1、第二节 一阶微分方程 一、可分离变量的微分方程二、齐次方程三、一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:,0)(xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.,0)(xQ当当例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx ,32 xyyy,1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.三、三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy ,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次线性方程的通解为齐次线性方程的通解为.)(dxxPCey1.齐次齐次线性方程线性方程
2、一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)2.非齐次非齐次线性方程线性方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设,)()(ln dxxPxvy.)()(dxxPxveey即即非齐次线性方程通解形式非齐次线性方程通解形式与齐次线性方程的通解相比与齐次线性方程的通解相比:()()v xCu xe常数变易法常数变易法把齐次线性方程通解中的常数把齐次线性方程通解中的常数变易为待定函数的方法变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代
3、换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()(dxxPdxxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解一阶线性非齐次微分方程的通解为为:dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP,sin)(xxxQ Cdxexxey
4、dxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1例例2 2 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积,求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 23dxdxyex edxC,6632 xxCex,0|0 xy由由,6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xx
5、eyx23xyy 3(0.ydxxydy求)的通解例例 3解解30dxxydyy21dxxydyy即即()()xP y xQ y1121()dydyyyxey edyC3214Cxyy424(4)xyyCCC211.;sin()dyydxxxyx解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy 例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程:12.;dydxxy解解,uyx 令令,1 dxdudxd
6、y则则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解.yxdydx 方程变形为方程变形为1.齐次方程齐次方程2.线性非齐次方程线性非齐次方程)(xyfy ;xuy 令令;)()(dxxPexuy令令()()()P x dxP x dxyeQ x edxC思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 解：yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycosl
7、ncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 练习练习判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyxxyyydd1 可分离可分离 变量方程变量方程xyxyxylndd齐次方程齐次方程221dd2xyxxy线性方程线性方程221dd2yxyyx线性方程线性方程22ABB),(yxfy 可降阶高阶微分方程 第四节一、一、型的微分方程型的微分方程 二、二、型的微分方程型的微分方程()()nyf x),(yyfy 三、三、型的微分方程型的微分方程 一、一、)()(
8、xfyn令,)1(nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1)1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.,)(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 例例1.cos2xeyx 求解解解:12cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxC),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设,)(xpy,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分,得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、例例2.求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解:),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量分离变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用,31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy,12C得133xxy因此所求特解为三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分,得原方程的通解21),(dCxCyy
