 10 15 20 25 t(ms)i(t)A01055 10例例 正弦电流的波形如图所示。正弦电流的波形如图所示。（1）试求波形的振幅）试求波形的振幅Im、角频率、角频率 w w 和初相和初相j j。（2）写出电流波形的表达式。）写出电流波形的表达式。电流的初相电流的初相 （2）电流的表达式为）电流的表达式为 解：解：（1）由波形可知，）由波形可知，振幅振幅 Im=10 A周期周期
5、 T=22.5 2.5=20 ms角频率角频率 6设：两个同频率正弦电量分别为设：两个同频率正弦电量分别为2、相位差、相位差相位差是两个正弦函数的相位之差。相位差是两个正弦函数的相位之差。111()cos()mf tFtw wj j f1(t)的相位减的相位减 f2(t)的相位之差用的相位之差用 12表示，表示，有有222()cos()mf tFtw wj j121212()()tt w wj jw wj jj jj j为使相位差取值具有唯一性，规定取值范围：为使相位差取值具有唯一性，规定取值范围：|7相位差相位差 12=j j 1 j j 2有以下几种情况：有以下几种情况：(1)12 0，称
6、，称f1(t)超前超前f2(t)一个一个 12角度；或说，角度；或说，f2(t)滞后滞后f1(t)一个一个 12角度。角度。(2)12 0，称，称 f2(t)超前超前f1(t)一个一个 12角度；或说，角度；或说，f1(t)滞后滞后 f2(t)一个一个 12角度。角度。(3)12=0，称，称 f1(t)与与 f2(t)同相。同相。(4)12=，称，称 f1(t)与与 f2(t)反相。反相。(5)12=/2，称，称 f1(t)与与 f2(t)正交。正交。8例例 设两个同频率正弦电压分别为，设两个同频率正弦电压分别为，求它们的相位差。求它们的相位差。V01()10cos(60)u ttw wV02
7、()2sin(60)u ttw w V00002()2cos(9060)2cos(18030)u tttw ww w 000126015090 解：解：把电压统一用余弦函数表示，电压把电压统一用余弦函数表示，电压u2(t)另写另写 为为两个电压的相位差为两个电压的相位差为u2(t)与与u1(t)正交。正交。93、正弦电量的有效值正弦电量的有效值 有效值是衡量周期函数大小的物理量，也被有效值是衡量周期函数大小的物理量，也被称为方均根值，定义为称为方均根值，定义为201()TFft d tT当当 f(t)=Fmcos(w(wt+j j)时，代入以上定义式，有时，代入以上定义式，有 222001co
8、s()1 cos2()2TTmmFFFtdttdtTTw wj jw wj j 0.7072mmFFF正弦函数的有效值为正弦函数的有效值为10二、相量二、相量 1.有效值相量（以下简称相量）的定义有效值相量（以下简称相量）的定义 设：设：f(t)=Fmcos(w(wt+j j)，其对应的有效值相量为，其对应的有效值相量为 从数的角度看，相量是复常数，从数的角度看，相量是复常数，但与复常数不同的是相量与正弦但与复常数不同的是相量与正弦函数之间建立了对应关系。相量函数之间建立了对应关系。相量的模取正弦函数的有效值的模取正弦函数的有效值F，相，相量的角度取正弦函数的初相量的角度取正弦函数的初相j j
9、，而，而复常数没有这层联系。复常数没有这层联系。cossinjFF eFFjFj jj jj jj j ReImFj jFcosj jFsinj j112.相量与正弦函数的转换关系相量与正弦函数的转换关系例例 已知已知 i1(t)=2cos(10 t+450)A i2(t)=2sin(5 t+450)A 请写出两个正弦电流对应的相量。请写出两个正弦电流对应的相量。解：解：正弦电流正弦电流i1(t)对应的相量为对应的相量为相量变换相量变换相量反变换相量反变换()2 cos()f tFtw wj jFFj j把把i2(t)用用cos函数表示：函数表示：i2(t)=2cos(5 t 450)A。其对
10、应的相量为其对应的相量为A0124512Ij A0224512Ij 12例例 已知已知 ，正弦电压的频，正弦电压的频 率率f=106 Hz，请写出相量对应的正弦电压。，请写出相量对应的正弦电压。V01635UV234Uj 解：解：根据题意知，根据题意知，1对应的正弦电压为对应的正弦电压为V02345 53.13Uj则则V602()5 2cos(21053.13)u tt 强调：正弦函数与相量是不相等的，即强调：正弦函数与相量是不相等的，即22()Uu t2u1(t)=6 cos(2 2 106t 350)V相量电压相量电压2以直角坐标形式给出，先转换为极坐标以直角坐标形式给出，先转换为极坐标形
11、式，有形式，有13正弦量与相量正弦量与相量相量形式的电路约束条件相量形式的电路约束条件相量分析方法相量分析方法正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率耦合电感和理想变压器耦合电感和理想变压器学习内容146.3 相量形式的两类约束条件一、相量形式的一、相量形式的KCL定律定律 在正弦稳态电路中，与任一节点（或封在正弦稳态电路中，与任一节点（或封闭面）相连的各支路电流相量的代数和为零。闭面）相连的各支路电流相量的代数和为零。记为：记为：k=0 (1)如果流进节点或封闭面的电流相量取如果流进节点或封闭面的电流相量取“+”号，号，则流出的电流相量就取则流出的电流相量就取“”号；反之也成立。号；反之也成立。
12、15说明：说明：（1）只有电路中各支路电流是只有电路中各支路电流是同频率同频率正弦波的情正弦波的情况下，才能使用式况下，才能使用式(1)。线性时不变正弦稳态电路能保证线性时不变正弦稳态电路能保证“同频率同频率”的的要要求。以下称谓求。以下称谓“正弦稳态电路正弦稳态电路”都指线性时不变正都指线性时不变正弦弦稳态电路。稳态电路。（2）如果丢掉了电流上的如果丢掉了电流上的“”，等式不成立，即，等式不成立，即0kI 正弦电流有效值的代数和通常不等于正弦电流有效值的代数和通常不等于0。16例例 在某电路的一个节点中，在某电路的一个节点中，已知已知A1()10 2sin(60)i ttw w()A25 2
13、cosittw w求：求：i3(t)。解：解：采用相量法。采用相量法。第一步，相量变换。第一步，相量变换。A1()10 2sin(60)10 2cos(30)i tttw ww w A A001210305 0IIi1i2i3123画相量电路；电路结构、参考画相量电路；电路结构、参考不变，把时域电流转换为相量电流，得相量电路。不变，把时域电流转换为相量电流，得相量电路。17jj A00312010305 08.66553.6656.253.8III第二步，列解相量方程，求出相量第二步，列解相量方程，求出相量 3第三步，相量反变换第三步，相量反变换12318二、相量形式的二、相量形式的KVL定律
14、定律 在正弦稳态电路中，任一闭合回路上各支路电在正弦稳态电路中，任一闭合回路上各支路电压相量的代数和为零，记为：压相量的代数和为零，记为：k=0 （2）说明说明:(1)如果沿回路绕行方向上电压降的相量电压如果沿回路绕行方向上电压降的相量电压取正，那么，沿回路绕行方向上电压升的相量电压取正，那么，沿回路绕行方向上电压升的相量电压则取负，反之也成立。则取负，反之也成立。(2)式中各支路电压相量对应的正弦函数必须同式中各支路电压相量对应的正弦函数必须同频率。频率。(3)有效值电压的代数和通常不等于有效值电压的代数和通常不等于0。即。即0kU19解：解：采用相量法。采用相量法。第一步，相量变换。第一步
15、，相量变换。画相量电路；电路结构、参考画相量电路；电路结构、参考不变，把时域电压转换为相量电压，不变，把时域电压转换为相量电压，得相量电路。得相量电路。01210cos(100120)Vut 0228cos(10030)Vut 例例 已知已知 求：求：u(t)+u+u1+u2VV01021012058.668 306.934UjUj +1+220第二步，列解相量方程，求第二步，列解相量方程，求。根据相量电路。列根据相量电路。列KVL方程方程V12058.666.9341.934.665.0467.5UUUjjj V0()5.04 2cos(567.5)u tt第三步：相量反变换第三步：相量反变
16、换 +1+221三、相量形式的元件三、相量形式的元件VCR关系关系元件元件i(t)u(t)+u(t)=Um cos(w wt+j ju)(V)i(t)=I m cos(w wt+j ji)(A)=U j ju=0.707 Um j ju =I j ji=0.707 Im j j i则则有有设设：电路处于正弦稳定状态，且端口电压、电流电路处于正弦稳定状态，且端口电压、电流参考方向关联参考方向关联22元件元件 R L C时域时域 u R(t)=R iR(t)u L=L diL/dt i C=C duc/dt相量相量 R=R R L=jw wL L C=jw wC CVAR UR j j u=RIR
17、 j j i UL j j u=w wLIL 900+j j i IC j j i=w wCUC 900+j j u 有效值有效值 UR =R IR UL =w wL IL I C =w wCUC相位相位 j j u=j j i j j u=900+j j i j j i=900+j j u 相量图相量图 相量电相量电路模型路模型RRLLCC R RR C C1/jw wC L L jw wL23CC4.j UC Iw试判断下列表达式的正、误。试判断下列表达式的正、误。uLiw w 1.mm2.j ICUwLLL3.UXILL5.j ULIwUImUmmUUII1j Cw24两类约束条件应用举
18、例：两类约束条件应用举例：电路如图所示。已知电路电路如图所示。已知电路处于正弦稳定状态，处于正弦稳定状态，u(t)=1.414 60 cos 10 t(V),R=15 ,L=10mA,C=50 F,求：求：i(t)。RCL+ui解：解：（1）作相量电路）作相量电路 方法：电路结构不变，电压、电流的参考方法：电路结构不变，电压、电流的参考方方向不变；把电压、电流转换为相量；元件用相量向不变；把电压、电流转换为相量；元件用相量模型表示。模型表示。2515-j20+j10 060 0 VU331010 1010j Ljjw w36111201050 10jjjjCCw ww w 2615-j20+j
19、10 RCL604A15RUIR（2）根据相量电路，列方程，求）根据相量电路，列方程，求。603A2020cUIjjj606A10LIjj 27043643536.9 ARcLIIIIjjj（3）相量反变换）相量反变换3030()1.4145cos(1036.9)7.07cos(1036.9)Ai ttt28四、阻抗与导纳四、阻抗与导纳00060 012 36.9536.9UI9.67.2j15-j20+j10 060 0 VU 0536.9 AI 比值是一个复常数，单位是欧姆，把这个比值称为阻比值是一个复常数，单位是欧姆，把这个比值称为阻抗。抗。一般性结论：在相量电路中，由电阻、电感、电一般
20、性结论：在相量电路中，由电阻、电感、电容和受控源组成的无源单口电路可以等效为一个阻抗。容和受控源组成的无源单口电路可以等效为一个阻抗。29（一）阻抗（一）阻抗 Z在关联参考方向下，在关联参考方向下，阻抗定义为阻抗定义为 无源无源电路电路AiIIj jVuUUj j+-uiUUZIIj jj j()()|()|()()()(2)zZZRjXw ww w w ww ww w通常，阻抗值是复数，是角频率通常，阻抗值是复数，是角频率w w 的函数，有的函数，有22|()|()()UZRXIw ww ww w()zui w wj jj j对比两式得对比两式得电阻电阻电抗电抗RjX30R、L、C的阻抗形式
21、的阻抗形式元件元件 阻抗阻抗R+jX()阻抗角阻抗角 Z=j ju j ji 特征特征 R R z=0 电压、电流同相电压、电流同相 L jw wL=j XL z=90 电压超前电流电压超前电流900 XL=w w L w w=0时，时，XL=0 w w=时，时，XL=C z=90 电流超前电压电流超前电压900 w w=0 时，时，|XC|=w w=时，时，XC=01cjXj Cw w1cXCw w 31阻抗角提供了阻抗性质的信息。阻抗角提供了阻抗性质的信息。由由R、L、C组成的无源单口电路，阻抗角的取组成的无源单口电路，阻抗角的取值范围值范围：900 z 900当当 00 z j ji (
22、X 0),阻抗呈感性。阻抗呈感性。当当 900 z j ju(X 0),阻抗呈容性。阻抗呈容性。z=00 时，时，纯电阻。纯电阻。z=900时，时，纯电感。纯电感。z=900时，时，纯电容。纯电容。32（二）导纳（二）导纳 Y导纳的定义导纳的定义无源无源电路电路AiIIj jVuUUj j+-SiuIIYUUj jj j()()|()|()()()(4)YYYGjBw ww w w ww ww w通常，导纳是角频率通常，导纳是角频率w w 的函数，有的函数，有22|()|()()IYGBUw ww ww w()Yiu w wj jj j对比两式得对比两式得电导电导电纳电纳GjB33R、L、C
23、的导纳形式的导纳形式元件元件 导纳导纳Y=G+jB(S)导纳角导纳角 y=j ji j ju 特征特征 R G y=0 电压、电流同相电压、电流同相 L y=90 电压超前电电压超前电流流900 w w=0时时,|BL|=w w=时时,BL=0 C jBc=jw wC y=90 电流超前电压电流超前电压900 Bc=w wC w w=0时，时，BC=0 w w=时时,BC=LjjBLw w11LBLw w 34导纳的性质导纳的性质：当电路当电路由元件由元件R、L、C 组成时，阻抗角的取值组成时，阻抗角的取值范围范围：900 y 900*00 y j j u(B 0),导纳呈容性。导纳呈容性。*
24、900 y j j i(B 0),导纳呈感性。导纳呈感性。*y=00 纯电阻纯电阻*y=900 纯电容纯电容*y=900 纯电感纯电感35（三）阻抗与导纳的关系（三）阻抗与导纳的关系11()()()()()()YGjBZRjXw ww ww ww ww ww w有有2222()()()()()()RXjRXRXw ww ww ww ww ww w22()()()()RGRXw ww ww ww w22()()()()XBjRXw ww ww ww wRjXGjB1、已知、已知R、X，求求G、B。3611()()()()()()ZRjXYGjBw ww ww ww ww ww w有有2222()
25、()()()()()GBjGBGBw ww ww ww ww ww w22()()()()GRGBw ww ww ww w22()()()()BXjGBw ww ww ww w2、已知、已知G、B，求，求R、XRjXGjB37解：解：例例 电路如图所示，已知：电路如图所示，已知：U=100V，I=5A，超前于超前于 相位相位53.10，求，求R 和和 XL。UI设设端口电压为参考相量端口电压为参考相量V100 0U A5 53.1IjS5 53.10.05 53.10.030.04100 0IYU Lj11jXRBGY jXLULIRIR+-I 则则38例例 求求 Z解：解：串、并联等效化简串
26、、并联等效化简5 j10 3 8 j4-j6 ab(510)(86)/(34)abZjjj (86)(34)(510)112jjjj 0001036.87553.13(510)11.1810.3j 395 j10 3 8 j4-j6 ab0001036.875 53.13(510)11.1810.3abZj9 j12 ab0(510)4.47 26.6j51042jj912()j40正弦量与相量正弦量与相量相量分析方法相量分析方法正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率耦合电感和理想变压器耦合电感和理想变压器相量形式的电路约束条件相量形式的电路约束条件学习内容41相量法的解题步骤：相量法的解题步骤
27、：1、相量变换、相量变换 把正弦信号变换为相量；把正弦信号变换为相量；把时域电路变换为相把时域电路变换为相量电路。在电路变换时，电路结构不变，电量的参量电路。在电路变换时，电路结构不变，电量的参考方向不变，元件用相量电路模型替换。考方向不变，元件用相量电路模型替换。2、求相量解、求相量解 依托相量电路模型，根据两类约束条件、各种依托相量电路模型，根据两类约束条件、各种分析方法和电路定理，在相量域里列、解方程，求分析方法和电路定理，在相量域里列、解方程，求出待求电量的相量解。出待求电量的相量解。3、相量反变换、相量反变换 把相量解反变换为正弦信号。把相量解反变换为正弦信号。421110(1)12
28、Ujj例例 电路如图电路如图a所示，已知所示，已知us(t)=10cost V，求求u(t)。10V2+1 1H1Fu(t)+1 us(t)a)解：解：第一步，相量变换。画相量电路，见图第一步，相量变换。画相量电路，见图b。第二步，求相量第二步，求相量。方法一，节点法。方法一，节点法。设参考结点；列结点电压方程设参考结点；列结点电压方程 j 10V2+1+b)j V2101 43110(3)22j U1843 V0206.32.2(3)2Uj8 43 V0()6.32cos(1.)u tt整理得整理得 第三步，相量反变换第三步，相量反变换 j 10V2+1+b)j V2101 441210(2
29、)(1)2j Ij I列网孔电流方程列网孔电流方程网孔网孔1方法二，网孔法。方法二，网孔法。j 10V2+1+j V2101 12设网孔电流如图所示。设网孔电流如图所示。网孔网孔221(1)0Ij I联立两式，削去联立两式，削去1，得，得210122jIj 021016.3218.43 V222jjUj Ij4511022ocjUj方法三，戴维南等效。方法三，戴维南等效。(1)求求ab端口的等效电路端口的等效电路1)开路电压开路电压等效阻抗等效阻抗1/(1)0.60.2abZjj06.3218.43V2 j 10V2+1+j V2101 ab+oc j +0.6+j0.2+06.3218.43
30、V2ab利用分压公式，得利用分压公式，得06.32 18.43(0.60.2)2jUjj06.3218.43V246A1842I b)I18V+42例例 电路如图电路如图a所示，求电流所示，求电流 i。ia)+1H8V10cos4t V+42解：解：(1)8V直流电压源单独作用，直流电压源单独作用，交流电压源置交流电压源置当两个独立源频率不同时，必须用叠加法求响应。当两个独立源频率不同时，必须用叠加法求响应。零；等效电路见图零；等效电路见图b。电流。电流 I1为为47A022/410150.7971.5642/4422 2(13)2jIjjjA02()0.79cos(471.56)ittA01
31、2()()40.79cos(471.56)i tIi tt(2)10cos4 t V正弦电压源单独作用。正弦电压源单独作用。8V直流电压直流电压相量反变换相量反变换 叠加叠加 10V2c)I2j4+42ia)+1H8V10cos4t V+42源源置零；相量电路见图置零；相量电路见图 c。利用分压关系和电利用分压关系和电感的伏安关系可得感的伏安关系可得 48推而广之：推而广之：当不同频率的正弦波同时作用于电路当不同频率的正弦波同时作用于电路时，若不同频率的比值为有理数，说明信时，若不同频率的比值为有理数，说明信号是周期的，求平均功率可用叠加定理。号是周期的，求平均功率可用叠加定理。若不同频率的比
32、值为无理数，信号为非周若不同频率的比值为无理数，信号为非周期的，不能用叠加定理求功率。此外，对期的，不能用叠加定理求功率。此外，对同频率信号，不能用叠加定理求功率。同频率信号，不能用叠加定理求功率。49正弦量与相量正弦量与相量正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率耦合电感和理想变压器耦合电感和理想变压器相量形式的电路约束条件相量形式的电路约束条件相量分析方法相量分析方法学习内容50一、一端口网络的功率设：一端口网络处于正弦稳态，端口电压、电流设：一端口网络处于正弦稳态，端口电压、电流参考方向关联，分别为参考方向关联，分别为i(t)u(t)+有源网络A()2 cos()ii tItwjV()2co
33、s()uu tUtwj1、瞬时功率瞬时功率 p(t)()()()2cos()cos()cos(2)cos()(1)uiuiuip tu t i tUIttUItwjwjwjjjj512、平均功率平均功率P（损耗功率、有功功率）（损耗功率、有功功率）把式把式(1)代入上式，代入上式，定义：定义：瞬时功率在一个周期里的平均值。记作瞬时功率在一个周期里的平均值。记作 TtdtpTP0)(10cos(2)cos()TuiuiUIPtdtTw wj jj jj jj jcos()W(2)uiPUIj jj j得平均功率的一般计算式得平均功率的一般计算式52例例 无源二端电路如图所示。无源二端电路如图所示
34、。已知已知=10000 V，=0.8+j0.6 A，求求：二端电路的平均功率和等效导纳：二端电路的平均功率和等效导纳。解：解：00.80.61 36.87 AIj0cos()100 1 cos(36.87)uiPUIjjjj 100 0.880 W001 36.870.01 36.87 S100IYU+无源网络531)无源网络无源网络(既无独立源又无受控源既无独立源又无受控源 )端口伏安关系为端口伏安关系为 =Z ，=Y，Z=j j u j j i 把以上关系把以上关系代入代入(2)式，有式，有：P=UI cos Z=I 2|Z|cos Z=U 2|Y|cos Z=U 2|Y|cos y=U
35、2 Re Y=I 2 Re Z 讨论几种特殊情况：讨论几种特殊情况：543)电容电容 C 相位关系相位关系:j j u j j i =90 代入式代入式(2)，得，得4)电感电感 L 相位关系相位关系:j j u j ji =90 代入式代入式(2)，得，得2)电阻电阻 R 伏安关系：伏安关系：=R j j u j ji=0 代入式代入式(2)，得，得P=U I=R I 2=U 2/R P=UI cos(900)=0P=UI cos 900=055 根据能量守恒定理，网络端口的总功率等于网络中所有电阻平均功率之和。k56例例 电路如图电路如图(a)所示。已知电路工作于正弦稳态，所示。已知电路工
36、作于正弦稳态，试求该电压源发出的平均功率。试求该电压源发出的平均功率。解：解：电路的相量模型如图电路的相量模型如图(b)(b)所示。先求出联接所示。先求出联接 电压源单口网络的等效阻抗电压源单口网络的等效阻抗 )()(10.51.50.51.5 0.50.5 11j jjZjjjjj 57分流公式求电流分流公式求电流 0202 45A12 45jjIIjj 1 1用欧姆定律求电流用欧姆定律求电流 002245 A1SUIZj 1 10 058可用以下几种方法求电源发出的平均功率可用以下几种方法求电源发出的平均功率 W212)j1Re()Re(3W2115.022W2cos4522cos1212
37、12221211SIZIPRIRIPIUPZ发出发出发出发出发出发出59例例 电路如图所示。已知电压表的读数是电路如图所示。已知电压表的读数是15V，电电流表的读数是流表的读数是1A，R=5，正弦电源的角频率，正弦电源的角频率w w=200rad/s，求电感求电感 L和电路消耗的功率。和电路消耗的功率。解：解：电路消耗的功率就是电电路消耗的功率就是电 阻消耗的功率，为阻消耗的功率，为VLRA+u 25 WPI R 又又()URj L Iw w 22()UIRLw w 等式两边取模，得等式两边取模，得60VLRA+u 5 VRUI R 方法二，图解法方法二，图解法222215514.14 VLR
38、UUU 则则22221115570.7mH200LURw w 由题意知：由题意知：设：设：=1 0 00 0A为参考相量，画相量图为参考相量，画相量图RLLIw w 所以所以14.1470.7 mH200LULw w 61二、正弦稳态电路的最大功率传输二、正弦稳态电路的最大功率传输讨论的环境：信源非理想，且讨论的环境：信源非理想，且 Z0=R0+jX0不能改变，不能改变，问：负载问：负载 ZL=RL+jXL=|ZL|取什么值时，取什么值时，ZL能能获最大功率？最大功率是多少？获最大功率？最大功率是多少？L 621、共轭匹配共轭匹配 RL、XL均可独立变化均可独立变化2max04ocLUPR 结
39、论：结论：当当ZL=Z0*=R0 jX0 时，时，ZL能获最大功率，能获最大功率，最大功率为最大功率为、模匹配模匹配|Z L|变化变化、L固定不变固定不变结论：结论：当当|ZL|Z0|时时，|ZL|能获最大功率能获最大功率。63证明证明共轭匹配共轭匹配:负载电流负载电流负载吸收的平均功率为负载吸收的平均功率为 +OC ZOZL000OCOCLLLUUIZZRjXRjX ()()2200OCLLUIRRXX ()()222200LOCLLLR UPR IRRXX 64当当XL=X0 时，分母最小，此时功率为时，分母最小，此时功率为220(1)()ocLLURPRR 对对RL 求导数，并令其等于零
40、求导数，并令其等于零可见，当可见，当 RL=R0时时,RL获最大功率；代入获最大功率；代入(1)式有式有 220040()2()0()LLLocLLRRRRRdPUdRRR 204ocUPR 65例例 电路如图所示。求电路如图所示。求:(1)ZL为何值时能获最大功率？且为何值时能获最大功率？且 PLmax=?(2)若若ZL=R，ZL获得的最大功率是多少？获得的最大功率是多少？解：解：化简电路化简电路 2K 2K j4K ZL20000mA66(1)当当 时，能获最大功率，时，能获最大功率，K22LZj 2max3(2002)10 W4210LP (2)当当 时，能获最大功率时，能获最大功率K|
41、2 2LRZ +2+j2 K ZL0200 2 45 V+4K j4K ZL0400 0 V670200 245mA(22 2)2Ij +2+j2K 0200 2 45 V2 2KI00282.48 455.23 22.49 054.1 22.51 mA 222 254.1228.3mWLPI 68正弦量与相量正弦量与相量耦合电感和理想变压器耦合电感和理想变压器相量形式的电路约束条件相量形式的电路约束条件相量分析方法相量分析方法正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率学习内容696.6.1 耦合电感的伏安关系耦合电感的伏安关系一、复习独立电感的伏安关系一、复习独立电感的伏安关系 1.i 关系关系
42、11(t)=L1 i1(t)(1)2.u 关系关系 根据电磁感应定理，有根据电磁感应定理，有111()()(3)d itutLd t i1+u11 -11L11111()()(2)dtutd t 3.i u 关系关系 对对(1)式两边求导，再代入式两边求导，再代入(2)式式,得得 70二、线圈的磁耦合二、线圈的磁耦合1、电流电流i2在线圈在线圈中产生的互中产生的互 感磁链感磁链 12(t)=M12i2(t)(4)2、互感磁链在线圈互感磁链在线圈中感应的中感应的互感电压互感电压 对式对式(4)求导求导,并代入并代入式式(2),得得M12i2 12+u1221212()()(5)d itutMd
43、t 1111()()(2)dtutd t 71三、耦合电感的伏安关系三、耦合电感的伏安关系 当两个线圈电流当两个线圈电流i1、i2同时作用时同时作用时,根据叠加定根据叠加定理理,线圈线圈的总磁链的总磁链 1为为自感磁链与互感磁链之和自感磁链与互感磁链之和 1(t)=11(t)+12(t)1(t)=L1 i1(t)M12 i2(t)(6)线圈线圈的端口总电压的端口总电压u1为自感电压与互感电压之和为自感电压与互感电压之和i2 12i1 11 1L1M1211()d itLd t 212()(7)d itMd t+u11()u t72同理同理,线圈线圈中的总磁链中的总磁链 2 为为 2(t)=L2
44、 i2(t)M21 i1(t)(8)线圈线圈的端口总电压的端口总电压 u2 为为tdtidL)(22tdtidM)(121u2(t)(9)可证明线性时不变耦合线圈有可证明线性时不变耦合线圈有 M12=M21=M代入式代入式(7)、(9)，得得 121112()()()(7)d itd itu tLMd td t 731.时域形式的伏安关系时域形式的伏安关系 2.相量形式的伏安关系相量形式的伏安关系 在用相量法分析耦合电感时在用相量法分析耦合电感时,用以下的伏安用以下的伏安关系式关系式 1=jw wL1 1 jw wM 2 2=jw wL2 2 jw wM 1dttdiMdttdiLtu)()(
45、)(2111dttdiMdttdiLtu)()()(122274以式以式(7)为例，分析耦合电感伏安关系的特点。为例，分析耦合电感伏安关系的特点。dttdiLtu)()(111dttdiMdttdiLtu)()()(2111 =自感电压自感电压 互感电压互感电压 当当i2=0 或或i2=I 时时,只有自感电压只有自感电压,没有互感电压没有互感电压 说明耦合电感不传递直流。说明耦合电感不传递直流。当当i1=0 或或i1=I 时时,只有互感电压只有互感电压,没有自感电压没有自感电压21()()d i tu tMd t 75四、耦合电感的电路符号四、耦合电感的电路符号1.同名端：不同端口标同名端：不
46、同端口标“”的一对端子，或不标的一对端子，或不标“”的一对端子。的一对端子。2.异名端：不同端口标异名端：不同端口标“”与不标与不标“”的一对端子。的一对端子。3.同名端的规定同名端的规定:当两个端口的电流都从同名端流当两个端口的电流都从同名端流 入时，产生的自感磁链和互感磁链方向一入时，产生的自感磁链和互感磁链方向一 致致,相互增强。相互增强。L1L2M1122(a)时域电路符号时域电路符号jwL1jwL2jwM1122 (b)相量电路符号相量电路符号76五五.确定自感电压的确定自感电压的“”号和互感电压的极性号和互感电压的极性1.1.确定自感电压的确定自感电压的“”号号 本端口电压与本端口
47、电流参考方向关联时本端口电压与本端口电流参考方向关联时,取取 “+”,+”,非关联时取非关联时取“”号号.2.2.互感电压的极性互感电压的极性 与互感电流流入端对应的同名端是互感电压与互感电流流入端对应的同名端是互感电压 的的“+”+”极性极性.3.3.确定互感电压的确定互感电压的“”号号 若互感电压的极性与端口电压的参考极性一若互感电压的极性与端口电压的参考极性一 致致,取取“+”+”号号;不一致取不一致取“”号号.77jwL1jwL2jwM12+1+22111IMjILjUjwL1jwL2jwM12+1+2jwL1jwL2jwM12+1+21222IMjILjU211IMjILjU1122
48、2IMjILjU2111IMjILjU2221Uj L Ij MIww 786.6.2 含耦合电感的电路分析一、受控源等效电路分析法一、受控源等效电路分析法 1、耦合电感的受控源等效电路耦合电感的受控源等效电路jw wL1 jw wL2jw wM+1U2U1I2I2111UjL IjM Iw ww w1222UjL IjM Iw ww w1j M Iw w+2IMj+jw wL1+1U1I jw wL2+2U2I79例例 请作出受控源等效电路请作出受控源等效电路jw wL1 jw wL2jw wM+1U2U1I2I1IMjw+2IMjw +jw wL1+1U1I jw wL2+2U2I802、
49、耦合电感的串联等效、耦合电感的串联等效 两种串联方式：两种串联方式：(1)反串反串 结构结构L1 L2ML1 L2M 等效电路等效电路L1+L1-2ML81等效电路的证明：等效电路的证明：L1 L2M+u +1u2u+i1212()(2)dididididiu tLMLMLLMdtdtdtdtdt L1 L2+u +1u2u+dtdiMdtdiMi L1+L1-2ML82(2)顺串顺串结构结构L1 L2 ML1 L2 M等效电路等效电路L=L1+L1+2M83二、去耦等效分析法二、去耦等效分析法 只适合只适合 T 型联接形式。型联接形式。L1 L2M(1)同名端相联的去耦等效电路同名端相联的去
50、耦等效电路L1ML2MM ML1 L2L1 L2M84(2)异名端相联的等效电路异名端相联的等效电路L1+ML2+M M ML1 L2电路连接方式：电路连接方式：等效电路结构与参数：等效电路结构与参数：85例例 电路如图电路如图(a)所示。已知所示。已知 us(t)=2cos(2t+45o)V，L1=L2=1.5H，M=0.5H，负载电阻，负载电阻RL=1，求，求 RL的平均功率的平均功率PL。L1L2MRL+us 0.25 F(a)0245 V2sU(b)j2 RL=1+j2 j j2 s解：解：去耦等效，相量电路如图去耦等效，相量电路如图(b)所示。所示。86012245(1)2jIjI1
