1、第三章 晶体结构*如何描述*如何测定作业：1.说明晶体结构、基元和晶格（布拉菲格子、点阵）的定义和 相互关系。2.说明基矢、格矢、格点、元胞、晶胞的定义。3.说明简单格子和复式格子的定义和区别。4.说明七大晶系和十四种布拉菲格子（晶格）的定义。晶系和晶格的划分标准有何不同，举例说明两者关系如何。5.详细描述金刚石结构和岩盐结构。9.立方晶系有几种布拉菲格子、点群和空间群？第三章 晶体结构 11 晶体的宏观特性1.均一性从宏观理化性质的角度来讲 (周期性从原子排列的角度来讲）；2.对称性；3.各向异性和解理性。例如，云母的解理性；4.自范性和晶面角守恒 自范性：晶体能自发地形成封闭的几 何多面形
2、。晶面角守恒定律：同一品种的晶体，任 两个对应晶面的夹角不变。5.最小自由能和稳定性。6.有固定的熔点。NaCl晶体的若干外形12 晶体的微观结构周期性又称平移对称性，晶体的根本特征（主要矛盾）。1空间点阵（布拉菲格子）空间点阵（布拉菲格子）基元基元组成晶体的最小结构单元。把基元抽象成为一点，则晶体抽象成为空间点阵。晶体结构基元基元空间点阵布拉菲格子布拉菲格子：把空间点阵用三组不共面的 平行线连起来，形成的空间网格。此时，又把阵点称为格点格点。布拉菲格子（布拉菲格子（B B格子）空间点阵格子）空间点阵说说 明明1.基元中A、B可以是不同的原子，或相同的原子，但周围“环境”不同。2.每个基元用一
3、个格点来表示。此格点选在基元的什么地方、代表几个原子并未限制。3.每个基元内所含的原子数晶体中原子的种类数。4.布拉菲格子（B格子）的基本特征：各格点的情况（基元内涵和周围“环境”）完全相同。5.晶体结构的一种描述：带基元的B格子。另一种描述：单式格子：晶体由一种原子组成。一个基元仅有一个原子，即一个原子由一个格点表示。复式格子：晶体由几种原子组成，但各种 原子在晶体中的排列方式都是 相同的（均为B格子的排列），可以说每一种原子都形成一套 布拉菲子格子，整个晶体可以 看成是若干排列完全相同的子 格子套构而成。复式格子晶体结构复式格子晶体结构复式格子复式格子BB格子格子例：晶体结构 A B 一种
4、描述：基元 B格子另一种描述：A子格子 B子格子二、元胞1.初基元胞和基矢 初基元胞初基元胞：B格子中的最小重复区域。每个初级元胞只包含一个格点。基矢基矢：在B格子中任取一个格点为原点，初级元胞的三个棱边为三个矢量a1、a2、a3,其模分别为该方向的最小周 期长度，这三个矢量a1、a2、a3称为 基矢基矢。基矢选定之后，B格子中的任一格点的位矢 Rn=n1a1+n2a2+n3a3 Rn称为格矢，是B格子的数学表示。说明：说明：1.基矢的选法并不唯一确定，（初基元胞内仅含一个格点）。2.威格纳赛兹元胞（WS元胞，对称元胞）作法：（1）任选一格点为原点；（2）将原点与各级近邻的格点连线，得 到几组
5、格矢；（3）作这几组格矢的中垂面，这些中垂 面绕原点围成的最小区域称WS 元胞。（请看模型、动画GT010）引入WS元胞的原因优点优点：（1）WS元胞本身保持了B格子的对称性；（2）该取法今后要用到。缺点缺点：（1）WS元胞的体积等计算不方便；（2）平移对称性反而不直观。3.惯用元胞和轴矢惯用元胞惯用元胞：体积是初基元胞的几倍，能明 显地反映晶格的周期性，又能 明显地反映晶格的对称性。轴矢轴矢：惯用元胞的三个不共面的棱边，分 别用a、b、c表示。13 常见晶体结构举例1.面心立方（fcc)-Cu 配位数12，惯用元胞包含格点数42.体心立方（bcc)-w3.金刚石结构 惯用元胞包含原子数2x4
6、=8 配位数44.闪锌矿结构（立方ZnS结构）与金刚石结构相同，区别是基元内含2个原子为不同的元素。5.氯化铯（CsCl)结构 Cs，Cl离子分别为简立方（SC）子格子，二子格子体心套构。6.NaCl结构 Na,Cl分别为fcc子格子，沿立方边位移a/2套构而成。注 意 不同晶体结构的Cu.NaCl,金刚石结构，闪锌矿结构等，它们的格子均为fcc。所以，格子的种类数大大少于晶体结构的种类数。7.六方密排结构（h c p)-Mg(模型)惯用元胞是以正六边形为底的直角棱柱。晶格常数是正六边形的边长a和柱高c.密堆积密堆积：如果晶体由全同的一种粒子组成，而粒子被看成是小圆球，这些小圆球最紧密的堆积状
7、态。此时它有最大的配位数12。有最大配位数12的排列方式称为密堆积。hcp基元内原子数2 惯用元胞体积是初基元胞体积的3倍。2.3 Stacking of close-packed planes and packing fraction FCCHCPClose packed structure hcp的排列方式为AB,AB,密排面垂直于棱柱高c轴。fcc的排列方式为ABC,ABC,密排面垂直于体对角线。（GT003，模型）hcp和fcc均为配位数为12的密堆积，可能给我们什么启示？8.纤维锌矿结构（六角硫化锌结构）两个hcp套构而成。例如，ZnO,ZnS。（模型）9.钙钛矿结构 例如，BaTi
8、O3,SrTiO3 O,O,O的周围“环境”不同，钙钛矿结构由五个SC子格子套构而成。作业1.六角密积属何种晶系?一个晶胞包含几个原子?2.体心立方元素晶体,111方向上的结晶学周期为多大?实际周期为多大?3.面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大?该晶列在哪些晶面内?4.晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基矢a1、a2、a3 重合，除O点外,OA、OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？5.晶体中有哪几种密堆积，密堆积的配位数是多少？6.晶向指数，晶面指数是如何定义的？5.晶体中有哪几种密堆积，密堆积的配位数是多少？6.晶向
9、指数，晶面指数是如何定义的？1.6 倒格子与布里渊区倒格子与布里渊区一.倒格子基矢倒格子基矢(Reciprocal Lattice Vector)正格子:正格子基矢:倒格子:倒格子基矢:332211anananR321,aaa332211bhbhbhK321,bbb321213321132321321222aaaaabaaaaabaaaaab倒格子基矢的定义倒格子基矢的定义倒格子基矢的特征倒格子基矢的特征*每个每个倒格子基矢都与两个正倒格子基矢正交倒格子基矢都与两个正倒格子基矢正交*倒格子基矢与正格子基矢的量纲不同倒格子基矢与正格子基矢的量纲不同,互为倒数互为倒数.ijjiab20,1,iji
10、jjiji)(:)(:1mamb 注意:正倒格矢的量纲不同，属不同的空间，可有方向上的关系，不能直接比较大小。*正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于 (2)3 n*正格子与倒格子互为对方的倒格子243例如:b1 在a2a3所确定的方向上（或反方向上）b1c(a2a3)c为待定系数 则，a1b1ca1(a2a3)c (A)其中为正格子初基元胞体积，同时，由定义 a1b12 （B）比较（A）,（B）式得 b1 （a2a3）类似可得 b2 （a3a1）b3 (a1a2)22c22有了倒格子基矢，即可构成倒格子倒格子(倒易点阵倒易点阵):其中v1 v2 v3为任意整数 由倒格矢Gh确定的空间叫倒格子空间
11、倒格子空间。332211bvbvbvG倒格子的作用 G与波矢K有相同的量钢。属同一“空间”,可以把G认为是K空间的特定矢量。在处理波在周期格子中的传播问题时极为重要.*每个晶体结构都有两套晶格与之联系:正晶格(正格子)倒晶格(倒格子)转动晶体时,既转动了正格子,也转动了倒格子*晶体的衍射图样就是晶体倒格子的映像,而显微图像是晶体结构在实空间的真实映像,两者截然不同,然而又紧密联系.倒格子初基元胞体积b1(b2b3)正格子初基元胞体积Va1(a2a3)思考题：思考题：对二维格子，已知正格基矢a1、a2,如何确定b1、b2的方向？强调强调：这里定义的倒格矢，所对应的正格矢是在基矢坐标系中的。2倒格
12、子的重要性质（正倒格倒格子的重要性质（正倒格子间的关系）子间的关系）(1).若h1、h2、h3为互质整数，则Ghh1b1h2b2h3b3为该方向的最短倒格矢。(2).正、倒格子互为倒格子。(3).Gh h1b1h2b2h3b3垂直于晶面族 （h1、h2、h3）（两个h1、h2、h3分别相等）。证：晶面族（h1、h2、h3）中的一个晶面在a1、a2、a3上的截距为x,y,z,由面指数的定义:（h1、h2、h3）m(1/x、1/y、1/z)即 h1xh2yh3zm （m为公因子）（A）在该晶面上作二非平行矢量（如图）uxa1ya2 vya2za3 则 uGh(xa1ya2)(h1b1h2b2h3b
13、3)由倒基矢定义 2（h1xh2y）由（A）式 2(mm)0即 UGh 同理可证Gh Gh与（h1、h2、h3）面内二条非平行直线均垂直,所以G Gh h垂直于（h1、h2、h3）晶面族。(4)某方向最短倒格矢 Ghh1b1h2b2h3b3 之模 和晶面族（h1、h2、h3）的 面间距dh成反比。hhGd2 设:ABC为晶面族(h1h2h3)(h1,h2,h3为互质整数)中离原点最近的晶面。ABC面与a1,a2,a3轴的截距矢量分别为a1/,a2/h2,a3/h3,请同学自证:h1=,h2=h2,h3=h3该晶面族的法向矢为倒格矢G(h1h2h3),其中最短倒格矢Ghh1b1h2b2h3b3(
14、h1,h2,h3为互质整数)。晶面间距即为a1/h1,a2/h2,a3/h3,在法向的投影 d h1h2h3=hGbhbhbha33221111h hG2hhGGha11（5）倒格矢Gh和正格矢Rn的 标积是2的整数倍 GhRn2m问题：若Gh，Rn分别为正、倒格矢，上式成立。反之，若上式成立，若已知一个为正格矢，则另一个必为倒格矢吗？(p36*)证：Gn x晶面族(h1h2h3)中离原点距离为mdh的晶面方程为：其中x为晶面上的任意位矢，并不一定是格为晶面上的任意位矢，并不一定是格矢。hhhmdGGx （6）正、倒格子初基元胞体积间满足（2）3由性质（4）hhGd2hhhmddGx2hhGG
15、x所以，mGx2故上反定理不成立。(7)晶体的傅立叶变换 设函数V(x)具有正晶格周期性，它可以作付里叶级数展开：n是整数nxiGnneGV)(nnxaienVxV2)()(V(Gn)是V(x)在倒空间的“映像和表述”，它们之间满足傅立叶变换的关系。所以可以说，一个具有正格子周期性的物理量，在正格子中的表述与在倒格子中的表述之间满足傅立叶变换的关系。dxexVaGVxiGann0)(1)(二布里渊区（二布里渊区（B.Z）GT010 定义定义：任选一倒格点为原点，从原点向它的第一、第二、第三近邻倒格点画出倒格矢，并作这些倒格矢的中垂面，这些中垂面绕原点所围成的多面体称第一B.Z，它即为倒空间的W
16、S元胞，其“体积”为b1(b2b3)说明 n并不是原点仅仅到最近邻的倒格点的倒格矢的中垂面所围成的区域叫第一B.Z;n 第一B.Z又可表述为从原点出发，不与任何中垂面相交，所能达到的倒空间区域。第nB.Z则是从原点出发跨过（n1）个倒格矢中垂面所达到的区域；n 各级B.Z体积相等。布里渊区界面方程布里渊区界面方程 Gh K由晶面方程：当当x换为倒格矢中垂面上的任意波矢换为倒格矢中垂面上的任意波矢K时，得时，得到布里渊区界面方程到布里渊区界面方程hhhmdGGx2hhhGGGK简单晶格立方的倒格子kaaj aai aa321kabjabiab222321第一布里渊区?简单晶格立方的第一布里渊区边
17、长为2/a,体积为(2/a)3的立方体体心立方晶格的倒格子面心立方晶格体心立方晶格的第一布里渊区正菱形十二面体面心立方晶格的倒格子体心立方晶格面心立方晶格的第一布里渊区截角八面体作业 1.与晶列l1l2l3垂直的倒格面的面指数是 什么?2.证明正交晶系 21222clbkahdhkl2.1 x光晶体衍射光晶体衍射 一一.概述概述 入射x光子和晶体的核外电子相互作用。入射x光子使晶体中的电子产生强迫振动，进而发出次级球面波。X光子的波长和原子的尺寸相当，原子不同部位产生的散射光之间存在相位差。在观察点B接收到的X光是晶体中各处电子发出的散射波的几何叠加.2布拉格定律格点散射波的相长干涉条件)2(
18、sin2dnd二、散射波振幅1.傅里叶分析平移操作电子数密度332211auauauT)()(rnTrnX方向一维周期函数的傅里叶展开00)/2sin()/2cos()(pppapxSapxCnxn)()/2sin()/2cos()2/2sin()2/2cos()(00 xnapxSapxCnpapxSpapxCnaxnpppp)/2exp()(apxinxnpp)exp()(rGinrnGGapdxapxixnan01)/2exp()(一维一维三维三维dVrGirnVncellcG)exp()(12.G即为倒格矢1)exp()(2)exp()exp()(332211TGiuvuvuvTGTG
19、irGinTrnGG332211bvbvbvG332211auauauT3.衍射条件G决定可能的x射线反射散射振幅dVrkirndVrkkirnFexp)()(exp)(kkkkkkkkGkGGrkGinF)(expGk当GVnF 对于弹性散射2 2;kkkk02)(222GGkkGkkGkGk-G代替G22GGkndsin2hklhkldkGdb lbkbhG2sin222,2321nddhklsin2sin24.劳厄方程332211222vkavkavkan Ap使P点附近的电子(r,t)d强迫振动，向外辐射球面波，在观察点B处散射波为：C为与材料吸收有关的系数。当场点足够远时，Rr,|R
20、-r|R|。把Ap代入，并对整个晶体积分，得到B点总的散射波 若电荷分布与时间无关(r,t)(r)散射波中 0弹性散射 0非弹性散射设Skk0 称为散射矢量则散射强度（1）式中#（一）原子散射因子（一）原子散射因子 物理意义：物理意义：原子内所有电子散射波振幅的几何和原子内所有电子散射波振幅的几何和与与散射中心处一个电子散射振幅之比。散射中心处一个电子散射振幅之比。（二）几何结构因子（二）几何结构因子一个元胞内所有原子散射可表述为物理意义元胞内所有原子散射波振幅的几何和元胞内所有原子散射波振幅的几何和与与元胞散射中心处一个电子散射振幅之比。元胞散射中心处一个电子散射振幅之比。（三）总散射效果是
21、各元胞散射的几（三）总散射效果是各元胞散射的几 何和何和 三三 衍射极大的条件（必要条件）衍射极大的条件（必要条件）F是元胞散射波之间的相位因子 当SGh时 当 kk0SGh 时 所有元胞间的散射光均所有元胞间的散射光均满足相位相同的加强条满足相位相同的加强条件，产生衍射极大件，产生衍射极大 衍射三角形（倒空间衍射方程）n请从该衍射三角形n推出正空间衍射方程n布拉格公式2dsin=n作业1.用X光衍射对Al作结构分析时，测得从(111)面反射的波长为1.54,反射角为=19.20,求面间距d111。1.试说明：1劳厄方程与布拉格公式是一致的；2劳厄方程亦是布里渊区界面方程；布里渊区边界包括了所
22、有能发生布拉格反射的波矢K22GGk22121GGk上式两边同除以422121GGk决定散射的诸因素决定散射的诸因素1)原子的散射；2)元胞内不同原子间散射波的干涉；3)元胞间散射波的干涉.N个晶胞晶体的散射振幅2.4 结构基元的傅里叶分析cellGGNSdVrGirnNF)exp()()()(1sjjjrrnrndVrGirnrGidVrGirrnSjjjjjG)exp()()(exp)exp()(结构因子结构因子单个晶胞体积内的积分 原子形状因子原子形状因子 遍及整个空间的积分遍及整个空间的积分dVrGirnfjj)exp()(321321)exp(b lbkbhGazayaxrrGifS
23、jjjjjjjG)(2)()(321321jjjjjjjlykyhxazayaxb lbkbhrG)(2exp)(jjjjjhklGlzkyhxifS结构因子结构因子对晶胞内基元的原子求和对晶胞内基元的原子求和)(2exp)(jjjjjhklGlzkyhxifS 结构因子的物理意义结构因子的物理意义 晶胞内所有原子散射波振幅的晶胞内所有原子散射波振幅的加和与元胞散射中心处一个电加和与元胞散射中心处一个电子散射振幅之比。子散射振幅之比。消光条件消光条件体心立方晶格的结构因子基元包含2个全同原子原子1:(0,0,0)原子2:(1/2,1/2,1/2,)h+k+l=奇数 S=0h+k+l=偶数 S=
24、2f)(exp1lkhifShkl(100)(300)(111)(221)缺级(200)(110)(222)(113)存在基元包含4个格点格点1 (0,0,0)格点2 (0,1/2,1/2)格点3 (1/2,0,1/2)格点4 (1/2,1/2,0)面心立方晶格的结构因子)(exp)(exp)(exp1)(khilhilkifShklhkl全为偶数或全为奇数S=4fhkl中只有一个偶数或只有一个奇数S=0原子形状因子一个原子中实际电子分布所散射的振幅与被局限在一个点上的电子所散射的振幅之比dVrGirnfjj)exp()(ZfjZ为原子中的电子数目原子形状因子的物理意义 原子内所有电子散射波振幅原子内所有电子散射波振幅的几何和与散射中心处一个电子的几何和与散射中心处一个电子散射振幅之比。散射振幅之比。作业1.原子散射因子是如何表示的，它的物理意义如何？2.几何结构因子是如何表示的，它的物理意义如何？与哪些元素有关？3.求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。
