1、第一节第一节 空间直角坐标系与向量的概念空间直角坐标系与向量的概念 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 二、向量的基本概念及线性运算二、向量的基本概念及线性运算 三、向量的坐标表示三、向量的坐标表示 空间直角坐标系空间直角坐标系:过空间一个定点过空间一个定点 O，作三，作三条相互垂直的数轴，它们都以条相互垂直的数轴，它们都以 O为原点且一般具为原点且一般具有相同单位长度有相同单位长度,这三条数轴分别叫做这三条数轴分别叫做x轴（横轴（横轴）、轴）、y轴（纵轴）和轴（纵轴）和z轴（竖轴）轴（竖轴）.一般是将一般是将x轴轴和和y轴放置在水平面上轴放置在水平面上,那么那么z轴就垂直于水平面；轴就垂直
2、于水平面；它们的方向通常符合右手螺旋法则它们的方向通常符合右手螺旋法则,即伸出右手即伸出右手,让四指与大拇指垂直让四指与大拇指垂直,并使四指先指向并使四指先指向x轴轴,然后然后让四指沿握拳方向旋转让四指沿握拳方向旋转 90指指向向y轴轴,此时大拇指此时大拇指的方向即为的方向即为z轴方向轴方向.这样就构成了空间直角坐标这样就构成了空间直角坐标系，系，O称为坐标原点称为坐标原点.一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系坐标面：在空间直角坐标系中坐标面：在空间直角坐标系中,每两轴所确定的平每两轴所确定的平面称为坐标平面面称为坐标平面,简称坐标面简称坐标面.即即xOy坐标面、坐标面、yOz坐标坐标面和面和
3、zOx坐标面坐标面.O z x y zOx yOz xOy 卦限：在空间直角坐标系中卦限：在空间直角坐标系中,坐标面把空间分为八个坐标面把空间分为八个部分部分,每一个部分称为一个卦限每一个部分称为一个卦限.在在xOy坐标面上方有四坐标面上方有四个卦限个卦限,下方有四个卦限下方有四个卦限.含含 x 轴轴,y 轴和轴和 z 轴正向的卦限轴正向的卦限称为第卦限称为第卦限,然后逆着然后逆着轴轴 z 正向看时正向看时,按逆时针顺序依按逆时针顺序依次为次为,卦限卦限,对于分别位于对于分别位于,卦限下卦限下面的四个卦限面的四个卦限,依次为第依次为第,卦限卦限.O x y z 点的坐标：设点的坐标：设P为空间
4、的任意一点为空间的任意一点,过点过点 P作垂直作垂直于坐标面于坐标面xOy的直线得垂足的直线得垂足 P,过过 P分别与分别与x轴轴,y轴垂轴垂直且相交的直线直且相交的直线,过过 P作与作与z轴垂直且相交的直线轴垂直且相交的直线,依次依次得得,x y z轴 上 的三个 垂足轴 上 的三个 垂足.,RNM设设 ,x y z分 别 是分 别 是RNM,点在数轴上的坐标点在数轴上的坐标.这样空间内任一点这样空间内任一点 P就确就确定了惟一的一组有序的数组定了惟一的一组有序的数组 ,x y z,用用 (,)x y z表示表示.反之反之,任给出一组有序任给出一组有序数组数组,x y和和 z,也能确定了也能
5、确定了空间内惟一的一个点空间内惟一的一个点 P,而而 ,x y和和 z恰恰是点恰恰是点 P的坐的坐标标.z x O y N M),(z y x P P y R z x 根据上面的法则根据上面的法则,建立了空间一点与一组有序数建立了空间一点与一组有序数（x,y,z）之间的一一对应关系）之间的一一对应关系.有序数组有序数组(,)x y z称为点称为点P的坐标的坐标,x,y,z分别称为分别称为x坐标坐标,y坐标和坐标和z坐标坐标.1 1.向向量量的的基基本本概概念念 向向量量：既既有有大大小小又又有有方方向向的的量量称称为为向向量量（或或矢矢量量）.向向量量一一般般用用黑黑体体小小写写字字母母表表示
6、示,如如a,b,c等等.有有时时也也用用,a b c等等表表示示向向量量.几几何何上上,也也常常用用有有向向线线段段来来表表示示向向量量,起起点点为为M,终终点点为为N的的向向量量记记为为 MN.N M 二、向量的基本概念及线性运算二、向量的基本概念及线性运算向向量量的的模模：向向量量的的大大小小称称为为向向量量的的模模.用用|a，|b，|c，或或AB 表表示示向向量量的的模模.零零向向量量：模模为为0的的向向量量称称为为零零向向量量,记记为为0 0.规规定定零零向向量量的的方方向向为为任任意意方方向向.定义定义1 1 如果向量如果向量 a和和 b的大小相等且方向相同的大小相等且方向相同,则称
7、向量则称向量 a与与 b相等，记为相等，记为 ab.2 2.向量的线性运算向量的线性运算 (1 1)加加法法（平平行行四四边边形形法法则则）将将向向量量 a与与 b的的起起点点放放在在一一起起,并并以以 a和和 b为为邻邻边边作作平平行行四四边边形形,则则从从起起点点到到对对角角顶顶点点的的向向量量称称为为向向量量 a 和和 b 的的和和向向量量,记记为为 a+b.向向量量加加法法的的三三角角形形法法则则：把把 b的的起起点点放放到到向向量量 a的的终终点点上上,把把自自 a的的起起点点的的到到向向量量 b 的的终终点点的的向向量量为为ab.向量加法运算规律：向量加法运算规律：交换律：交换律：
8、abba；结合律：结合律：)()(cbacba.（2 2）向向量量与与数数的的乘乘法法 定定义义2 2 设设 为为一一实实数数,向向量量 a与与数数 的的乘乘积积是是一一个个向向量量,记记为为 a,并并且且规规定定：(1 1)|aa；(2 2)当当0时时 ,a与与a同同向向；当当0时时,a与与 a反反向向；(3 3)当当 =0 0时时,0a（零零向向量量）.a b a +b a b a +b 向量与数的乘法运算规律：向量与数的乘法运算规律：结合律：结合律：)()()(aaa ;分配律：分配律：a)(babaaa)(,;交换律：交换律：aa.同同向向的的单单位位向向量量：设设 a是是一一个个非非
9、零零向向量量,则则向向量量|aaa为为与与向向量量 a同同向向的的单单位位向向量量.定定义义 3 3 =-1 1 时时,记记aa)1(,则则 a与与 a的的方方向向相相反反,模模相相等等,称称 a为为 a的的负负向向量量（也也称称其其为为 a的的逆逆向向量量）.向量的减法：向量的减法：向量向量 a的的 b的差规定为的差规定为 )(baba.向量减法的三角形法则：向量减法的三角形法则：把把 a与与 b的起点放在一起的起点放在一起,即即 ab是以是以 b的的终点为起点终点为起点,以以 a的终点为终点的方向向量的终点为终点的方向向量.1 1.向径及其坐标表示向径及其坐标表示 向径：起点在坐标原向径：
10、起点在坐标原点点O,终点为终点为M的向量的向量OM 称为点称为点M的向径的向径,记记为为)(Mr或或OM.a b a+(-b)a-b -b 三、向量的坐标表示三、向量的坐标表示基基本本单单位位向向量量：在在坐坐标标轴轴上上分分别别取取与与 x轴轴,y轴轴和和 z轴轴方方向向相相同同的的单单位位向向量量称称为为基基本本单单位位向向量量,分分别别用用 i,j,k,表表示示.向径的坐标：向径的坐标：若 点若 点M的 坐 标 为的 坐 标 为(,)x y z,则 向 量则 向 量,OAx iOByj,OCzk由 向 量 的 加 法 法 则 得由 向 量 的 加 法 法 则 得 OM=OM+M M=(=
11、(OA+OB)+)+OC=xyzijk，称其，称其为点为点M(,)x y z的向径的向径OM 的坐标表达式，简记为的坐标表达式，简记为OM=zyx,.2.2.向量向量12M M的坐标表达式的坐标表达式 设设1111(,)Mx y z，2222(,)Mxyz为为坐坐标标系系中中两两点点，向向径径1OM,2OM 的的坐坐标标表表达达式式为为1111OMxyz ijk，2222OMxyz ijk ，则则以以 1M为为起起点点,以以 2M为为终终点点的的向向量量 12M M=21OMOM 222()xyzijk 111()xyzijk 212121()()()xxyyzzijk,即以即以1111(,)
12、Mx y z为起点为起点,以以2222(,)Mxyz为终点的向量为终点的向量12M M 的坐标表达式为的坐标表达式为 12212121()()()M Mxxyyzz ijk 3.3.向量向量123aaaaijk的模的模 任给一向量任给一向量123aaaaijk,都可将其视为以点都可将其视为以点M(1a,2a,3a)为 终 点 的 向 径为 终 点 的 向 径OM,2|OM=2|OA +2|OB+2|OC,即即 2|a=232221aaa,所 以 向 量所 以 向 量123aaaaijk的模为的模为 a=232221aaa.z A B C M M i k O x y j z O x y 1 M
13、2 M 4 4.空空间间两两点点间间的的距距离离公公式式 设设点点1M(1x,1y,1z)与与点点 2M(2x,2y,2z)，且且两两点点间间的的距距离离记记作作 )(21MMd,则则 )(21MMd=22212212121|()()()M Mxxyyzz.例例1 1 (1 1)写出点写出点)1,2,1(A的向径；的向径；(2)(2)写出起点为写出起点为)1,2,1(A,终点为终点为)0,3,3(B的向量的向量的的坐标表达式；坐标表达式；(3)(3)计算计算BA,两点间的距离两点间的距离.解解 (1 1)2OA ijk；(2 2)(3 1)(3 2)(0 1)AB ijk 2ijk；5.5.坐
14、标表示下的向量运算坐标表示下的向量运算 设设123aaaaijk,123bbbbijk ,则则有有 (1 1)112233()()()ababababijk;(2 2)123aaaaijk;(3 3)112233()()()ababababijk;(4 4)ab332211,bababa;(5 5)/ab332211bababa.(3)(3)222()|21(1)6d ABAB .思思考考题题 1 1.点点),(zyxM与与 x轴轴,xOy平平面面及及原原点点的的对对称称点点坐坐标标为为何何？2 2.下下列列向向量量哪哪个个是是单单位位向向量量？(1 1)kjir;(2 2)1,0,121a;
15、(3 3)31,31,31b.第二节第二节 向量的点积与叉积向量的点积与叉积 二、向量的叉积二、向量的叉积 一、向量的点积一、向量的点积 1 1.引引例例 已已知知力力 F与与 x轴轴正正向向夹夹角角为为 其其大大小小为为 F,在在力力 F的的作作用用下下,一一质质点点 M沿沿轴轴 x由由 ax 移移动动到到bx 处处,求求力力 F所所做做的的功功？解解 力力F在水平方向的分力大在水平方向的分力大小为小为cosxFF所以所以,力力F使质点使质点M沿沿x轴方向（从轴方向（从A到到 B）所做的）所做的功功 cos|WFba=|cosAB F,即力即力F使质点使质点M沿沿 x轴由点轴由点A移移动到动
16、到B点所做的功等于力点所做的功等于力F的模的模与位移矢量的模及其夹角余弦的与位移矢量的模及其夹角余弦的积积.A B b a F x O 一、向量的点积一、向量的点积2 2点点积积的的定定义义 定定义义1 1 设设向向量量 a与与 b之之间间夹夹角角为为(),则则称称数数量量|cosa b为为 a与与 b的的点点积积（或或数数量量积积）,并并用用ba表表示示,即即 ba=|cosa|b.例例1 1 已知基本单位向量已知基本单位向量kji,是三个相互垂直的单是三个相互垂直的单 位向量位向量,求证：求证：1kkjjii;0ikkjji.证证 因为因为 1kji，所以所以 1cos|iiii )0(.
17、同理可知：同理可知：1kkjj；又又因因为为kji,之之间间的的夹夹角角皆皆为为 2,故故有有 00112cos|jiji，同同理理可可知知 0ikkj.点点积积的的运运算算规规律律：交交换换律律：abba；分分配配律律：cabacba)(；结结合合律律：)()(bababa.3 3 点积的坐标表示点积的坐标表示 设设123aaaaijk,123bbbbijk，则，则 123123()()aaabbba bijkijk.故向量故向量 a321,aaa与与 b321,bbb的点积等于其相的点积等于其相应坐标积的和应坐标积的和.1a1b+2a2b+3a3b，则则由由向向量量点点积积知知向向量量 a
18、与与 b夹夹角角余余弦弦公公式式为为 cos|baba 232221332221332211bbbaaabababa（0 0 ）.向向量量垂垂直直的的条条件件：向向量量 a与与 b正正交交的的充充分分必必要要条条件件是是ab=0 0或或332211bababa=0 0.证证 因因为为 ab0)3(33231,所所以以 a与与 b正正交交.cos 2322211aaaa，cos2322212aaaa,cos 2322213aaaa,并并且且1coscoscos222.例例3 3 设设向向量量123aaaaijk与与x轴轴,y轴轴,z轴轴正正向向的的夹夹角角分分别别为为 ,称称其其为为向向量量 a
19、的的三三个个方方向向角角,并并称称cos,cos,cos为为向向量量 a的的方方向向余余弦弦,且且 222coscoscos1)(232221232221aaaaaa .cos|jaja2322212aaaa,cos|kaka2322213aaaa.证证 向向量量 i,j,k的的坐坐标标表表达达式式分分别别为为 1,0,0,0,1,0,0,0,1kji,于于是是有有 cos=|iaia2322211aaaa,1.引引例例 设设O点点为为一一杠杠杆杆的的支支点点,力力 F作作用用于于杠杠杆杆上上点点P处处,求求力力 F对对支支点点 O的的力力矩矩.解解 根根据据物物理理学学知知识识,力力 F对对
20、点点 O的的力力矩矩是是向向量量 M,其其大大小小为为|sinMdOP FF|sinF dFOP.其中其中d为支点为支点O到力到力F的作用线距的作用线距离离,为矢量为矢量F与与OP 的夹角的夹角.力矩力矩M的方向规定为：的方向规定为：OP,F,M依次依次符合右手螺旋法则符合右手螺旋法则.O F d P 二、向量的叉积二、向量的叉积因因此此,力力矩矩 M是是一一个个与与向向量量OP和和向向量量 F有有关关的的向向量量,其其大大小小为为|sinOPF,其其方方向向满满足足：（1 1）同同时时垂垂直直于于向向量量OP和和 F；（2 2）向向量量 OP,F,M依依次次符符合合右右手手螺螺旋旋法法则则.
21、定义定义2 2 两个向量两个向量 a和和 b的叉积（也称为向量的叉积（也称为向量积）是一个向量积）是一个向量,记作记作 ab,并由下述规则确定：并由下述规则确定：（1 1）),sin(bababa （2 2）ab的方向规定为的方向规定为:注注：a b既垂直于既垂直于 a又垂又垂 直于直于 b,并且按顺序并且按顺序 ,a b ab符符 合右手螺旋法则合右手螺旋法则.b a c=a b 若把若把a,b的起点放在一起的起点放在一起,并并以以a,b为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形,则向则向量量a与与b叉积的模叉积的模|ba =sin|ba 即为该平行四边形的面积即为该平行四边形的面积.（1 1）a
22、bba（反交换律）（反交换律）;（2 2）acabcba)(（左分配律左分配律）;（3 3）acabacb)(（右分配律右分配律）;（4 4）bababa)()(a b a b 例例 5 5 试试证证:0aakkjjii.证证 只证只证0 aa，因为，因为 a与与 a平行（即共线）平行（即共线）,所以其夹角所以其夹角0或或 ,从而从而0sin,因此因此 0sin|aaaa,而模为而模为0的向量为零向量的向量为零向量,所以所以 0 aa.定理定理 两个非零向量平行的充分必要条件是它们的叉两个非零向量平行的充分必要条件是它们的叉积为积为零向量零向量.设设123aaaaijk,123bbbbijk注
23、注 意意 到到0aakkjjii,及及kji,ikj,jik应应用用叉叉积积的的运运算算规规律律可可得得 2 33 23 11 31 22 1()()()a ba ba ba ba ba babijk.为了便于记忆为了便于记忆,可将可将 ba表示成一个三阶行列式表示成一个三阶行列式,计计算时算时,只需将其按第一行展开即可，只需将其按第一行展开即可，即即 ba311321bbbaaakji.解解 a b320121kji 2021)1(3011)1(3212)1(312111kji kji238.例例 7 7 求求同同时时垂垂直直于于向向量量368aijk及及 x轴轴的的单单位位向向量量.解解
24、因因为为kjia863,kjii001,所所以以,同同时时垂垂直直于于 a和和 x轴轴的的单单位位向向量量|)863(|iaikjiiaiac kjkj5354)68(101 即即为为所所求求的的两两个个单单位位向向量量.解解 因为因为kjiF32从支点从支点 B到作用点到作用点 A的向量的向量 (3 1)(1(2)(1 3)234BAijkijk 所所以以,力力F关关于于点点 B的的力力矩矩 234213BAijkMF =kji)62()86()49(=kji8145.例例 8 8 已已知知力力kjiF32作作用用于于点点)1,1,3(A处处,求求此此力力关关于于杠杠杆杆上上另另一一点点)3
25、,2,1(B的的力力矩矩.思考题思考题 1.1.若若 a与与 b为单位向量为单位向量,则则ba是单位向量吗？是单位向量吗？2 2.验证：验证：（1 1）cbacba)()(;（2 2）cbabcacba)()()(;（3 3）cacaa2|)(.第三节 平面与直线 一、平面的方程一、平面的方程 二、直线的方程二、直线的方程 三、两平面间、两直线间的位置关系三、两平面间、两直线间的位置关系 四、直线与平面的位置关系四、直线与平面的位置关系 第三节 平面与直线 平平面面的的法法向向量量:设设非非零零的的向向量量 n垂垂直直于于平平面面 ,则则称称 n为为平平面面 的的法法向向量量.问问题题：设设平
26、平面面 过过点点 0M),(000zyx,n=CBA,为为其其一一法法向向量量,求求平平面面 的的方方程程.设设点点M),(zyx是是平平面面 上上任任意意一一点点,则则0M M在在平平面面 上上,由由于于n,所所以以00M M n,而而,A B Cn，0000,M Mxxyyzz .故故 0)()()(000zzCyyBxxA (1)1)一、平面的方程一、平面的方程M 0 M n z O x y z O x y A B C 由于平面由于平面 上任意一点上任意一点M的坐标都满足方程的坐标都满足方程(1)1),而而不在平面不在平面 上的点上的点M的坐标都不满足方程的坐标都不满足方程(1).1).
27、因此因此,方程方程(1)1)即是所求的平面即是所求的平面 的方程的方程.此方程称为平面的点法式此方程称为平面的点法式方程方程.例例 1 1 求求由由点点)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(CBA所所确确定定的的平平面面方方程程.解解 向向量量 110101AB ACijknijk与与平平面面垂垂直直,是是它它的的一一个个法法向向量量.过过点点)0,0,1(A,且且以以kjin为为法法向向量量的的平平面面方方程程为为 0)0(1)0(1)1(1zyx,整整理理得得 1zyx.2 2.平面的一般式方程平面的一般式方程 过点过点),(0000zyxM,且以且以 nA,B,C为法向量的点为法
28、向量的点法式平面方程法式平面方程 0)()()(00zzCyyBxxA 整理得整理得 0DCzByAx (2)(2)即平面即平面 的方程的方程(1 1)可以写出形如式可以写出形如式(2 2)的三元一次方的三元一次方程程.反过来反过来,设给定三元一次方程设给定三元一次方程0DCzByAx，点，点),(000zyx的坐标为方程的坐标为方程(2 2)的一组解的一组解,代表一平面方程代表一平面方程.称称方程方程(2 2)为平面的一般式方程为平面的一般式方程.例例 2 2 求求过过点点)1,1,0(),1,0,0(),0,0,0(21BBO的的平平面面方方程程.解解 点点)1,1,0(),1,0,0()
29、,0,0,0(21BBO不不在在一一直直线线上上,所所以以,这这三三点点惟惟一一确确定定一一平平面面,令令所所求求平平面面方方程程为为 0DCzByAx 将将三三点点坐坐标标分分别别代代入入上上式式得得 011001000000DCBADCBADCBA(1),(2),(3),由方程由方程(1)(1)得得0D,再由再由(2)(2)的的0C再将再将0,0DC代入方程代入方程)3(知知0B,于是得于是得0Ax)0(A即即 0 x为所求为所求平面方程，且平面方程，且yOz面的方程即为面的方程即为 0 x.例例 3 3 试试写写出出与与yOz面面平平行行,且且过过 x轴轴上上的的点点 )0,0,1(的的
30、平平面面方方程程.解解 因因为为 x轴轴垂垂直直于于yOz面面,所所以以,x轴轴上上的的单单位位向向量量 i 可可作作为为与与yOz面面平平行行的的平平面面的的法法向向量量 n，即即 0,0,1 in，所所以以，过过点点)0,0,1(,且且以以)0,0,1(为为法法向向量量的的平平面面方方程程为为 0)0(0)0(0)1(1yxx,整整理理得得 1x,即即 1x表表示示过过点点)0,0,1(且且与与yOz面面平平行行的的平平面面方方程程.z O x y 2 z O x y 1 z O x y 1 1 A B C c a b z O x y 例例 4 4 描描绘绘出出下下列列平平面面方方程程所所
31、代代表表的的平平面面：1 1.直直线线的的点点向向式式方方程程 直直线线的的方方向向向向量量：设设非非零零向向量量 s平平行行于于直直线线 L,则则称称s为为直直线线 L的的方方向向向向量量.问题：设直线问题：设直线 L过点过点),(0000zyxM并且并且 m,n,ps为其一方向向量为其一方向向量,求直线求直线 L的方程的方程.设点设点),(zyxM为直线为直线 L上任一点上任一点,由于由于0M M在直在直线线 L上上,所以所以0/M M s,即即 0M Mts(t为实数为实数),),而而 0000,M Mxxyy zz.二、直线的方程二、直线的方程因因此此,有有 000,xxtmyytnz
32、ztp 即即000,xxmtyyntzzpt (3 3)因因为为直直线线 L上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足式式(3 3),而而不不在在直直线线 L上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足式式(3 3),所所以以式式(3 3)是是直直线线 L的的方方程程,并并称称式式(3 3)为为直直线线的的参参数数方方程程,其其中中 t为为参参数数.在在式式(3 3)中中,消消去去参参数数 t,即即有有 pzznyymxx000 ,(4 4)式式(4 4)中中),(000zyx是是直直线线 L上上已已知知点点,pnm是是 L的的方方向向向向量量,因因此此,式式(4 4)称称为为直直线线 L的的点点向
33、向式式方方程程.说明说明：因为：因为0s,所以所以pnm,不全为零不全为零,但当有一个但当有一个为零为零,例如例如0m时时,式式(4 4)应理解为应理解为 0000,xxyyzznp 当有两个为零时当有两个为零时,例如例如0 nm,式式(4 4)应理解为应理解为 000,0.xxyy 例例 5 5 求求过过两两点点)3,2,3(),1,1,1(21MM的的直直线线 L的的方方程程.解解 直直线线L的的方方向向向向量量 123 1,2 1,3 1M M s2,1,2,因此因此,过点过点)1,1,1(1M,且以且以2,1,2s 为方向向量的直线为方向向量的直线 L的的方程为方程为 211121zy
34、x.2 2直直线线的的一一般般式式方方程程 空间直线也可看作两平面的交线空间直线也可看作两平面的交线,所以可用这两个所以可用这两个平面方程的联立方程组来表示直线方程平面方程的联立方程组来表示直线方程,即即 111122220,0,A xB yC zDA xB yC zD (5 5)由于两平面相交由于两平面相交,故式故式(5 5)中的中的111,CBA与与222,CBA不不成比例成比例(即法向量即法向量1111,A B Cn与与2n222A,B,C不平不平行行),),称式称式(5 5)是直线是直线 L的一般式方程的一般式方程.例例 6 6 写出直线写出直线 L:2330,3250 xyzxyz的
35、点向式方程的点向式方程 .解解 先先在在直直线线 L:2330,3250 xyzxyz上上选选取取一一点点,为为此此,令令0z,得得23,35,xyxy 解解之之得得2,1yx,即即点点)0,2,1(0M为为直直线线 L上上的的一一个个点点.直直线线L的的方方向向向向量量 2,1,33,2,1s=213321kji =kji711,则则直直线线L的的点点向向式式方方程程为为 7011211zyx.例例7 7 设平面设平面1的方程为的方程为0122zyx,平面平面 2的方程为的方程为05 yx,求求1与与 2的夹角的夹角.解解 两两平平面面的的夹夹角角即即为为其其法法向向量量的的夹夹角角,设设
36、1的的法法向向量量为为1n,2的的法法向向量量为为 2n,则则 0,1,1,2,1,221nn,2222221210)1(12)1(202)1()1(12cosnnnn 22233,即即 2arccos24为两平面为两平面 12,的夹角的夹角.两两平平面面间间的的位位置置完完全全由由其其法法向向量量决决定定,因因此此两两平平面面平平行行（垂垂直直）的的充充要要条条件件是是法法向向量量互互相相平平行行（垂垂直直）；同同样样两两直直线线间间的的位位置置关关系系完完全全由由其其方方向向向向量量决决定定,因因此此,两两直直线线平平行行（垂垂直直）的的充充要要条条件件是是其其方方向向向向量量互互相相平平
37、行行（垂垂直直）.例例9 9 试证直线试证直线332211:1zyxL与直线与直线 235342:2zyxL 垂直垂直 .证证 因为因为1L的方向向量为的方向向量为3,2,11s,2L的方向向量的方向向量为为2,5,42s,而而 )2(352)4(121ss41060 ,所以所以21ss,21LL,证毕证毕.三、两平面间、两直线间的位置关系三、两平面间、两直线间的位置关系例例 1 10 0 试试 证证 平平 面面1:25460 xyz与与2:244110 xyz垂垂直直；而而2与与平平面面311:2202xyz平平行行.证证 因为因为 1的法向量的法向量4,5,21n,2的法向量的法向量4,4
38、,22n,3的法向量的法向量2,2,13n,由于由于044)4(52221nn,所以所以21nn,即即12.又由于又由于 32nn 所以所以 32/nn,即即 32/.直直线线与与它它在在平平面面上上的的投投影影线线间间的的夹夹角角 (0 0 2),称称为为直直线线与与平平面面的的夹夹角角(如如右右下下图图).设设直直线线 L的的方方向向向向量量为为 s,平平面面 的的法法向向量量为为 n,向向量量 s与与 n间间的的夹夹角角为为 ,则则2 (或或2),所所以以|cos|sinnsns.n z O x y s L 四、直线与平面的位置关系四、直线与平面的位置关系例例 1 11 1 讨讨 论论
39、直直 线线 L:36552zyx和和 平平 面面:x151259 zy的的位位置置关关系系.解解 由于直线由于直线 L的方向向量的方向向量 3,5,2s，平面，平面 的法向量的法向量 5,9,15n，所以，所以,直线直线 L与平面与平面 的夹的夹角角 的正弦的正弦 sin|s ns n=2222222 155(9)3 502531595 ,所以所以,0,即直线即直线 L与平面与平面 平行或直线平行或直线 L在在平面平面 内内.容易验证直线容易验证直线 L上上(0,2,6)(0,2,6)在平面在平面 上上.所以直线所以直线 L在平面在平面 上上.思考题思考题 1.1.写出下列平面方程：写出下列平
40、面方程：（1 1）xOy平面；（平面；（2 2）过轴）过轴 z的平面；的平面；（3 3）平行与）平行与zOx的平面；（的平面；（4 4）与）与zyx,轴正向截距相轴正向截距相等的平面等的平面.2 2.用一般式用一般式111122220,0A xB yC zDA xB yC zD表示空间直线的表示空间直线的表达式是否惟一表达式是否惟一,直线直线0,23xyxy与与0,230 xyxy有何关有何关系？系？第四节第四节 曲面与空间曲线曲面与空间曲线 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念 二、母线平行于坐标轴的柱面二、母线平行于坐标轴的柱面 三、旋转曲面三、旋转曲面 四、二次曲面四、二次曲面 五、空间
41、曲线及其在坐标面上的投影五、空间曲线及其在坐标面上的投影 第第四四节节 曲曲面面与与空空间间曲曲线线 定 义定 义 如果 曲面如果 曲面上每一点 的坐标 都满足方程上每一点 的坐标 都满足方程0),(zyxF；而不在曲面；而不在曲面上的点的坐标都不满足这个方上的点的坐标都不满足这个方程程,则称方程则称方程0),(zyxF为曲面为曲面的方程的方程,而称曲面而称曲面为为此方程的图形此方程的图形.例例1 1 求求与与两两定定点点1(1,1,0)M，2(2,2,1)M等等距距离离的的点点的的轨轨迹迹方方程程.解解 设设),(zyxM为 轨 迹 上 的 点为 轨 迹 上 的 点,按 题 意 有：按 题
42、意 有：12MMMM 写成坐标形式写成坐标形式,即即 222222(1)(1)(0)(2)(2)(1)xyzxyz 化简化简,得得 2227xyz 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念例例2 2 求求球球心心在在),(000zyx,半半径径为为R的的球球面面方方程程.解解 设定点设定点0M的坐标为的坐标为),(000zyx,则点则点),(zyxM在在以以0M为球心为球心,以以R为球半径的球面上的充要条件为为球半径的球面上的充要条件为 RMM0,即即 Rzzyyxx202020)()()(,两边平方两边平方,得得 2202020)()()(Rzzyyxx 经验证经验证，上式就是以，上式就是以),
43、(0000zyxM为球心为球心,以以R为球半径的为球半径的球面方程球面方程.当当0000zyx时时,则得球心在坐标原点的球面方则得球心在坐标原点的球面方程为程为2222Rzyx.柱柱面面：直直线线 L沿沿定定曲曲线线 C平平行行移移动动所所形形成成的的曲曲面面称称为为柱柱面面定定曲曲线线 C称称为为柱柱面面的的准准线线,动动直直线线 L称称为为柱柱面面的的母母线线.L C L 二、母线平行于坐标轴的柱面二、母线平行于坐标轴的柱面1 1.圆圆柱柱面面方方程程 设设一一个个圆圆柱柱面面的的母母线线平平行行于于 z轴轴,准准 C线线是是 xOy平平面面上上以以原原点点为为圆圆心心,R为为半半径径的的
44、圆圆.在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中,准准线线 C的的方方程程为为222Ryx,求求该该圆圆柱柱面面的的方方程程.在在圆圆柱柱面面上上任任取取一一点点),(zyxM,过过点点 M的的母母线线与与 xOy平平面面的的交交点点 )0,(0yxM一一定定在在准准线线 C上上,必必定定满满 足足方方程程222Ryx；反反之之,不不在在圆圆柱柱 面面上上的的点点,它它的的坐坐标标不不满满足足这这个个方方 程程,于于是是所所求求圆圆柱柱面面方方程程为为 222Ryx.z O x y M 0 M 2.2.准线在坐标面上母线垂直于该坐标面的柱面方程准线在坐标面上母线垂直于该坐标面的柱面方程 一般来说一般
45、来说,如果柱面的准线是如果柱面的准线是 xOy面上的曲线面上的曲线 C,它在平面直角坐标系中的方程为它在平面直角坐标系中的方程为0),(yxf,那么那么,以以 C为准线为准线,母线平行于母线平行于 z轴的柱面方程就是轴的柱面方程就是0),(yxf.类似地类似地,方程方程0),(zyg表示母线表示母线平行于平行于 x轴的柱面轴的柱面.方程方程0),(zxh表示母线平行于表示母线平行于 y轴的柱面轴的柱面.在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱下，含两个变量的方程为柱面方程，并且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行面方程，并且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐
46、标轴于哪一个坐标轴.例例3 3 方程方程12222byax,12222byax,02,2 pyx分别表分别表示母线平行于示母线平行于 z轴的椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面轴的椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面.如下如下图所示图所示,由于这些方程都是二次的由于这些方程都是二次的,因此称为二次柱面因此称为二次柱面.x y O z y O x z y O x z 旋转曲面：一平面曲线旋转曲面：一平面曲线 C绕同一平面上的一条定绕同一平面上的一条定直线直线 L旋转所形成的曲面称为旋转曲面旋转所形成的曲面称为旋转曲面.曲线曲线 C称为称为旋转曲面的母线旋转曲面的母线,直线直线L称为旋转曲面的轴称为旋转曲面的轴.
47、坐坐标标面面上上曲曲线线绕绕坐坐标标轴轴旋旋转转所所成成的的旋旋转转曲曲面面方方程程 设设在在yOz平平面面上上有有一一条条已已知知曲曲线线 C,它它在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中的的方方程程是是0),(zyf,求求此此曲曲线线 C绕绕 z轴轴旋旋转转一一周周所所形形成成的的旋旋转转曲曲面面的的方方程程.在在旋旋转转曲曲面面上上任任取取一一点点),(zyxM,设设这这点点是是由由母母线线上上 点点),0(111zyM 绕绕z轴轴旋旋转转一一定定角角度度而而得得到到.于于是是 0),(22zyxf 反反之之，不不在在曲曲面面上上的的点点不不满满足足上上面面方方程程，此此方方程程为为旋旋转转
48、曲曲面面方方程程.O 1 O M),0(1 1 1 z y M x y z 三、旋转曲面三、旋转曲面同理同理,曲线曲线 C绕绕 y轴轴旋转旋转的旋转曲面方程为的旋转曲面方程为 0),(22zxyf.例例 4 4 求由求由yOz平面上的直线平面上的直线 )0(kkyz绕绕 z轴旋转所形成的旋转曲面方程轴旋转所形成的旋转曲面方程.解解 在方程中在方程中,把把y换成换成22yx 得所求方程为得所求方程为 22yxkz,即即 )(2222yxkz.此曲面为顶点在原点此曲面为顶点在原点,对对称称 轴为轴为z轴的圆锥面轴的圆锥面(如如右图右图).z x y O 1 1.椭椭球球面面 方方程程 122222
49、2czbyax )0,0,0(cba,所所表表示示的的曲曲面面称称为为椭椭球球面面,cba,称称为为椭椭球球面面的的半半轴轴.二次曲面：在空间直角坐标系中二次曲面：在空间直角坐标系中,若若0),(zyxF是二是二次方程次方程,则它的图形称为二次曲面则它的图形称为二次曲面.截痕法：用一系列平行于坐标面的平面去截曲面截痕法：用一系列平行于坐标面的平面去截曲面,求求得一系列的交线得一系列的交线,对这些交线进行分析对这些交线进行分析,从而把握曲面的从而把握曲面的轮廓特征轮廓特征,这种方法称为截痕法这种方法称为截痕法.z x y O 四、二次曲面四、二次曲面当当ba 时时原原方方程程化化为为122222
50、czayx，它它是是一一个个椭椭圆圆绕绕z轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转椭椭球球面面.当当cba时时,原原方方程程化化为为 2222azyx ，它它是是一一个个球球心心在在坐坐标标原原点点,球球半半径径为为 a的的球球面面.2.2.椭圆抛物面椭圆抛物面 方程方程22(0,0)22xyzpqpq所表示的曲面称为椭所表示的曲面称为椭圆抛物面圆抛物面.由方程由方程zqypx2222知知,z 0,故曲面在故曲面在xOy平面的下方平面的下方无无图形图形.z x y O 方方程程1222222czbyax )0,0,0(cba所所表表示示的的曲曲面面称称为为单单叶叶双双曲曲面面.方方程程1222222c
