1、1可分离变量方程可分离变量方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程齐次齐次方程方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程伯努利方程伯努利方程2一、可分离变量的方程一、可分离变量的方程5422ddyxxy 例如例如,d2d254xxyy 2.解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的,xxfyygd)(d)(CxFyG )()(为微分方程的解为微分方程的解.xxfyygd)(d)(所有可化为所有可化为 的方程的方程1.定义定义隐式通解隐式通解称为称为可分离变量的方程可分离变量的方程.3例例 求解微分方程求解微分方程.2dd的通解的通解xyxy 解解分离变量分离变量,d2dxxyy 两端
2、积分两端积分,d2d xxyy12|lnCxy 为所求通解为所求通解2xCey 21xCeey 1 CeC 记记(C1为任意常数为任意常数)(C为任意常数为任意常数)40d)(d)(yeexeeyyxxyx解解yeexeexyyxd)1(d)1(yeexeeyyxxd)1(d)1(yeexeeyyxxd)1(d)1(Ceeyx|1|ln)1ln(分离变量分离变量两端积分两端积分例例 求方程求方程 的通解的通解.故原故原方程的通解为方程的通解为5例例 解初值问题解初值问题0d)1(d2 yxxyx解解:xxxyyd1d2 两边积分两边积分,得得Cxyln11lnln2 即即Cxy 12由初始条件
3、得由初始条件得 C=1,112 xy(C 为任意常数为任意常数 )故所求特解为故所求特解为 1)0(y分离变量分离变量,得得6.0d)(d)(通解通解求方程求方程 yxxygxyxyf,xyu 令令,dddxyyxu 则则,0dd)(d)(xxyuxugxyuf,0d)(d)()(uugxxuuguf,0d)()()(d uugufuugxx.d)()()(|lnCuugufuugx 通解为通解为解解例例7二、齐次方程二、齐次方程形如形如 xygxydd称为称为齐次方程齐次方程.即即,uxy 代入原方程代入原方程,得得).(dduguxux 的方程的方程,xyu 令令 xydd uxxudd
4、xxuugud)(d 分离变量分离变量两边积分两边积分,求出通解后求出通解后,.uxy代代替替用用就得到原方程的通解就得到原方程的通解.xxuugud)(d2.解法解法1.定义定义8例例 求求微分方程微分方程xyxyytan 解解:,xyu 令令,uxuy 则则代入原方程得代入原方程得uuuxutan 分离变量分离变量xxuuuddsincos 两边积分两边积分 xxuuuddsincos得得,lnlnsinlnCxu xCu sin 即即故原方程的通解为故原方程的通解为xCxy sin(C 为任意常数为任意常数)通通解解.9例例 求方程求方程解解 将方程写为将方程写为22ddyxxyxy 齐
5、次方程齐次方程,xyu 令令,uxy 则则xuxuxydddd 方程变为方程变为21dduuxuxu 即即xxuuud1d132 积分得积分得Cxuu lnln21221 xyxyuuxyu xygxydd0d)(d22 yyxxxy通解通解.10三、三、一阶线性一阶线性微分方程微分方程)()(ddxQyxPxy 一阶线性一阶线性微分方程微分方程的标准形式的标准形式,0)(xQ当当上面方程称为上面方程称为上面方程称为上面方程称为,0)(xQ当当如如,dd2xyxy ,sindd2ttxtx ,32 xyyy,1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.齐次的齐次的;非齐次的非齐次的.1.定义
6、定义11.0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy齐次方程齐次方程的通解为的通解为 xxPCeyd)(1.线性线性齐次齐次方程方程2.解法解法(用分离变量法用分离变量法)(C1为任意常数为任意常数)(1CeC ,d)(|ln1CxxPy 2.线性线性非齐次非齐次方程方程 yxPxy)(dd设想设想解解 C(x)为待定函数为待定函数)(xQ xxPeyd)()(xC12,代代入入原原方方程程和和将将yy)(xQ xxPexCd)()(xxPexCxPd)()()(,)(d)(求导求导对对 xxPexCy得得 xxPexCyd)()()(xC)(xP xxPed)(得得)
7、()(d)(xQexCxxP )()(ddxQyxPxy 即即 xxPexQxCd)()()(xexQxCxxPd)()(d)(C xd xdd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP xxPexPxCd)()()(一阶线性非齐次一阶线性非齐次微分方程的通解为微分方程的通解为13一阶线性一阶线性微分方程微分方程)()(ddxQyxPxy 0)(dd yxPxy通解为通解为 xxPCeyd)(1.一阶线性一阶线性齐次齐次方程方程(分离变量法分离变量法)2.一阶线性一阶线性非齐次非齐次方程方程)()(ddxQyxPxy 设解设解,d)(xxPey)(xCxexQxCxxPd)()(d)(C d)
8、(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 通解为通解为,代代入入原原方方程程和和将将yy 得得14 xxPCed)(非齐次方程的一个特解非齐次方程的一个特解对应齐次方程对应齐次方程的通解的通解d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 一阶线性方程解的结构一阶线性方程解的结构xexQexxPxxPd)(d)(d)()()(ddxQyxPxy 常数变易法常数变易法 把对应齐次方程通解中的常数变易为把对应齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法待定函数的方法.15.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP,sin)(xxxQ xxeyd1 x1 Cxx cos1解解例例一阶线性
9、非一阶线性非齐次方程齐次方程 xxsin xxed1xdC d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP Cxxdsin16.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy|ln|ln|lnCxy xCy ,)(xxCy 设设 Cxxy cos1解解例例01 yxyxxyyd1d 21)(1)(xxCxxCy 则则xxxxCsin1)(xxCsin)(即即CxxC cos)(通解为通解为齐次方程齐次方程,代代入入原原方方程程和和将将yy 得得常数变易法常数变易法(1)(2)17解初值问题解初值问题:10cos2)1(02xyxxyyx解解 将方程写为将方程写为1cos1222 xxyxxy)(xP
10、)(sin112Cxx 由初始条件由初始条件10 xy特解为特解为21sin1xxy )(xQ,1 C一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP Cxexxeyxxxxxxd1cosd122d122218例例 解方程解方程0d)ln(dln yyxxyy若将方程写成若将方程写成yxyyxylnlndd 则它既不是线性方程则它既不是线性方程,又不能分离变量又不能分离变量.若将方程写成若将方程写成yyyxyxlnlndd yxyy1ln1 以以x为为未知函数未知函数,即即yxyyyx1ln1dd 一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程.分析分析y 为为自变量自变
11、量的的19 Cyeyexyyyyyyd1dln1dln1 Cyyyydln1ln1yCylnln21 此外此外,y=1也是原方程的解也是原方程的解.解解yxyyyx1ln1dd )(yP)(yQ0d)ln(dln yyxxyyd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 20即即)()(dd1111xQyxPxynnn )()(dd1xQyxPxyynn ,1 nyz 得得)1)()()1(ddnxQzxPnxz ny1伯努利方程伯努利方程的通解的通解:)d)1)(d)()1(d)()1(CxenxQezxxPnxxPn 令令2.解法解法,ny方程两边同除以方程两边同除以四、伯努利方程四、伯努
12、利方程1.定义定义)()(ddxQyxPxy )1,0(nny 形如形如的方程的方程.21.4dd的通解的通解求方程求方程yxyxxy 解解例例伯努利方程伯努利方程作变换作变换,21yz 得得22ddxzxxz 通解为通解为)d2(d2d2 Cxexezxxxx)|ln21(2Cxx 故原方程的通解为故原方程的通解为24)|ln21(Cxxy 214ddxyyxxy xyxxyy 21214ddxyxxy 21214dd222求解下列微分方程求解下列微分方程例例0d)(d)()1(yxxygxyxyfxyxyxxy )(sin1dd)2(2xxyxeyyxyx22)4(2222 解题提示解题提
13、示方程中出现方程中出现),(),(yxfxyf)(),(22xyfyxf 等形式的项时等形式的项时,通常要做相应通常要做相应的的变量代换变量代换,22xyyxyxxyu yxxy 1dd)3(五、利用变量代换求解五、利用变量代换求解方程方程230d)(d)()1(yxxygxyxyf解解,xyu 令令求微分得求微分得,dddxyyxu 代入方程代入方程0d)(d)()(uugxxuuguf0d)()()(d uugufuugxx xln uugufuugd)()()(C 可分离变量方程可分离变量方程24xyxyxxy )(sin1dd)2(2解解,xyu 令令 xudd则则 xuddCxuu
14、42sin2分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyu 所求通解为所求通解为Cxxyxy 4)2sin(2)(sin1(2xyxyxxy u2sin1 xuddu2sin1 可分离变量方程可分离变量方程xyxydd 25yxxy 1dd)3(解解uyx 令令,1dddd xuxy则则代入原式代入原式,11dduxu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代代回回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解yxyx dd一阶线性方程一阶线性方程.可分离变量方程可分离变量方程方程变形为方程变形为26xxyxeyyxyx22)4(2222 解解,22uyx 令令uyyx 22则则原方程原方程xuexuu ,xuv 再令再令,xvu 而而vxvu vevvxv xxvevd1d Cxev lnCxexyx ln22齐次方程齐次方程27作业作业习题习题6 6.2(18(18页页)1.(1)(3)(4)2.(双双)4.(双双)5.(1)(3)6.(2)
