1、吉林大学环境与资源学院吉林大学环境与资源学院水动力学的研究任务：水动力学的研究任务：研究液体各运动要素随时间和空间的变化情况；研究液体各运动要素随时间和空间的变化情况；建立这些运动要素之间的关系；建立这些运动要素之间的关系；解决工程实际问题。解决工程实际问题。液体的运动要素：表征液体运动的主要物理量，液体的运动要素：表征液体运动的主要物理量，包括流速、加速度、动水压强及液体密度等。包括流速、加速度、动水压强及液体密度等。吉林大学环境与吉林大学环境与资源学院资源学院1 1、拉格朗日法：单个液体质点、拉格朗日法：单个液体质点2 2、欧拉法：固定空间点、欧拉法：固定空间点一、描述液体运动的两种方法一
2、、描述液体运动的两种方法吉林大学环境与资源学院吉林大学环境与资源学院1 1、拉格朗日法、拉格朗日法 以研究单个液体质点的运动过以研究单个液体质点的运动过程作为基础，掌握其运动过程中运动要素的变化，程作为基础，掌握其运动过程中运动要素的变化，综合所有质点的运动，获得整个液体的运动规律。综合所有质点的运动，获得整个液体的运动规律。a a，b b，c c，t t 称为拉格朗日变数称为拉格朗日变数 (,)xx a b c t(,)yy a b c t(,)zz a b c txzyO M （a，b，c）（t0）（x，y，z）t（2-12-1）吉林大学环境与资源学院吉林大学环境与资源学院(,)(,)(,
3、)xx a b c tyy a b c tzz a b c t若给定若给定a a，b b，c c，t t为变数，即为为变数，即为某一质点的运动轨迹线方程。某一质点的运动轨迹线方程。若若t t为常数，初始坐标为常数，初始坐标a a，b b，c c为变为变数，方程表示的为同一时刻不同质数，方程表示的为同一时刻不同质点在空间的分布状态。点在空间的分布状态。吉林大学环境与资源学院吉林大学环境与资源学院液体质点在任意时刻的速度。液体质点在任意时刻的速度。液体质点在任意时刻的加速度。液体质点在任意时刻的加速度。ttcbaztzuttcbaytyuttcbaxtxuzyx),(),(),(222222),(
4、),(),(ttcbaztuattcbaytuattcbaxtuazzyyxx 吉林大学环境与资源学院吉林大学环境与资源学院用拉格朗日法描述液体运动，物理概念清楚，用拉格朗日法描述液体运动，物理概念清楚，简明易懂，但在求解实际问题时，会遇到许多简明易懂，但在求解实际问题时，会遇到许多数学上的困难。数学上的困难。吉林大学环境与资源学院吉林大学环境与资源学院欧拉法欧拉法以考察液体通过固定的空间位置的运动以考察液体通过固定的空间位置的运动情况作为基础，研究情况作为基础，研究运动要素运动要素随时间的变化情况，随时间的变化情况，综合所有空间位置上的运动情况，构成整个液体的综合所有空间位置上的运动情况，构
5、成整个液体的运动。运动。x x，y y，z z，t t 称为欧拉变数称为欧拉变数 (,)pp x y z t )()()(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx、速度场速度场被液体质点所占据的空间叫做流场。被液体质点所占据的空间叫做流场。xzyO M （x，y，z）t时刻压强场压强场吉林大学环境与资源学院吉林大学环境与资源学院 若令若令t t为常数，为常数，x x、y y、z z为变数为变数,则可求得在同一时刻，通过不则可求得在同一时刻，通过不同空间位置上的液体流速的分布情况同空间位置上的液体流速的分布情况(即流速场即流速场)。)()()(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyy
6、xx、若令上式中若令上式中x x、y y、z z为常数，为常数，t t为变数，即可求得在某一固为变数，即可求得在某一固定空间位置上液体在不同时刻通过该位置的流速变化情况。定空间位置上液体在不同时刻通过该位置的流速变化情况。xzyO M （x，y，z）t时刻吉林大学环境与资源学院吉林大学环境与资源学院加速度分量加速度分量zuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx 第一项为当地加速度，表示固定空间点上的液体速度随时第一项为当地加速度，表示固定空间点上的液体速度随时间的变化率，即因时间变化产生
7、的加速度。间的变化率，即因时间变化产生的加速度。后三项为迁移加速度，指在同一时刻，两个邻近的空间点后三项为迁移加速度，指在同一时刻，两个邻近的空间点间的流速差所引起的加速度。间的流速差所引起的加速度。例例3 31 1已知速度场为已知速度场为zxtuzytuyxtuzyx 222smusmusmuzyx/4.34.08.03/6.24.08.03/2.98.028.0232 试求试求t=3st=3s时，位于（时，位于（0.80.8，0.80.8，0.40.4）m m处质点的速度和加速度。处质点的速度和加速度。解：将解：将t=3s,x=0.8m,y=0.8m,z=0.4mt=3s,x=0.8m,y
8、=0.8m,z=0.4m代入速度场方程，代入速度场方程，质点的加速度质点的加速度2222222/55.26/8.6)1(4.312.91/8.114.3)1(6.21/6.2526.222.92smaaaasmzuuyuuxuutudtduasmzuuyuuxuutudtduasmzuuyuuxuutudtduazyxzzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx 拉格朗日法研究个别液体质点在不同时刻的运动情况，引出拉格朗日法研究个别液体质点在不同时刻的运动情况，引出了迹线的概念；了迹线的概念；欧拉法考察同一时刻液体质点在不同空间位置的运动情况引出欧拉法考察同一时刻液体质点在不同空间位
9、置的运动情况引出了流线的概念。了流线的概念。吉林大学环境与资源学院吉林大学环境与资源学院二、迹线与流线二、迹线与流线迹线：某一液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点迹线：某一液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点所连成的线称为迹线，即液体质点运动时所走过的轨迹线。所连成的线称为迹线，即液体质点运动时所走过的轨迹线。吉林大学环境与资源学院吉林大学环境与资源学院流线：是某一时刻在流场中绘出的光滑矢量曲线，在该曲线上所流线：是某一时刻在流场中绘出的光滑矢量曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。流线是假想的线。有各点的速度向量都与该曲线相切。流线是假想的线。流线的基本特性：流线
10、不能相交也不能是折线。流线的基本特性：流线不能相交也不能是折线。流线绘制方法如下：流线绘制方法如下：设在某时刻设在某时刻t t1 1流场中有一点流场中有一点A A1 1，该点的流速向量为该点的流速向量为u u1 1，在这个向，在这个向量上取与量上取与A A1 1 相距为相距为 的点的点A A2 2；在同一时刻，在同一时刻，A A2 2点的流速向量点的流速向量设为设为u u2 2，在向量，在向量u u2 2上取与上取与A A2 2点相点相距为距为 的点的点A A3 3；若该时刻若该时刻A A3 3点的流速向量为点的流速向量为u u3 3，在向量，在向量u u3 3上再取与上再取与A A3 3相距
11、为相距为 的点的点A A4 4，如此继续，可以得出一条折线如此继续，可以得出一条折线A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4，若让所取各点距离若让所取各点距离 趋近于零，则折线变成一条曲线，这条曲线就是趋近于零，则折线变成一条曲线，这条曲线就是t t1 1时刻通过空间点时刻通过空间点A A1 1的一条流线的一条流线.2s 1s 3s s吉林大学环境与资源学院吉林大学环境与资源学院3-2 3-2 欧拉法的基本概念欧拉法的基本概念一、运动的分类一、运动的分类按运动要素是否随时间变化按运动要素是否随时间变化恒定流恒定流非恒定流非恒定流按运动要素随空间坐标的变化按运动要素随空间坐标的变化一元流
12、一元流二元流二元流三元流三元流按流线是否为彼此平行的直线按流线是否为彼此平行的直线均匀流均匀流非均匀流非均匀流渐变流渐变流急变流急变流按流动过程中是否承受压力按流动过程中是否承受压力有压流有压流无压流无压流1.1.恒定流和非恒定流恒定流和非恒定流 恒定流：在流场中，任何空间点上所有的运动要素都不随时间而改恒定流：在流场中，任何空间点上所有的运动要素都不随时间而改变。变。运动要素仅仅是空间坐标的连续函数，而与时间无关。运动要素仅仅是空间坐标的连续函数，而与时间无关。恒定流流场方程为恒定流流场方程为),(),(zyxppzyxuu 恒定流时，液体当地加速度等于零，只有迁移加速度。恒定流时，液体当地
13、加速度等于零，只有迁移加速度。恒定流时，所有的运动要素对于时间的偏导数应等于零：恒定流时，所有的运动要素对于时间的偏导数应等于零：00tptututuzyx水库水库t t0 0时刻时刻t t1 1时刻时刻水库水库非恒定流：流场中任何点上有任何一个运动要素是随时间而变非恒定流：流场中任何点上有任何一个运动要素是随时间而变化的。化的。恒定流时，流线的形状和位置不随时间而改变。恒定流时，流线的形状和位置不随时间而改变。恒定流时液体质点运动的迹线与流线相重合。恒定流时液体质点运动的迹线与流线相重合。假定假定A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4 近似代表近似代表一条流线（当一条流线（当 趋近
14、于零时趋近于零时即为流线），在即为流线），在t t1 1时刻质点时刻质点从从A A1 1点开始运动，经过点开始运动，经过 后后达到达到A A2 2；到达；到达A A2 2后虽然时刻后虽然时刻变成变成 。但因恒定流流线。但因恒定流流线形状和位置不变，此时形状和位置不变，此时A A2 2点的点的流速仍与流速仍与t t1 1相同，仍然为相同，仍然为u u2 2方向，方向，于是质点从于是质点从A A2 2点沿点沿u u2 2方向运动，方向运动，再经过再经过 又到达又到达A A3 3，如此，如此继续下去质点所走的轨迹完全与继续下去质点所走的轨迹完全与流线重合。流线重合。11tt1ts2t、一元、二元、三
15、元流、一元、二元、三元流 凡水流中任一点的运动要素只与一个空间自变量有关，这凡水流中任一点的运动要素只与一个空间自变量有关，这种水流称为一元流。种水流称为一元流。流场中任何点的流速和两个空间自变量有关，此种水流称为流场中任何点的流速和两个空间自变量有关，此种水流称为二元流。二元流。若水流中任一点的流速，与三个空间位置变量有关，这种水若水流中任一点的流速，与三个空间位置变量有关，这种水流称为三元流。流称为三元流。例：微小流束为一元流；过水断面上各点的流速用断面平均流速代替的总例：微小流束为一元流；过水断面上各点的流速用断面平均流速代替的总流也可视为一元流；宽直矩形明渠为二元流；大部分水流的运动为
16、三元流。流也可视为一元流；宽直矩形明渠为二元流；大部分水流的运动为三元流。),(tyxuu ),(txuu ),(tzyxuu 、均匀流与非均匀流、均匀流与非均匀流如果液流中同一流线上各质点的流速矢量沿流程不变，这种流动如果液流中同一流线上各质点的流速矢量沿流程不变，这种流动称为均匀流。称为均匀流。均匀流流场的流线互相平行。均匀流流场的流线互相平行。均匀流的迁移加速度等于零。均匀流的迁移加速度等于零。若水流的流线不是相互平行的直线该水流称为非均匀流。若水流的流线不是相互平行的直线该水流称为非均匀流。按照流线不平行和弯曲的程度，分为渐变流、急变流两种类型。按照流线不平行和弯曲的程度，分为渐变流、
17、急变流两种类型。（1 1）渐变流）渐变流 当水流的流线虽然不是相互平行直线，但几乎近于平行直当水流的流线虽然不是相互平行直线，但几乎近于平行直线时称为渐变流（缓变流）。渐变流的极限情况就是均匀流。线时称为渐变流（缓变流）。渐变流的极限情况就是均匀流。（2 2）急变流）急变流 若水流的流线之间夹角很大或者流线的曲率半径很小，这若水流的流线之间夹角很大或者流线的曲率半径很小，这种水流称为急变流。种水流称为急变流。通常边界近于平行直线时水流往往是渐变流。管道转弯、通常边界近于平行直线时水流往往是渐变流。管道转弯、断面突扩或收缩水工建筑物引起水面突变水流为急变流。断面突扩或收缩水工建筑物引起水面突变水
18、流为急变流。流线图流线图均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流非均匀流渐变流急变流急变流急变流4 4、有压流与无压流、有压流与无压流没有自由表面时的流动称为有压流。没有自由表面时的流动称为有压流。有自由表面时的流动称为无压流或重力流。有自由表面时的流动称为无压流或重力流。二、液体运动基本概念二、液体运动基本概念1 1、流管、元流、总流和过流断面、流管、元流、总流和过流断面流管流管由流线构成的由流线构成的一个封闭的管状曲面一个封闭的管状曲面dA元流元流充满以流管为充满以流管为边界的一束液流边界的一束液流总流总流在一定边界内在一定边界内具有一定大小尺寸的实具有一定大小尺寸的实际流动的水流
19、，它是由际流动的水流，它是由无数多个元流组成无数多个元流组成过流断面过流断面与元与元流或总流的流线正流或总流的流线正交的横断面交的横断面 过水断面的过水断面的形状形状可以可以是平面也可以是曲面。是平面也可以是曲面。均匀流过水断面为平面，且过水断面的形状和尺寸沿程不变；均匀流过水断面为平面，且过水断面的形状和尺寸沿程不变；非均匀流过水断面为曲面。非均匀流过水断面为曲面。2 2、流量和断面平均流速、流量和断面平均流速流量流量单位时间内通过某一过水断面的液体体积，常用单位单位时间内通过某一过水断面的液体体积，常用单位m m3 3/s s，以符号，以符号Q Q表示。表示。udAudAdQQAQdQud
20、A断面平均流速断面平均流速是一个想像的流速，如果过水断面上各点的是一个想像的流速，如果过水断面上各点的流速都相等并等于流速都相等并等于V V，此时所通过的流量与实际上流速为不均，此时所通过的流量与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等，则该流速匀分布时所通过的流量相等，则该流速V V称为断面平均流速。称为断面平均流速。AudAVA元流：元流：总流：总流：AAAVAAVVdAudAQ由此可见，通过总流过水断面的流量等于断面平均流速与由此可见，通过总流过水断面的流量等于断面平均流速与过水断面面积的乘积。引入断面平均流速的概念，可以使过水断面面积的乘积。引入断面平均流速的概念，可以使水流运动的分析
21、得到简化。水流运动的分析得到简化。3 33 3 连续性方程连续性方程 连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。我们认连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。我们认为流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。在这个为流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。在这个前提下，当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面前提下，当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以断定：若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的时，可以断定：若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的
22、变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；如果流体是不可以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学分析表达成微分方程，称为连续性方程。论可以用数学分析表达成微分方程，称为连续性方程。设在流场中任取一个微元平行六面体，如设在流场中任取一个微元平行六面体，如图图所示，其边长分别为所示，其边长分别为dxdx、dydy和和dzdz。u u和和都是坐标和时间的连续函数，即都是坐标和时间的连续函数，即 u=u(xu=u(x，y y，z z，t)t)=(x=(x，y y，z
23、 z，t)t)假设微元平行六面体形心的坐标为假设微元平行六面体形心的坐标为x x、y y、z z，在某一瞬时，在某一瞬时t t经过形心的流经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为体质点沿各坐标轴的速度分量为u ux x、u uy y、u uz z，流体的密度为，流体的密度为。现讨论流。现讨论流体经六面体各面的流动情况。体经六面体各面的流动情况。一、直角坐标系下连续性微分方程式一、直角坐标系下连续性微分方程式x x轴方向，在轴方向，在dtdt时间内，沿轴方向从左边时间内，沿轴方向从左边微元面积微元面积dydzdydz流入的流体质量为流入的流体质量为tzyxxuuxxxxddd2d2d ux,uy
24、,uz,按泰勒级数，函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点按泰勒级数，函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来，的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来，f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+f(x0)/2!(x-x0)2+.+f(n)(x0)/n!(x-x0)n 在某一瞬时在某一瞬时t t经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为u ux x、u uy y、u uz z，流体的密度为，流体的密度为，则左侧面的密度及压强分别为，则左侧面的密度及压强分别为 2d2dxxuuxxxx 同理可得在同理可得在dtdt时
25、间内从右边微元面积时间内从右边微元面积dydzdydz流出的流体质量为流出的流体质量为tzyxxuuxxxxddd2d2d 上述两者之差为在上述两者之差为在dtdt时间内沿时间内沿x x轴方向流体质量的变化，即轴方向流体质量的变化，即tzyxuxtzyxxuxxuxxxdddd)(ddddd 同理可得，在同理可得，在dtdt时间内沿时间内沿y y轴和轴和z z轴方向流体质量的变化分别为：轴方向流体质量的变化分别为：tzyxuyydddd)(tzyxuzzdddd)(因此，在因此，在dtdt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为时间内经过微元六面体的流体质量总变化为 tzyxzuyuxuzyxd
26、ddd 由于流体是作为连续介质来研究的，所以上式所表示的六面体内流体质由于流体是作为连续介质来研究的，所以上式所表示的六面体内流体质量的总变化，唯一的可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。因量的总变化，唯一的可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。因此应和由于流体密度的变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。此应和由于流体密度的变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。设开始瞬时流体的密度为设开始瞬时流体的密度为，经过，经过dtdt时间后的密度为时间后的密度为ttttzyxd)d,(a)则可求出在则可求出在dtdt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为时间内，六面体内因密度的变化而
27、引起的质量变化为tzyxtzyxzyxttddddddddddd (b)0 zuyuxutzyx 0 t 根据连续性条件，式根据连续性条件，式(a)(a)和式和式(b)(b)应相等，经简化得到应相等，经简化得到式（式（c c）为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。）为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。若流体是定常流动，则若流体是定常流动，则 ，上式成为，上式成为 0 zuyuxuzyx 式（式（d d）为可压缩流体定常三维流动的连续性方程。）为可压缩流体定常三维流动的连续性方程。若流体是不可压缩的，不论是定常或非定常流动若流体是不可压缩的，不论是定常或非定常流动均为常数，故上式成为均为常
28、数，故上式成为0 zuyuxuzyx(c)(d)(e)式（式（e e）为不可压缩流体三维流动的连续性的方程。它的物理意义是：在）为不可压缩流体三维流动的连续性的方程。它的物理意义是：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。在流体力学中时常讨论所谓平面（二维）流动，即平行任何一个坐标平在流体力学中时常讨论所谓平面（二维）流动，即平行任何一个坐标平面的流动。若这种流动的流动参数（如速度、压强）只沿面的流动。若这种流动的流动
29、参数（如速度、压强）只沿x x、y y两个坐标两个坐标轴方向发生变化，则轴方向发生变化，则(e)(e)式可以写成式可以写成0 yuxuyx由于在推导上述连续性方程时，没有涉及作用力的问题，所以不论是对由于在推导上述连续性方程时，没有涉及作用力的问题，所以不论是对理想流体还是实际流体都是适用的。理想流体还是实际流体都是适用的。二、恒定总流连续性方程二、恒定总流连续性方程在恒定总流中，取一微小流束，在恒定总流中，取一微小流束，依质量守恒定律：依质量守恒定律：u1u2dA1dA21 11222u dAdtu dA dt设设 ，则，则121122u dAu dA即有：即有：12dQdQ微小流束的连续性
30、方程微小流束的连续性方程12QQ积分得：积分得：也可表达为：也可表达为：1122V AV A恒定总流的连续性方程恒定总流的连续性方程适用条件：适用条件：恒定、不可压缩的总流且没有支汇流。恒定、不可压缩的总流且没有支汇流。若有支流：若有支流：Q1Q2Q3123QQQQ1Q2Q3132QQQ例例3-2 3-2 理想液体速度场为理想液体速度场为u ux x=ay=ay，u uy y=bx=bx，u uz z=0=0，a a、b b为常数。为常数。试求：流动是否可能实现？试求：流动是否可能实现？解：由连续性微分方程解：由连续性微分方程0 zuyuxuzyx满足连续性条件，流动可以实现。满足连续性条件，
31、流动可以实现。0 xux0 yuy0 zuz0 zuyuxuzyx流动是可以实现的。流动是可以实现的。解：由连续性方程：解：由连续性方程：V V1 1A A1 1V V2 2A A2 2V V3 3A A3 3 3.7323.732/4/40.0320.0322 2 0.003m0.003m3 3/s/s3L/s3L/sV V2 2=V=V3 3A A3 3/A/A2 2V V3 3(d(d3 3/d/d2 2)2 2 =3.732=3.732（0.032/0.05)0.032/0.05)2 2=1.528m/s=1.528m/sV V1 1=V=V3 3A A3 3/A/A1 1V V3 3
32、(d(d3 3/d/d1 1)2 2 =3.732=3.732(0.032/0.10)(0.032/0.10)2 2=0.382m/s=0.382m/s例例3-23-2：图示水箱的出水管由三根不同直径的管道连接而成。：图示水箱的出水管由三根不同直径的管道连接而成。已知已知d d1 1=100mm=100mm，d d2 2=50mm=50mm，d d3 3=32mm=32mm，出口流速，出口流速V V3 33.732m/s3.732m/s，试求各管段的平均流速和流量。试求各管段的平均流速和流量。V1V2V3d1d2d3连续性方程说明了流速与过水断面的关系，是运动连续性方程说明了流速与过水断面的关
33、系，是运动学方程；学方程；水流能量方程则是从动力学的观点讨论水流各运动水流能量方程则是从动力学的观点讨论水流各运动要素之间的关系，是能量守恒在水流运动中的具体要素之间的关系，是能量守恒在水流运动中的具体表现。表现。3-4 3-4 恒定元流能量方程（元流伯努里方程）恒定元流能量方程（元流伯努里方程）一、理想液体恒定元流能量方程一、理想液体恒定元流能量方程动能定理：运动物体在某一时段内动能的增量等动能定理：运动物体在某一时段内动能的增量等于各外力对物体所作的功之和。于各外力对物体所作的功之和。221122oWmVmV122 21 112()()KKKKEEEE2 21 1KKEE121 2KKKE
34、EE)22()(212121212221222122gugugdQdtuudQdtdmudmuEk 重力作功：重力作功：12()GWdmg zz12()gdQdt zzz1z2压力作功：压力作功：12()dQdt ppdtudApdtudApWP222111 GPKWWE理想液体恒定元流能量方程理想液体恒定元流能量方程gugpzgugpz2222222111)22()()(21222121gugugdQdtppdQdtzzgdQdt 该方程的适用范围是：不可压缩均质理想流体在重力作用下作该方程的适用范围是：不可压缩均质理想流体在重力作用下作定常流动。定常流动。常数常数 gpz 2.2.方程的物
35、理意义和几何意义方程的物理意义和几何意义为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来叙述该为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来叙述该方程的物理意义和几何意义。方程的物理意义和几何意义。在特殊情况下，绝对静止流体在特殊情况下，绝对静止流体u=0u=0，可以得到水静力学基本方程，可以得到水静力学基本方程1 1）物理意义）物理意义 第一项第一项z z表示单位重量流体所具有的位置势能；表示单位重量流体所具有的位置势能；第二项第二项p/(g)p/(g)表示单位重量流体的压强势能；表示单位重量流体的压强势能；第三项第三项u u2 2/(2g)/(2g)理解如下：理解如下：由物理学可知，质量
36、为由物理学可知，质量为m m的物体以速度的物体以速度u u运动时，所具有的动能为运动时，所具有的动能为mumu2 2/2/2，则单位重量流体所具有的动能为则单位重量流体所具有的动能为u u2 2/(2g)/(2g)。所以该项的物理意义为。所以该项的物理意义为单位重量单位重量流体具有的动能流体具有的动能。位势能、压强势能和动能之和称为机械能。位势能、压强势能和动能之和称为机械能。因此，伯努利方程可叙述为：不可压缩理想流体在重力作用下作定常因此，伯努利方程可叙述为：不可压缩理想流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位置流动时，沿同一流线（或微元流束）上各
37、点的单位重量流体所具有的位置势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但位置势能、势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但位置势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换，所以伯努利方程是能量守恒压强势能和动能三种能量之间可以相互转换，所以伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。定律在流体力学中的一种特殊表现形式。2 2）几何意义）几何意义第一项第一项z z表示单位重量流体的位置水头；表示单位重量流体的位置水头；第二项第二项p/(g)p/(g)表示单位重量流体的压强水头；表示单位重量流体的压强水头；第三项第三项u u2 2/(2g)/(2g)与前两项一样
38、也具有长度的量纲。它表示所研与前两项一样也具有长度的量纲。它表示所研究流体由于具有速度究流体由于具有速度u u，在无阻力的情况下，单位重量流体所，在无阻力的情况下，单位重量流体所能垂直上升的最大高度，称之为能垂直上升的最大高度，称之为速度水头速度水头。位置水头、压强水头和速度水头之和称为位置水头、压强水头和速度水头之和称为总水头总水头。由于它。由于它们都表示某一高度，所以可用几何图形表示它们之间的关系。们都表示某一高度，所以可用几何图形表示它们之间的关系。因此伯努利方程也可叙述为：理想不可压缩流体在重力作因此伯努利方程也可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线用下作定常流
39、动时，沿同一流线(或微元流束或微元流束)上各点的单位重上各点的单位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水头之和保持不变，量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水头之和保持不变，即总水头是一常数。即总水头是一常数。方程式的物理意义方程式的物理意义2211221222pupuZZgggg001Z2Z12位置水头位置水头压强水头压强水头流速水头流速水头测压管水头测压管水头总水头总水头单位位能单位位能单位压能单位压能单位动能单位动能单位势能单位势能单位总机械能单位总机械能表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，元流内不同过水断面上，表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，元流内不同过水断面上，单位重量
40、液体所具有的机械能保持相等（守恒）。单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。二、实际液体恒定元流的能量方程式二、实际液体恒定元流的能量方程式2211221222pupuZZggggwhwh单位重量液体从断面单位重量液体从断面1-11-1流至断流至断面面2-22-2所损失的能量，称为水头损失。所损失的能量，称为水头损失。001Z2Z12wh 对实际液体，令单位重量液体从断面对实际液体，令单位重量液体从断面1-11-1流至断面流至断面2-22-2所失所失的能量为的能量为 。则。则1-11-1断面和断面和2-22-2断面能量方程为：断面能量方程为：wh三、渐变流断面上的压强分布规律三、渐变流断面
41、上的压强分布规律22()pzCgOO11()pzCgdndApp+dpz dzz 在管道均匀流中任意选择在管道均匀流中任意选择1-11-1与与2-22-2两过水断面，分别在两过水断面上装两过水断面，分别在两过水断面上装上测压管，则同一断面上各测压管水面必上升至同一高度。即上测压管，则同一断面上各测压管水面必上升至同一高度。即 ，但，但不同断面上测压管水面所上升的高程是不同的。不同断面上测压管水面所上升的高程是不同的。Cgpz 在均匀流，与流线正交的在均匀流，与流线正交的n n方向上无加速度，所以有方向上无加速度，所以有0nF 即：即：()cos0pdApdp dAgdAdn0dpgdz积分得：
42、积分得：在均匀流过水断面上取一微分柱体，其轴在均匀流过水断面上取一微分柱体，其轴线线n-nn-n与流线正交，并与铅垂线呈夹角与流线正交，并与铅垂线呈夹角。作用于微分柱体上端动水压力为作用于微分柱体上端动水压力为:pdAdAdpp)(下端动水压力为下端动水压力为:内摩擦力及侧面动水压力投影为零。内摩擦力及侧面动水压力投影为零。柱体自重沿柱体自重沿n n方向的投影为方向的投影为:gdAdzagdAdnadGcoscosCgpz 根据渐变流定义，流线近似直线，流线间近似平行，因根据渐变流定义，流线近似直线，流线间近似平行，因此沿与流动相垂直的方向加速度很小，此沿与流动相垂直的方向加速度很小，对对同一
43、断面上的同一断面上的动水压强近似按静水压强规律分布，即动水压强近似按静水压强规律分布，即CPZ 急变流断面上的压强分布规律并不服从静水压强分布规律，急变流断面上的压强分布规律并不服从静水压强分布规律，因流线的曲率较大，沿与流动方向相垂直的方向的加速度不因流线的曲率较大，沿与流动方向相垂直的方向的加速度不能忽略，由加速度引起的惯性力将影响过水断面上的压强分能忽略，由加速度引起的惯性力将影响过水断面上的压强分布规律，即过水断面上各点的单位势能不等于常数。布规律，即过水断面上各点的单位势能不等于常数。对于流线向上弯曲的急变流断面对于流线向上弯曲的急变流断面:垂直流线取一微小等截面液柱，截面面积垂直流
44、线取一微小等截面液柱，截面面积dAdA，高为，高为dhdh离心惯性力离心惯性力rudhdAmaF2 ru20)(2 dhrudAdhdApdAdAdpp 为法向加速度，为法向加速度，r r为曲率半径为曲率半径上下截面受到的动水压力分别为上下截面受到的动水压力分别为P P，P PdPdP微小等截面液柱在离心惯性力、动水压力及重力的作用下处于动平衡状态，微小等截面液柱在离心惯性力、动水压力及重力的作用下处于动平衡状态，dhruhpdhrudhdph 022 dhruh 02 为单位面积液柱上产生的离心惯性力为单位面积液柱上产生的离心惯性力对于流线向上弯曲的急变流断面，因离心力的方向与重力的方向相反
45、，断对于流线向上弯曲的急变流断面，因离心力的方向与重力的方向相反，断面上各点的动水压强小于按静水压强规律计算的值。面上各点的动水压强小于按静水压强规律计算的值。对于流线向下弯曲的急变流断面，因离心力的方向与重力方对于流线向下弯曲的急变流断面，因离心力的方向与重力方向相同，则断面上各点的动水压强大于按静水压强规律计算向相同，则断面上各点的动水压强大于按静水压强规律计算的值。的值。3 35 5恒定恒定总流的能量方程总流的能量方程由元流的能量方程式推得，在总流中选取两个渐变流断面由元流的能量方程式推得，在总流中选取两个渐变流断面1 1和和2 2，面积分别为面积分别为A A1 1和和A A2 2，总流
46、为无数元流之和，总流的能量方程应，总流为无数元流之和，总流的能量方程应当是元流能量方程式在两断面范围内的积分。当是元流能量方程式在两断面范围内的积分。一、方程推导一、方程推导22112212()()22wQQpupuZgdQZhgdQgggg2222211122whgugpzgugpz 各项乘以各项乘以 ，并分别在总流的两个过水断面，并分别在总流的两个过水断面A A1 1及及A A2 2上积分得：上积分得：gdQ gdQhgdQgugdQgpzgdQgugdQgpzQwQQQQ 222221112)(2)(实际液体的元流能量方程：实际液体的元流能量方程：Cgpz )(若过水断面为渐变流，则在断
47、面上若过水断面为渐变流，则在断面上 ，积分可得积分可得 QQdQggpzgdQgpz )()(1 1第一类积分第一类积分gdQgpzQ)(gdQhgdQgugdQgpzgdQgugdQgpzQwQQQQ 222221112)(2)(共含有三种类型积分。共含有三种类型积分。式中式中 为动能修正系数，流速分布愈均匀，愈接近于为动能修正系数，流速分布愈均匀，愈接近于1 1；不均匀分布时，；不均匀分布时，11；2 2第二类积分第二类积分 gdQguQ22udAdQ 因因22222332QAdAugdQguAQ所以所以AvdAuA33 在渐变流时，一般在渐变流时，一般 =1.05=1.051.11.1。
48、为计算简便起见，。为计算简便起见，通常取通常取 1 1。上式反映了总流中不同过水断面上上式反映了总流中不同过水断面上()()值和断面平均流速值和断面平均流速v v的的变化规律。变化规律。wQwQwQhdQghdQh21222222111122whggpzggpzQgdQhwwhwhgpz 假定各个微小流束单位重量液体所损失的能量假定各个微小流束单位重量液体所损失的能量 都用一个平均都用一个平均值值 来代替则第三类积分变为：来代替则第三类积分变为：3 3第三类积分第三类积分得不可压缩实际液体恒定总流的能量方程得不可压缩实际液体恒定总流的能量方程(恒定总流的伯努里方程恒定总流的伯努里方程)。221
49、112221222wpVpVZZhgggg2 20 00 01Z2Z1 1wh1 12 2 实际液体恒定总流的能量方程式表明：水流总是从水头大处流向水头实际液体恒定总流的能量方程式表明：水流总是从水头大处流向水头小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。12wHHh12wEEh总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线22Vg 实际液体总流的总水头线必定是一条实际液体总流的总水头线必定是一条逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是下降的线也可能是上升的线甚至可能是一下降的线也可能是上升的线甚至可能是一条
50、水平线。条水平线。水力坡度水力坡度J J单位长度流程上的水头损失，单位长度流程上的水头损失，wdhdHJdLdL测压管坡度测压管坡度()ppd ZgJdL二、方程式的物理意义：二、方程式的物理意义：实际流体实际流体 ；理想流体；理想流体 ；均匀流体；均匀流体0J0JJJp三、应用能量方程式的条件：三、应用能量方程式的条件：221112221222wpVpVZZhgggg（1 1）水流必须是恒定流；）水流必须是恒定流；（2 2）作用于液体上的质量力只有重力；）作用于液体上的质量力只有重力；（3 3）液体是不可压缩流体；）液体是不可压缩流体；（4 4）在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条
