1、124.7 纯弯曲时的正应力4.8 横力弯曲时的正应力4.9 弯曲切应力小小 结结4.10 提高弯曲强度的措施3 一、纯弯曲一、纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩梁的横截面上只有弯矩 而无剪力的弯曲。而无剪力的弯曲。梁的横截面上只有正应力 而无剪应力的弯曲。剪力“Fs”剪应力“”；弯矩“M”正应力“”。4.7 纯弯曲时的正应力基本概念：基本概念：aaFBAFMxFaFsxFF4二、纯弯曲梁横截面上的正应力公式二、纯弯曲梁横截面上的正应力公式1.1.几何方面：几何方面：由纯弯曲的变形规律纵向线应变的变化规律。2.2.物理方面：物理方面：由纵向线应变的变化规律正应力的分布规律。3.3.静力方面：静力方面
2、：由横截面上的弯矩和正应力的关系正应力的 计算公式。1.1.几何方面。几何方面。(1)(1)实验：实验：abcd5abcdabcdMM(2)(2)变形规律。变形规律。横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。(3)(3)假设。假设。平面假设：梁变形前的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕某轴转动了一个角度。6纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。(4)(4)中性层：中性层：梁弯曲时，既不受压缩又不受拉伸的一层纤维。(5)(5)中性轴：中性轴：中性层与横截面的交线
3、。推论：梁变形实际上是绕中性轴转动了一个角度，等 高度的一层纤维的变形完全相同。中性面中性面中中性性轴轴中中性性轴轴7yxdq qr rA(6)(6)线应变的变化规律：线应变的变化规律：.ryr rq qr rq qr rq q r ry d ddy )1 11111OO ABOOB A ABB A Aabcddxyoo12.2.物理方面。物理方面。(1)(1)应力的性质应力的性质：单向应力状态。(2)(2)应力的分布规律应力的分布规律：在弹性范围内，应力和应变成正比。8.rEyE(3)(3)应力的分布图：应力的分布图：MZymaxmax3.3.静力方面。静力方面。9yxMZd0ANAL L
4、d0yAMAzL L dzAMAyML L AyAzAAAddddAANd(1)00ddzzSSEAyEAyEAArrr（中性轴（中性轴Z Z轴为形心轴）轴为形心轴）AAzMd(2)y00ddyzyzIIEAyzEAzyEAArrr（产生平面弯曲的必要条件，本题自然满足）（产生平面弯曲的必要条件，本题自然满足）yzA10AAyMd)3(zMIEAyEAyyEzAArrrdd2将上式代入式得：zEIMr1（弯曲变形计算的基本公式）（弯曲变形计算的基本公式）zIMy弯曲正应力计算公式。弯曲正应力计算公式。三、注意三、注意 弯矩代入绝对值，应力的符号由变形来判断。弯矩代入绝对值，应力的符号由变形来判
5、断。以中性面为界，梁的凸出边的应力为拉应力（正）；凹入边的应力为压应力（负）。梁的抗弯刚度。梁的抗弯刚度。zEI 11四、公式的使用条件四、公式的使用条件弹性范围内工作的纯弯梁或横力弯曲的细长梁（L5h）。五、正应力最大值的确定五、正应力最大值的确定1.横截面上：对Z轴对称的截面zcmaxtmaxWM对Z轴不对称的截面 zttIMymaxmaxzcmaxcmaxIMy2.整个梁上：对Z轴对称的截面zmaxcmaxtmaxWM对Z轴不对称的截面ztmaxtmaxI)My(zcmaxcmaxI)My(12六、惯性矩和抗弯截面模量的确定六、惯性矩和抗弯截面模量的确定AyIAzd2maxzzyIW1.
6、实心圆：4yz641DII3z321DW 2.空心圆：)dD(II44yz641)(DW43z1321Dd3.矩形：3z121bhI2z61bhW131.1.强度条件：强度条件：max zWMmaxmax2.2.强度计算：强度计算：(1)强度校核(2)设计截面尺寸(3)确定外荷载七、正应力的强度计算七、正应力的强度计算 max；z 。max zWM max MW；144.8 横力弯曲时的正应力15161718例例15矩形截面悬臂梁如图所示，FP=1kN。试计算1-1截面上A、B、C各点的正应力，并指明是拉应力还是压应力。19200.5m0.5m0.5mABCD2FF例例16图示矩形截面梁b=6
7、0mm、h=120mm，=160MPa。求：Fmax。bh5F/2F/2解解 (1)画弯矩图，确定最大值。xMFaFa/2Mmax=Fa(2)强度计算。kN146N1014610501206061160616133222Zmaxmax.abhFbhFaWMFmax=46.1kN21y 2y 1C Gz解（解（1 1）画弯矩图并求危险面内力。kN510kN52BYAY.F;.F)kNm52C下拉、上压(.M（上拉、下压）kNm4BM例例17 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的t=30 M Pa，c=60 M Pa，其截面形心位于G点，y1=52mm，y2=88mm，I z=763cm4，试校核
8、此梁的强度。1m1m1mABCDF 2=4kNF 1=9kNMx2.5kNm-4k N mFa=2.5Fb=10.522（2）确定最大正应力，校核强度。MPa2281076310885246z2Cct.IyMMPa227107631052446z1BBt.IyMMPa246107631088446z2BBc.IyMB截面（上拉下压）C截面（下拉上压）y 2y 1C Cz1m1m1mABCDF 2=4kNF 1=9kN ttmax228.ccmax246.Mx2.5kNm-4k N m23A1A2y 2y 1C CzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa结论结论对Z轴对称截面的弯曲梁
9、，只计算一个截面一个截面：对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面两个截面：maxMmaxmax;MMMx2.5kNm-4k N m24例例18工字钢简支梁受力如图所示。已知l=6mm，FP1=12kN，FP2=21kN，钢的许用应力=160MPa。试选择工字钢的型号。2526例例19图示结构，已知AB为10号工字形截面梁，CD为圆形截面杆，d=10mm，AB=160MPa，CD=120MPa。试试：确定外荷载q。BqACD2m1m解解(1)画M图。(2)AB梁的强度计算。kN/m71522ABABZABZmaxABmax.WqWqWMz)W(33zmm1049(3)CD杆的强度计算。kN/
10、m249449CD2CD2CDNCD.dqdqAF结论：结论：kN/m24max.q3q/49q/4qXFs3q/45q/4XM9q/32q/2274.9.1 4.9.1 矩形截面矩形截面梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力1.假设：横截面上各点的剪应力方向与剪力的方向相同。剪应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点剪应力大小相等）。2.公式推导。yFszybhxd x图图a4.9 弯曲切应力280d11)x(bNNXzzAzAIMSAyIMANddzzIS)MM(Nd1zzszzbISFbISxMdd1Fs（x）+d Fs（x）M（x）M（x）+d M（x）Fs（x）d xA 图图b b
11、 hZyy由剪应力互等定理可知由剪应力互等定理可知bISFzzs注意注意：Fs为横截面的剪力；Iz为整个横截面对Z轴的惯性矩；b为Y点对应的宽度；Sz*为Y点以外的面积对Z轴的静面矩。29yZ5.123maxAFs)yh(IF22zs42矩所以Fs 3.剪应力的分布：)4(2)2(2222yhbyhbyhAyScz 4.9.2 4.9.2 其他常见截面的最大切应力其他常见截面的最大切应力1.工字形截面：仍按矩形截面的公式计算。bISFzzs30AFmax34s2.圆形截面：中性轴上有最大的剪应力，方向与剪力方向相同。AFsmax23.薄壁圆环：中性轴上有最大的剪应力，方向与剪力方向相同。4.9
12、.3 4.9.3 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件1.1.强度条件：强度条件：bISFzzmaxmaxsmax2.2.强度计算强度计算：校核强度；设计截面尺寸；确定外荷载。313.3.需要校核剪应力的几种特殊情况：需要校核剪应力的几种特殊情况：(2)铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。(1)梁的跨度较短，M 较小，而 Fs 较大时，要校核剪应力。(3)各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。32例例20 如图所示矩形截面悬臂梁承受均布载荷q作用，比较梁的最大正应力与最大切应力。33q=30kN/mAB60kN1m5m例例21图示梁为工字
13、形截面，已知=170MPa，=100MPa 试选择工字形梁的型号。解 (1)画Q、M图。FAY=112.5kN ；FBY=97.5kN(2)按正应力确定截面型号。336maxZZmaxmaxmm10930170104158.MWWM查表选36c型号cm929mm140cm17310zz4z.SI;b;I.bSIFbISFMPa72140109291051123zzsmaxzzsmaxmax(3)剪应力校核：(4)结论：选36c型号112.5kN52.5kN97.5kNxxFsM112.5kNm158.4kNm34解解 (1)确定支反力确定支反力。例例22悬臂梁由三根木板条胶合而成，在自由端作用
14、载荷P，截面尺寸如图所示，跨度l=1.2m，若在胶合面上胶、木之间的许用切应力为0.3MPa，木材的许用应力=10MPa和=1MPa，试求许可载荷P。z505050Pl1000AAAMiMPlMPl F0iAAFRPRP(2)绘制梁的内力图绘制梁的内力图。(3)确定许可载荷确定许可载荷P。351）木材正应力强度条件）木材正应力强度条件 6maxmax221.210 100.1 0.150.1 0.1566zMPlPW3.125kNP2)木材切应力强度条件木材切应力强度条件,max6max3331 10222 0.1 0.15SFPPAA 10kNP3)胶合面上胶、木之间切应力强度条件胶合面上胶
15、、木之间切应力强度条件,max6max30.05 0.1 0.050.3 100.1 0.150.112SzzFSPbI11.25kNP3.125kN4)许可载荷许可载荷P为为36F（L-x）FL例例23图示梁上作用有一移动荷载F=40kn，已知其截面为矩形 h/b=3/2，=10MPa，=3MPa，求求：b、h?ABF1mxz解解 (1)按正应力确定。maxmaxmaxMWMzkNm1041mm5021FlM;.lxoMx)xl(F)x(Mmax mm210mm14061101026maxhbbh(2)按剪应力确定。maxmaxmaxmaxmax5.1sszzsFAFbISFFF;lxxF)
16、x(FFF;x)xl(F)x(Fs1maxss1smaxss0 mm180mm12051maxhbbhF.b=140mm；h=210mm37 zmaxmaxWM bISFzzmaxsmaxmax一、合理安排梁的受力，减小弯矩一、合理安排梁的受力，减小弯矩FABL/2L/2Mmax=FL/4ABF/LMmax=FL/8P/LMmax=FL/400.2L0.2LF/2Mmax=FL/8L/4L/4F/24.10 提高弯曲强度的措施38AF.34331smmax 3231DWzz132z21.18 66W)R(bhWmmax51.)/DR(;Ra,aD241221时即1.在面积相等的情况下，选择抗弯
17、模量大的截面。zDaaz二、合理安排梁的截面，提高抗弯截面模量二、合理安排梁的截面，提高抗弯截面模量面积相等39m 2max z1433752)0.8-(132W.DWz122216714804 D.D,)D.(DD时当112121224 Da,aD时当z1312z4671 646W.abhWmmax51.2a1a1z0.8DDz40)AF.fsmmax(=32工字形截面与框形截面类似z15574W.Wz12222221051618024 D.a,a.aD时当0.8a2a22a21.6a2z412.根据材料特性选择截面形状。对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏
18、于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：Z42采用变截面梁，如右图：PX )()()(maxxWxMx bxMxh)(6)(若为等宽度矩形截面，则高为若为等宽度矩形截面，则高为 b5.1)(,bh(x)Fs1.5=maxFsxh 同时同时三、设计等强度梁三、设计等强度梁43小小 结结1.1.纯弯曲纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲。梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲。梁的横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲。2.2.横力弯曲：横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。梁的横截面上既有正应力又有
19、剪应力的弯曲。3.3.纯弯曲梁横截面上的正应力公式。纯弯曲梁横截面上的正应力公式。几何方面：几何方面：物理方面：物理方面：ry rEyE难点 静力方面：静力方面：10dAAN 20dAyAzM 3dMAyMAzzEIMr1445.5.强度条件：强度条件：max zWMmaxmaxztmaxtmaxI)My(zcmaxcmax)(IMy对Z轴不对称的截面4.4.正应力最大值的确定：正应力最大值的确定：zmaxcmaxtmaxWM对Z轴对称的截面zIMy弯曲正应力计算公式。弯曲正应力计算公式。6.6.强度计算。强度计算。(1)强度校核:max；重点重点458.8.其他截面梁：其他截面梁：bISFz
20、zs(1)工字形截面：AF34smax(2)圆形截面：AFsmax2(3)薄壁圆环：7.7.矩形截面矩形截面梁横截面上的剪应力：梁横截面上的剪应力：bISFzzsAF23smax max MWz 。max zWM maxMmaxmax;MM 结论结论对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面一个截面：对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面两个截面：(2)设计截面尺寸:(3)确定外核载:；4610.组合截面的弯曲梁。组合截面的弯曲梁。自由叠加自由叠加荷载均分，按各自的中性轴独自弯曲计算。胶合、铆合胶合、铆合按整体梁的中性轴整体弯曲计算。9.9.剪应力的强度计算。剪应力的强度计算。(1)(1)强度条件：强度条件：(2)(2)强度计算强度计算：校核强度；设计截面尺寸；确定外荷载。bISFzzmaxsmaxmax47
