1、有限元方法与应用有限元方法与应用温度场有限元分析温度场有限元分析张有为张有为 工程力学系工程力学系内容概要内容概要 热传导问题概述热传导问题概述 热传导问题基本方程热传导问题基本方程 稳态热传导分析有限元列式稳态热传导分析有限元列式 瞬态热传导分析有限元列式瞬态热传导分析有限元列式 平面稳态热传导分析实例平面稳态热传导分析实例热传导问题概述热传导问题概述热传导问题概述热传导问题概述FSW演示演示Laser演示演示热传导问题概述热传导问题概述热传导基本方程热传导基本方程在分析工程问题时，经常要了解工件内部的温度分布情况，例如发动机的在分析工程问题时，经常要了解工件内部的温度分布情况，例如发动机的
2、工作温度、金属工件在热处理过程中的温度变化、流体温度分布等。物体工作温度、金属工件在热处理过程中的温度变化、流体温度分布等。物体内部的温度分布取决于物体内部的热量交换，以及物体与外部介质之间的内部的温度分布取决于物体内部的热量交换，以及物体与外部介质之间的热量交换，一般认为是与时间相关的。在热量交换，一般认为是与时间相关的。在一般三维问题中，瞬态温度场的一般三维问题中，瞬态温度场的场变量场变量 在直角坐标中应在直角坐标中应满足满足下述热传导（下述热传导（Fourier热传导热传导）微分）微分方程方程,x y z t0 xyzckkkQtxxyyzz,k W/m KQ W/kg导热系数导热系数物
3、体内部的物体内部的热源密度热源密度比热容比热容密度密度升温需要的热量升温需要的热量由由x,y,z方向传入的热量方向传入的热量内部热源产生的热量内部热源产生的热量 温度场问题（热传导）基本方程温度场问题（热传导）基本方程3,c J/kg Kkg/m热传导基本方程热传导基本方程（1）给定物体边界上的温度，称为第一类边界条件）给定物体边界上的温度，称为第一类边界条件()xxyyzzaknknknhxyz,2q W/m热流密度热流密度对流换热系数对流换热系数 热传导问题的边界条件热传导问题的边界条件,2h W/mK 域的域的 边界条件边界条件123 1在在 边界上边界上xxyyzzknknknqxyz
4、2在在 边界上边界上3在在 边界上边界上（2）给定物体边界上的流量（输入或输出），称为第二类边界条件）给定物体边界上的流量（输入或输出），称为第二类边界条件（3）给定物体边界上的对流换热，称为第三类边界条件）给定物体边界上的对流换热，称为第三类边界条件当当q=0时为绝热边界条件时为绝热边界条件热传导基本方程热传导基本方程当在一个方向上，例如当在一个方向上，例如z方向温度变化为零时，瞬态温度场微分方程就退方向温度变化为零时，瞬态温度场微分方程就退化为二维问题的热传导微分方程化为二维问题的热传导微分方程0 xyckkQtxxyy(在在 内内)这时场变量不再是这时场变量不再是z的函数。场变量同时应满
5、足的边界条件是的函数。场变量同时应满足的边界条件是123 ()()()()xxyyxxyyaknknqxyknknhxy 在边界上在边界上在边界上 二维热传导问题基本方程及边界条件二维热传导问题基本方程及边界条件热传导基本方程热传导基本方程对于轴对称问题，在柱坐标中场函数应满足的微分方程是对于轴对称问题，在柱坐标中场函数应满足的微分方程是0rzcrk rk rrQtrrzz(在在 内内)边界条件是边界条件是123 ()()()()rrzzrrzzaknknqrzknknhrz 在边界上在边界上在边界上 轴对称热传导问题基本方程及边界条件轴对称热传导问题基本方程及边界条件热传导基本方程热传导基本
6、方程瞬态热传导问题分析的初始条件瞬态热传导问题分析的初始条件0 (当当t=0)瞬态热传导方程的解即为满足控制方程、初始及边界条件的场函数瞬态热传导方程的解即为满足控制方程、初始及边界条件的场函数 ，其应是，其应是坐标和时间的函数。坐标和时间的函数。,aq/0t 0 xyzkkkQxxyyzz 初始条件及三维稳态热传导问题基本方程初始条件及三维稳态热传导问题基本方程如果边界上如果边界上 及内部的及内部的Q不随时间变化，则经过一定时间的热交换后，物不随时间变化，则经过一定时间的热交换后，物体内个点温度也将不再随时间变化，即体内个点温度也将不再随时间变化，即 ，这时瞬态热传导方程就退，这时瞬态热传导
7、方程就退化为稳态热传导方程。三维问题的稳态热传导方程为化为稳态热传导方程。三维问题的稳态热传导方程为稳态热传导问题基本方程稳态热传导问题基本方程热传导基本方程热传导基本方程二维问题的稳态热传导方程为二维问题的稳态热传导方程为0 xykkQxxyy轴对称问题的稳态热传导方程为轴对称问题的稳态热传导方程为0rzk rk rrQrrzz(在在 内内)(在在 内内)二维及轴对称稳态热传导问题基本方程二维及轴对称稳态热传导问题基本方程稳态热传导分析有限元列式稳态热传导分析有限元列式 稳态热传导问题的变分原理（考虑各向同性）稳态热传导问题的变分原理（考虑各向同性）232222220akkkQ dkq dn
8、xyzkhhdn 0kkkQxxyyzz加权残量法加权残量法()xyzaknknknkhxyzn 1在在 边界上边界上xyzknknknkqxyzn2在在 边界上边界上3在在 边界上边界上稳态热传导分析有限元列式稳态热传导分析有限元列式分部积分分部积分123222222xyzkkkQ dxyzkkkkdxxyyzzkdxxyyzzknnndkxyzxx 123dyyzzkdkdnxxyyzz 232222220akkkQ dkq dkhhdnnxyz 1232323aakdkq dkhhdnnnqdhhd 稳态热传导分析有限元列式稳态热传导分析有限元列式230akkkQ dqdhhdxxyyz
9、z 分部积分分部积分10123222222kkkQ dxyzkdkdnxxyyzz 232222220akkkQ dkq dkhhdnnxyz 稳态热传导分析有限元列式稳态热传导分析有限元列式 稳态热传导问题的变分原理（考虑各向同性）稳态热传导问题的变分原理（考虑各向同性）230akkkQ dxxyyzzqdhhd 3222211122212qakkkQ dxyzq dhhd 0 由上式得出稳态热传导问题的变分原理如下由上式得出稳态热传导问题的变分原理如下是插值函数，它是是插值函数，它是 型插值函数，它亦具有性质型插值函数，它亦具有性质 稳态热传导分析有限元列式稳态热传导分析有限元列式将空间域
10、将空间域 离散为有限个单元体，在典型单元内各点的温度离散为有限个单元体，在典型单元内各点的温度 可以近似的用单可以近似的用单元的节点温度元的节点温度 插值得到插值得到i112(,)eeniiiinN x yNNNNN (,)iN x y0C0,(,)1,ijjjiN xyji1iN 温度插值温度插值稳态热传导分析有限元列式稳态热传导分析有限元列式 离散控制方程离散控制方程PKK热传导矩阵，热传导矩阵，P温度载荷列阵温度载荷列阵230akkkQ dxxyyzzqdhhd iiNN 稳态热传导分析有限元列式稳态热传导分析有限元列式矩阵矩阵K和和P的元素分别表示如下的元素分别表示如下 323 eee
11、eejjiiijxyijeeiiiqieeeNNNNKkkdhN N dxxyypN qdN hdNQd改写成单元集成的形式改写成单元集成的形式eeijijijeeKKHeeeiqiHiQieeepppp瞬态热传导分析有限元列式瞬态热传导分析有限元列式瞬态温度场与稳态温度场主要的差别是瞬态温度场的场函数温度不仅是瞬态温度场与稳态温度场主要的差别是瞬态温度场的场函数温度不仅是空间域的函数，而且还是时间域的函数。但是时间和空间两种域并不耦空间域的函数，而且还是时间域的函数。但是时间和空间两种域并不耦合，因此建立有限元格式时可以采用部分离散的方法。合，因此建立有限元格式时可以采用部分离散的方法。将空
12、间域离散为有限个单元体，在典型单元内温度仍可以近似的用节点将空间域离散为有限个单元体，在典型单元内温度仍可以近似的用节点温度插值得到，但要注意此时节点温度是时间的函数，即温度插值得到，但要注意此时节点温度是时间的函数，即 1,eniiiNx yt 瞬态热传导分析的插值形式瞬态热传导分析的插值形式瞬态热传导分析有限元列式瞬态热传导分析有限元列式0321321dhnzknyknxkwdqnzknyknxkwdwdQzkzykyxkxtcwazzyyxxzzyyxxzyx 等效积分形式等效积分形式瞬态热传导分析有限元列式瞬态热传导分析有限元列式230 xyzackkkQ dtxxyyzzqdhd 代
13、入上式并对代入上式并对W内的积分进行分部内的积分进行分部积分积分可得可得3210wwww令（伽辽金形式）令（伽辽金形式）瞬态热传导分析有限元列式瞬态热传导分析有限元列式CKp 由离散格式由离散格式则瞬态热传导问题离散方程则瞬态热传导问题离散方程 1,eniiiNx yt eeeijijijeeeijijijeeeeeiqiHiQieeeKKHCCcN N dpppp平面稳态热传导问题实例平面稳态热传导问题实例i(xi,yi)1j(xj,yj)2m(xm,ym)3xy假定单元上的温度呈线性变化，单元内任一点假定单元上的温度呈线性变化，单元内任一点(x,y)的温的温度可表示为度可表示为yaxaae
14、321解方程可以解方程可以得到得到321213132332121313223122123113123321212121xxxxxxAayyyyyyAayxyxyxyxyxyxAa333213232212131211yaxaayaxaayaxaa 三角形单元三角形单元平面稳态热传导问题实例平面稳态热传导问题实例记记3322111112yxyxyx三角形三角形ijm的面积的面积332211TNTNTNjmimjijmmjixxdyycyxyxbmmmjjjiiidcbdcbdcb,第一行、第二行、第三行各第一行、第二行、第三行各元素的代数余子式元素的代数余子式ydxcbNydxcbNydxcbN3
15、33322221111212121代入热传导矩阵，得到代入热传导矩阵，得到4jjeiiijijijNNNNkKkkdxdyc cd dxxyy平面稳态热传导问题实例平面稳态热传导问题实例C0C0C0C100-114xy1357924681012345678对称性 平面稳态问题实例平面稳态问题实例平面稳态热传导问题实例平面稳态热传导问题实例单元节点单元热传导矩阵12341 2 44 3 13 4 66 5 3k11 k12 k14k21 k22 k24k41 k42 k44k44 k43 k41k34 k33 k31k14 k13 k11k33 k34 k36k43 k44 k46k63 k64
16、 k66k66 k65 k63k56 k55 k53k36 k35 k33单元节点单元热传导矩阵56785 6 88 7 57 8 1010 9 7k55 k56 k58k65 k66 k68k85 k86 k88k88 k87 k85k78 k77 k75k58 k57 k55k77 k78 k710k87 k88 k810k107 k108 k1010k1010 k109 k107k910 k99 k97k710 k79 k77平面稳态热传导问题实例平面稳态热传导问题实例jijieijddcckK411012101124kddccddccddccddccddccddccddccddccdd
17、cckKmmmmjmjmimimmjmjjjjjijijmimijijiiiiiejmimjijmmjixxdyycyxyxb0PPK取取k=2平面稳态热传导问题实例平面稳态热传导问题实例0000000000211000000012010000001042100000012401000000104210000001240100000010421000000124010000001021000000011210987654321TTTTTTTTTT平面稳态热传导问题实例平面稳态热传导问题实例100010986421TTTTTTT10000410141014753TTT代入后代入后得到得到7857.2614286.778570.1753TTT1357924681012345678平面稳态热传导问题实例平面稳态热传导问题实例采用采用ABAQUS进行算例进行算例验证验证操作演示操作演示平面稳态热传导问题实例平面稳态热传导问题实例操作演示操作演示
