1、上外附属大境中学上外附属大境中学 赵玉梅赵玉梅 2012年年7月月3日日故事之一：石匠的目标有个人经过一个建筑工地，问那里的建筑工人们在做什么？有个人经过一个建筑工地，问那里的建筑工人们在做什么？三个工人有三个不同的回答。三个工人有三个不同的回答。第一个工人回答：第一个工人回答：我正在砌一堵墙。我正在砌一堵墙。第二个工人回答：第二个工人回答：我正在盖一座大楼。我正在盖一座大楼。第三个工人回答：第三个工人回答：我正在建造一座城市。我正在建造一座城市。十年以后，第一个工人还在砌墙，第二个工人成了建筑工十年以后，第一个工人还在砌墙，第二个工人成了建筑工地的管理者，第三个工人则成了这个城市的领导者。地
2、的管理者，第三个工人则成了这个城市的领导者。心灵启示：思想有多远，我们就能走多远。心灵启示：思想有多远，我们就能走多远。故事之二：笨鸟在一间无人居住的房子的窗户外，一只不知名的鸟总是每日准在一间无人居住的房子的窗户外，一只不知名的鸟总是每日准时光顾，它站在窗台上，不停地用头撞击玻璃，然后总被撞时光顾，它站在窗台上，不停地用头撞击玻璃，然后总被撞得落回窗台，但它坚持不懈，每日总要撞十来分钟，尔后又得落回窗台，但它坚持不懈，每日总要撞十来分钟，尔后又跌回窗台，随即离开。跌回窗台，随即离开。人们好奇心大发，纷纷猜测它大概是为了进那间房；但是就在人们好奇心大发，纷纷猜测它大概是为了进那间房；但是就在这
3、鸟儿站立的窗台旁边，另外一扇窗户是打开的，于是得出这鸟儿站立的窗台旁边，另外一扇窗户是打开的，于是得出结论：这是只大笨鸟。结论：这是只大笨鸟。故事之二：笨鸟直到有一天，好事者带来望远镜，一切才真相大白：窗玻璃上直到有一天，好事者带来望远镜，一切才真相大白：窗玻璃上粘满了小飞萤的尸体，鸟儿吃得不亦乐乎。粘满了小飞萤的尸体，鸟儿吃得不亦乐乎。心灵启示：人们总喜欢将自己的思维方式强加于别人，而且自心灵启示：人们总喜欢将自己的思维方式强加于别人，而且自以为是。不要以为我们看不见的东西就不存在。以为是。不要以为我们看不见的东西就不存在。我们对学习的理解何尝不如此我们对学习的理解何尝不如此？何谓理解辞海对
4、理解的定义是“了解、领会”。现代汉语词典的解释是“懂，了解”维基百科自由的百科全书理解理解（Understanding），又称为领会领会、了解了解、懂得懂得、思维作用思维作用（intellection），是指一种心理过程，与诸如人、情形或讯息之类的某种抽象的或有形的对象相关，籍此一个人能够对其加以思考，并且运用概念对该对象加以适当的处理。理解乃是概念表达（又称为概念化概念化）的界线。互动百科 理解就是因每个人的大脑对事物分析决定的。一种对事物本质的认识，就是通常所说的知其然，又知其所以然。一般也称了解或领会。理解与概念和问题都有密切关系，有时是互相重叠的。行为主义把学习解释为刺激与反应之间的联
5、结，认为学习过程是一种试误过程，在不断的尝试与错误中逐渐形成联结 现代认知心理学认为理解的实质是学习者以信息的传输、编码为基础，根据已有信息建构内部的心理表征、并进而获得心理意义的过程 理解是一种多维度的、复杂的东西。数学理解数学理解的界定Hiebert 和Carpenter认为：“一个数学的概念或方法或事实被理解了，如果它成为个人内部网络的一个部分”李士锜认为：“学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，那么才说明是理解了”数学理解的本质（1）对数学概念、规则或方法的理解，指个体建立了关于这些观念的内部网络（2）数学理解的水
6、平具有层次性，个体的差异往往表现为理解水平的差异（3）数学理解是一个动态过程，是认知结构的建构和知识意义的建构过程 数学理解的意义数学理解的意义从理论研究的角度看，理解与数学理解的研究意义体从理论研究的角度看，理解与数学理解的研究意义体现在它的广阔包容性和相对独立性现在它的广阔包容性和相对独立性 从个体发展的角度看，知识的理解有助于完善个体大从个体发展的角度看，知识的理解有助于完善个体大脑内部的知识结构网络，从而推动记忆，进而又更脑内部的知识结构网络，从而推动记忆，进而又更易于同化与理解新知识、新信息，形成一个良性学易于同化与理解新知识、新信息，形成一个良性学习过程。同时，知识只有被深刻理解了
7、，才具有迁习过程。同时，知识只有被深刻理解了，才具有迁移与应用的活性，这种迁移能力对个体未来发展是移与应用的活性，这种迁移能力对个体未来发展是十分重要的。十分重要的。数学理解的意义数学理解的意义从社会需求的角度看，信息化社会和知识经济从社会需求的角度看，信息化社会和知识经济社会所需要的是那种能不断学习新知识、新社会所需要的是那种能不断学习新知识、新技能，能应用自己的已有知识去解决新问题技能，能应用自己的已有知识去解决新问题的创新人才。的创新人才。沃特海梅尔的研究沃特海梅尔的研究:让两组学生对平行四边行面让两组学生对平行四边行面积公式分别展开理解法学习和死记法学习。积公式分别展开理解法学习和死记
8、法学习。数学理解的层次数学理解的层次正向理解正向理解 变式理解变式理解 反省理解反省理解 促进学生数学理解的路径促进学生数学理解的路径对数学概念的理解对数学概念的理解对数学公式的理解对数学公式的理解 对数学定理的理解对数学定理的理解 对数学问题的理解对数学问题的理解 对数学概念的理解对数学概念的理解学习一个概念取决于对它的理解，而理解的含义是对概念本质的把握。下面从5个例子看概念理解自然数自然数整数整数有理数有理数实数实数？NZQR举例举例1：揭示概念的背景：揭示概念的背景在新旧联系中理解复在新旧联系中理解复数数对于一元二次方程对于一元二次方程 没有实数根没有实数根012 x12 x12 ii
9、 （1）；（2）i 形如形如a+bi(a,bR)的数叫做复数的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做全体复数所形成的集合叫做，一般用字母一般用字母 表示表示.卡盟 卡盟 Microsoft Office PowerPoint，是微软公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召开面对面会议、远程会议或在网上给观众展示演示文稿。Microsoft Office PowerPoint做出来的东西叫演示文稿，其格式后缀名为：ppt
10、、pptx；或者也可以保存为：pdf、图片格式等通常用字母通常用字母 表示，即表示，即 biaz ),(RbRa 其中其中 称为称为虚数单位虚数单位。i000000bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数000000bababb，非纯虚数，纯虚数虚数实数CR 复数集，虚数集，实数复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关集，纯虚数集之间的关系？系？思考？思考？复数集复数集虚数集虚数集实数集实数集纯虚数集举例举例2：要理解概念的实质：要理解概念的实质对频对频率与概率的理解率与概率的理解随机事件A出现的概率等于事件A所包含的基本事件数除以试验中所有的基本事件数 对于随机事件E，如果在次试验中出现了次（
11、），那么 称为事件E出现的频数，称为事件E出现的频率。m0mnmmn挖掘定义的内涵（1）“频率的稳定值就是概率的估计值频率的稳定值就是概率的估计值”吗？吗？（2）“随着试验次数的增加，频率就越来越接近于随着试验次数的增加，频率就越来越接近于 概率概率”吗？吗？（3）“用频率估计概率，一定要大量重复试验用频率估计概率，一定要大量重复试验”吗？吗？（4）“必然事件与概率为必然事件与概率为1等价，不可能事件与概率等价，不可能事件与概率为为0等价，随机事件的概率大于等价，随机事件的概率大于0而小于而小于1”吗？吗？频率与概率频率是随机的概率是一个客观存在的常数举例举例3：对抽象概念的理解要层层深：对抽
12、象概念的理解要层层深入入“曲线与方程曲线与方程”概念的理解概念的理解一般地，如果曲线C和方程之间有以下两个关系：曲线C上点的坐标都是方程 解；以方程 的解为坐标的点都是曲线C上的点，此时，把方程叫做曲线C的方程（the equation of a curve C），曲线C叫做方程的曲线。(,)0F x y(,)0F x y 曲线与方程曲线与方程1对曲线与方程概念本质的第一层认识对曲线与方程概念本质的第一层认识2对曲线与方程概念本质的第二层认识对曲线与方程概念本质的第二层认识3对曲线与方程概念本质的第三层认识对曲线与方程概念本质的第三层认识4.强化对强化对“曲线的方程与方程的曲线曲线的方程与方程
13、的曲线”两个概两个概念的理解念的理解 曲线与方程概念理解曲线与方程概念理解练习练习1（1）到两坐标轴距离相等的的点的轨迹的方）到两坐标轴距离相等的的点的轨迹的方程是程是 吗？为什么？（2）以y轴为对称轴的等腰三角形的底边的方程是x=0吗？为什么？0 xy练习练习2(1)写出表示下列图形(实线部分)的方程：作下列方程所表示的图形：1(02)yxx 21yx举例举例4：预设好问题串，深化理解核：预设好问题串，深化理解核心概念心概念函数概念的理解函数概念的理解问题1：下列解析式能表示函数吗?(1)(2)(3)1 y)0(xxyxxy 13-问题2：下列图像能作为函数图像的是那些？xyOxyOxyOA
14、BCDxyO预设好问题串，深化理解核心概念预设好问题串，深化理解核心概念函数概念的理解函数概念的理解问题3：函数都有解析式吗？问题4：函数都能画出图像吗？函数的表示方法函数的表示方法 1 主要方法：解析法（公式法）、列表法和图象法。2 可用“特殊方法”来表示的函数。（1）分段函数）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。例如1,0sgn0,01,0 xxxx，（符号函数）（借助于Sgnx可表示()|,fxx即()|sgnf xxxx）。（2)符号函数 例如 （3)取整函数 010001xxxy xy（4）用语言叙述的函数用语言叙述的函数。（注意；以下函数不是分段函数）例 ）yx（取整函
15、数）1,()0,xD xx当 为有理数,当 为无理数,（irichlet）1,(,()0,0,1(0,1)ppxp qNqqqR xx当为假分数),当和内的无理数.（Riemman函数）举例举例5：巧设问题，适时追问，展示概念的形：巧设问题，适时追问，展示概念的形成过程成过程对三角比定义的理解对三角比定义的理解第一步：引入问题：任意画一个锐角，能否根据锐角三角比的定义，借助三角板求出的近似值？追问1：有更好的构造法能使计算更简便吗？追问2：哪条边画成单位长方便呢？追问3：还有其它三角比吗？有几个？追问4：中角 有限制范围吗？sin第二步：从锐角到任意角的推广从锐角到任意角的推广追问1：引进直角
16、坐标系的作用？追问2：能否使定义的形式比较简单？追问3：通过类比，能否借助坐标来定义任意角的正弦值呢？追问4：类似地，在直角坐标系中，其他的三角比又该如何定义呢？第三步：对概念获得的第三步：对概念获得的“精致精致”过程，过程，也是思维深刻性和批判性的发展要求也是思维深刻性和批判性的发展要求展示概念背景，培养思维的主动性创设求知情境，培养思维的敏捷性精确表述概念，培养思维的准确性解剖新概念，培养思维的缜密性分析错解成因，培养思维的批判性对数学公式的理解对数学公式的理解注重注重三用，即正着用、变着用、逆着用三用，即正着用、变着用、逆着用 正用：就是指公式左边符合两项和两项差的乘积条件正用：就是指公
17、式左边符合两项和两项差的乘积条件就可直接应用，得出简洁的结果就可直接应用，得出简洁的结果变用：是指将暂时不能直接利用公式的变形后再利用变用：是指将暂时不能直接利用公式的变形后再利用公式例如：公式例如：逆用：是指将公式的条件和结论互换后的利用公式逆用：是指将公式的条件和结论互换后的利用公式是一个恒等式（在一定条件下），左右两边互换后是一个恒等式（在一定条件下），左右两边互换后仍然成立平方差公式：仍然成立平方差公式：()()abc abc22()()ab abab对数学公式的理解对数学公式的理解平方差公式平方差公式1、归纳2、应用3、深化举例：两角和与差的正弦、余弦和正切举例：两角和与差的正弦、余
18、弦和正切对数学公式的理解对数学公式的理解体会公式体会公式的内在联系的内在联系sin()cos()（其中R,）tan()（其中2k2k)(2zkk）（其中R,）sincoscossincoscossinsintantan1tantansin()sincoscossincos()coscossinsintan()tantan1tantan （其中2k2k)(2zkk）逆用公式：化简下列各式2sin67.5 cos67.522cossin88 22cos11222tan22.51tan 22.5对数学定理的理解对数学定理的理解 正向理解正向理解：正确区分定理的条件和结论，并能直接利用数学定理 变式理
19、解变式理解：能直接创造定理成立的条件来利用定理解决问题反省理解：反省理解：能够解决条件开放或结论开放的开放题，提高学生的反省理解 对数学问题的理解对数学问题的理解（1）设计问题有梯度，循序渐进，层层深）设计问题有梯度，循序渐进，层层深入入课例课例1与圆锥曲线定义有关的轨迹问题与圆锥曲线定义有关的轨迹问题 执教：高二执教：高二(1)(1)班班201220124 42424复习复习1、若、若F(2,0)且且|MF|=1，则点，则点M的轨迹是什么？的轨迹是什么？2、若、若MAB的一边的一边AB的长为的长为6，周长为，周长为16，则，则顶点顶点M的轨迹是什么？的轨迹是什么？3、若线段、若线段AB的长为
20、的长为6，M为为AB外一点，且外一点，且|MA|-|MB|=4，则点，则点M的轨迹是什么？的轨迹是什么？4、若点、若点F(1,0)，直线，直线l：x=-1，则过点，则过点F且与直且与直线线l相切的圆的圆心的轨迹是什么？相切的圆的圆心的轨迹是什么？探求探求问题一：问题一：已知动圆已知动圆P与圆和圆与圆和圆 都外切，求动圆圆心都外切，求动圆圆心P的轨迹的轨迹方程方程.221:(5)49Cxy222:(5)1CxyPyxOC1 1C2 2问题一：问题一：已知动圆已知动圆P与圆和圆与圆和圆 都外切，求动圆圆心都外切，求动圆圆心P的轨的轨迹方程迹方程.221:(5)49Cxy222:(5)1CxyP（1
21、）在问题一中，若动圆）在问题一中，若动圆P与圆与圆C2内切，内切，与圆与圆C1外切，则动圆圆心外切，则动圆圆心P的轨迹方程是的轨迹方程是什么？什么？拓展拓展PyxOC1 1C2 2yxOC1 1C2 2（2）在问题一中，若动圆）在问题一中，若动圆P与圆与圆C1内切，与圆内切，与圆C2外切，则动圆圆心外切，则动圆圆心P的的轨迹方程是什么？轨迹方程是什么？PyxOC1 1C2 2（3）在问题一中，若把圆）在问题一中，若把圆C1的半径改为的半径改为1，那么动圆圆心，那么动圆圆心P的轨迹又是什么？的轨迹又是什么？（4）上述的结论是否具有一般性？）上述的结论是否具有一般性？探求探求问题二：问题二：F1、
22、F2是椭圆的两个焦点，是椭圆的两个焦点，O是椭圆的中心，点是椭圆的中心，点P是椭圆上不在长轴上的任是椭圆上不在长轴上的任意一点，从右焦点意一点，从右焦点F2引引F1 PF2的外角平分线的外角平分线的垂线，求垂足的垂线，求垂足M的轨迹方程的轨迹方程.2214xyyxOF1 1F2 2PMQ问题二：问题二：F1、F2是椭圆的是椭圆的两个焦点，两个焦点，O是椭圆的中心，点是椭圆的中心，点P是椭圆上不在长轴上的任意一点，是椭圆上不在长轴上的任意一点，从右焦点从右焦点F2引引F1 PF2的外角平分的外角平分线的垂线，求垂足线的垂线，求垂足M的轨迹方程的轨迹方程.2214xy练习练习练习练习1：已知已知F
23、1、F2是双曲线是双曲线 的两个焦点，的两个焦点，O是双曲线的中心，点是双曲线的中心，点P是是双曲线上不在实轴上的任双曲线上不在实轴上的任意一点，从任一焦点引意一点，从任一焦点引F1PF2的角平分线的垂的角平分线的垂线，求垂足线，求垂足M的轨迹方程的轨迹方程.22221xyabyxOF1 1F2 2PMQ练习练习2：已知一个椭圆过点已知一个椭圆过点A（-7,0）、）、B（7,0），），一焦点一焦点坐标为坐标为C（2,-12），），求另一焦点求另一焦点P的轨迹方程的轨迹方程.练习练习yxOABC问题三：问题三：动点动点M（x，y）到定点到定点F（3 3，0 0）的距离的距离比它到比它到 y 轴的
24、距离大轴的距离大3 3，求动点，求动点M（x，y）的的轨迹方程轨迹方程.探求探求yxOFM练习练习1：动点动点M（x，y）到定点到定点F（3 3，0 0）的距离的距离比它到比它到 y 轴的距离大轴的距离大1 1，求动点，求动点M（x，y）的的轨迹方程轨迹方程.练习练习练习练习2：动点动点M（x，y）到定点到定点F（3 3，0 0）的距离的距离比它到比它到 y 轴的距离大轴的距离大5 5，求动点，求动点M（x，y）的的轨迹方程轨迹方程.对数学问题的理解对数学问题的理解（2）引导学生学会提出问题，引发思考，促）引导学生学会提出问题，引发思考，促进理解进理解课例课例2：运用数形结合思想方法研究方程：
25、运用数形结合思想方法研究方程根问题根问题 讨论问题1、讨论关于 的方程 在下列情况下实数解的个数.（1）在 上；（2）在 上；(3)在 上.2210 xxm xR(,0)(2,1)讨论问题22221 log02 log|0|log|0 xxmxmxm、讨论下列关于 的方程的实数解的个数.（）.（）.(3).讨论问题6105xxa3、讨论关于 的方程实数解的个数.试一试请你设计一个方程问题.（1）含有参数；（2）与判断方程解的个数有关.2221log2log301 8.xxxaa问题：关于 的方程在，上有且只有一个实数解，求实数 的取值范围研究问题（来自学生）问题2（来自学生）|1xxkxk已知
26、关于 的方程有且仅有一个解，求实数 的取值范围.问题3（来自学生）10|1ax研究问题|lg|1|(1)(),0(1)()03.xxf xxxf xcc已知函数关于 的方程有 个实数解,求实数 的取值范围问题变式2|lg|1|(1)(),0(1)()()0.xxf xxxfxbf xcc已知函数关于 的方程有7个实数解,求实数b,满足的条件问题拓展2|lg|1|(1)(),0(1)()()0 xxf xxxfxbf xc已知函数探求关于 的方程可以有几个实数解？提高学生数学理解水平的途径提高学生数学理解水平的途径1促进合作交流促进合作交流2变式练习变式练习 3指导学生进行自我提问指导学生进行自
27、我提问 4进行分层教学进行分层教学 5引导学生进行积极反思引导学生进行积极反思 提高学生数学理解水平的途径提高学生数学理解水平的途径5引导学生进行积极反思引导学生进行积极反思（1）反思解题过程的合理性举例：若已知圆 关于直线 对称，求参数 的值 2220 xyk xykyxk引导学生进行积极反思引导学生进行积极反思（2）反思解题思路的严密性（3）反思解题方法的灵活性（4）反思所解问题的统一性（5）反思所解问题的深刻性（6）反思所解问题的发散性提高学生数学理解水平的途径提高学生数学理解水平的途径0,3)举例：对不等式分别求满足下列条件的实数的取值范围。不等式的解集为 ；不等式在 上有解；不等式在 上恒成立；不等式的解集总是区间 上的子集。(1)0 xaxa0,3)0,3)0,3)懒于思索，不愿意钻研和深入理解，自满或满足于微不足道的知识，都是智力贫乏的原因。这种贫乏通常用一个字来称呼，这就是“愚蠢”。高尔基当教师把每一个学生都理解为他是一个具有个人特点的、具有自己的志向、自己的智慧和性格结构的人的时候，这样的理解才能有助于教师去热爱儿童和尊重儿童。赞科夫
