1、 项目2.1向量的概念案例导入 遇到问题,调整好状态应对吧!图2-1图2-2图2-3图2-4项目2.2向量的加减2.2.1向量的加法案例导入遇到问题,调整好状态应对吧!如图2-5所示,车床在加工一根轴时,刀头先从A点出发,向前移动到B点,再向左平移到C点后开始切削,到D点位置切削结束,图2-5刀头退出到E点.根据每段过程刀头的位移探究:(1)+=;(2)+=.【分析】根据位移的概念可知,位移是质点的相对位置移动,与质点的运动路线无关.1.向量加法的三角形法则 如图2-6a所示,=a,=b,则就是向量a和向量b的和,记作:a+b=+=,这就是向量加法的三角形法则.图2-6b所示的是两个平行(共线
2、)向量和的特殊情况.图2-62.向量加法运算律(1)加法交换律 a+b=;(2)加法结合律(a+b)+c=.3.向量加法的平行四边形法则如图2-7所示,以向量=a、=b为边作平行四边形ABCD,那么对角线就是向量a、b的和,即a+b=+=+=,这个法则叫做向量求和的平行四边形法则.图2-7 1.如图2-8所示,已知下列各组向量a,b,求a+b.图2-8图2-92.如图2-9所示,填空:习题1.一架飞机向北飞行300km,然后改变方向向西飞行300km,求飞机飞行的总路程和总位移.图2-102.现有一辆小车在农耕路上抛锚,村里的农民赶来一匹牛和一匹马来帮助车主拉车(图2-10).已知牛的拉力F1
3、的大小为30 0N,马的拉力F2的大小为200N,两根绳子之间的夹角为30,则牛和马拉小车的合力有多大?2.2.2向量的减法案例导入 遇到问题,调整好状态应对吧!某轮船计划从江的西岸A处向正对岸B处以4m/s的速度前进,水流速度为3m/s,方向向南,求船长应执行航行的速度的大小和方向.图2-11【分析】如图2-11所示,船要沿AB线行进,则在行驶中还需克服水流向南的影响,所以船实际航行的方向应该是向东偏北.由向量的加法可知,船本身的速度和水流速度的合速度为4m/s,方向向正东.这样,问题就转化为已知向量和向量,并且+=,求的大小和方向.叫做向量a与b的差,图2-12 1.向量的差如图2-12所
4、示,已知向量a,b,作=a,作=b,则b+=a.向量并记作a-b,即=-=-.2.向量差的求法如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是减向量的 点到被减向量的 点的向量.3.相反向量与向量a等长且方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a,并有a+(-a)=0.图2-13例1如图2-13所示,已知平行四边形ABCD中,=a,=b,用a与b分别表示向量,.【解】连结AC,DB,由向量加法的三角形法则,得=+=a+b,依向量减法的定义得=-=a-b.1.如图2-14所示,已知下列各组向量a,b,求作a-b.图2-14项目2.3数乘向量2.3.1数乘向量的概念案例导入遇到问题,调整好状态应对吧
5、!(1)请根据向量的加法,作出图2-16中所给向量的和.图2-16(2)请测量表示向量a的有向线段的长度,以及上题中你用于 表示向量和的有向线段的长度,并观察它们的方向与向量a的关系.(3)观察2个-a相加,其方向、长度与向量-a的关系.(4)思考:若将图2-16b中的5个改为个,则它们的向量和是什么?如何表示?【分析】通过观察,不难发现,2个或5个a相加后,仍是一个向量.通过测量,向量2个a与向量5个a的长度分别是向量a长度的2倍与5倍,它们的方向均与向量a相同.而2个向量-a相加时,其方向与向量-a相同,与向量a的方向相反,长度是向量-a长度的2倍,若将图2-16b中的5改为,则它们的向量
6、和就是个a.数乘向量的一般定义:实数和向量a的乘积是一个向量,记作a,|a|=|a|.a的方向:如果a0,当0时,与a的方向 ;当0时,与a的方向 ;当=0或a=0时,0a=0=0.a中的实数,叫做向量a的系数.数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.数乘向量运算满足下列运算律:设、为实数,则(1)(+)a=+;(2)(a)=;(3)(a+b)=+.想一想你能用实际数值来验证上述运算律吗?2.求未知向量x:(1)x+2(a+x)=0;(2)3a+4(b-x)=0;(3)(a+2b)-(5a-2b)+x=0.3.如图2-17所示的平行四边形ABCD,填空:图2-172.
7、3.2向量平行的条件案例导入 遇到问题,调整好状态应对吧!如果向量a、b均为非零向量,并且a=-3b,那么,你能判断向量a与b的位置关系吗?如果是a=b(0)呢?【分析】由数乘向量可知,向量-3b是将向量b延长3倍,而且方向相反.所以,向量a与b的位置关系应该是共线或平行.同理,对于a=b(0),两者的位置关系还是共线或平行.1.向量的平行如果一些向量的基线互相平行或重合,则称这些向量互相平行.数学上规定零向量与任何一个向量 .2.平行向量基本定理如果向量b0,则ab的充分必要条件是:存在唯一实数,使a=b.即如果b0,则ab a=b(R).图2-183.单位向量给定一个非零向量a,与a同方向
8、且长度等于 的向量叫单位向量.a的单位向量通常记作a0,由数乘向量的定义可知:a=|a|a0或 a0=.例如图2-18所示,MN是ABC的中位线,求证:MN=BC,且MNBC.1.如图2-19所示,已知e1,e2,用e1,e2表示向量a,b,c,d.图2-192.根据下列各题中的条件,判断四边形ABCD是哪种四边形:项目2.4向量的直角坐标2.4.1向量的分解案例导入 遇到问题,调整好状态应对吧!如图2-20所示,放在水平地面上的木块,受到斜向上方的拉力F,沿地面向右匀速运动.木块在此过程中受到哪些力的作用,它沿水平地面向前运动的引力从何而来?图2-20【分析】木块在没受到斜上方的拉力时,受到
9、重力和地面对它的支持力,而力F对它实际上产生两个方向上的作用:竖直向上的拉力F1和水平向右的拉力F2.竖直向上的拉力“抵消”了部分重力;水平向右的拉力则是使木块沿水平地面向右运动的“引力”,由于木块匀速前进,所以它的大小等于木块与地面之间的摩擦力.1.平面向量分解定理如果e1和e2是同一平面上的两个不平行的向量,那么对该平面上的任一向量a,存在唯一一对实数a1,a2,使a=a1e1+a2e2.这个定理告诉我们:任何一个向量都可以沿两个不平行的方向分解为唯一一对向量的 .特别地,一个向量分解为两个相互垂直的向量之和时,叫做向量的正交分解,图2-20中,拉力F在水平方向和竖直方向分解为F1、F2,
10、就是向量的 .正交分解在力学分析中应用尤为广泛.2.线性组合a1e1+a2e2叫做e1和e2的线性组合.想一想在上节内容的练一练第一题中,你能从向量分解的角度来解释如何用e1、e2表示其他四个向量吗?由平面向量分解定理可知,如果e1和e2不平行,那么e1和e2的所有线性组合a1e1+a2e2构成平面上的全体向量,这时e1,e2叫做平面上全体向量的一个基底,e1,e2叫做基向量.例1 如图2-21所示,已知向量e1、e2,用e1、e2表示向量,.【解】由图可得,=3e1+2e2;=-2e1+e2;=6e1-3e2;=-3e1+3e2.图2-21例2如图2-22所示,ABCD的两条对角线相交于点M
11、,设=a,=b,用向量a、b表示、.图2-22 1.如图2-23所示,用向量e1、e2表示向量,.图2-232.如图2-24所示,已知 ABCD的两条对角线相交于点M,设=a,=b,用向量a、b表示,.3.如图2-25所示,两人提一桶水,两人手臂间的夹角大些省力,还是小些省力?说明理由.图2-24图2-252.4.2向量直角坐标的概念案例导入遇到问题,调整好状态应对吧!图2-26如图2-26所示,在平面直角坐标系中,分别在x轴和y轴上取单位向量e1、e2.向量a的起点、终点所对坐标为(1,1),(4,4),你能用e1、e2表示a吗?【分析】根据向量的正交分解可知,向量a可看成是3e1和3e2的
12、和,所以a=3e1+3e2.想一想对于平面直角坐标系中的任一向量b,能用案例中的e1、e2来表示吗?在直角坐标系Oxy内,取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1、e2,则对Oxy平面内的任一向量a,由平面向量分解定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得a=+,(1)图2-27(x,y)叫做向量a在直角坐标系Oxy中的坐标,记作a=(x,y).(2)实际上,(2)式只是(1)式的缩写.其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.e1、e2叫做直角坐标平面上的 .想一想请写出以下向量的坐标:e1=,e2=,0=.例 如图2-27所示,试用向量e1、e2表示向量a、b、c、d,并求出
13、它们的坐标.【解】a=3e1+2e2=(3,2);b=-2e1+4e2=(-2,4);c=-2e1-2e2=(-2,-2);d=2e1-3e2=(2,-3).2.4.3向量的直角坐标运算案例导入 遇到问题,调整好状态应对吧!已知a=(1,2),b=(2,3),在直角坐标系中求以下向量的坐标:(1)a+b;(2)a-b;(3)2a.同时探究它们的坐标和a、b的坐标有何关系.【分析】通过作图法,利用向量加减的三角形法则或平行四边形法则,不难求出两个向量的和与差,再利用基底法就能得到(1)和(2)题的坐标:(1)a+b=(3,5);(2)a-b=(-1,-1).通过作图,将a延长一倍即可得2a,由三
14、角形相似的相关知识即可得2a的坐标为(2,4).通过比较,不难发现,两个向量的和与差的坐标,等于两个向量相应坐标的和与差;数乘向量所得向量的坐标,等于数乘上向量的相应坐标.设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a+b=(a1,a2)+(b1,b2)=(,);a-b=(a1,a2)-(b1,b2)=(,);a=(a1,a2)=(,).想一想你能证明上边的式子吗?(提示:a=(a1,a2)=a1e1+a2e2,b=(b1,b2)=b1e1+b2e2.)向量的直角坐标运算,开辟了几何问题用代数方法解决的途径,对向量的广泛应用有重要意义.由于a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a=b可化为
15、(a1,a2)=(b1,b2)=(b1,b2),即a1=b1(1)a2=b2(2)(1)、(2)两式的两边分别乘以b2、b1,得a1b2=b1b2(3)a2b1=b2b1(4)(3)-(4)得a1b2-a2b1=0(5)想一想前面我们已了解向量平行的条件:如果b0,则aba=b(?R).我们能否从坐标角度判断两个向量平行的充要条件?(5)式就是两个向量平行的充分必要条件.如果向量b不与坐标轴平行,那么b1、b2均不为零,(5)式还可以转化为=(6)例1已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标.【解】a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);图2-28a-b
16、=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).例2如图2-28所示,已知点A(x1,y1)、B(x2,y2),求向量的坐标.【解】=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)例3已知a=(4,2),b=(6,y),且a/b,求y.【解】因为a/b所以4y-26=0则y=3.1.已知向量a、b的坐标,求a+b,a-b的坐标:(1)a=(-2,4),b=(5,2);(2)a=(4,3),b=(-3,8);(3)a=(2,3),b=(-2,-3);(4)a=(3,0),b=(0,4).2.已知a=
17、(3,1),b=(-1,4),求4a+3b的坐标.3.已知A,B两点的坐标,求,的坐标:(1)A(3,5),B(6,9);(2)A(-3,4),B(6,3);(3)A(3,0),B(0,5);(4)A(-3,6),B(-8,-7).4.已知点A(-2,-1),B(0,4),且a=(1,y),若a,求y.5.已知点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1),求证:.6.已知点A(-1,1),B(0,-2),C(3,0),D(2,3),求证:四边形ABCD是平行四边形.1.如图2-29所示,用向量e1、e2表示向量a、b、c、d.2.如图2-30所示,在ABC中,点D、E分别是AB、B
18、C的中点,设=a,=b,试用a、b表示向量,.图2-29图2-303.已知a=(4,3),b=(-2,0),c=(0,6),求3a+b-2c的坐标.4.已知a=(1,2),b=(2,3),实数x,y满足等式xa+yb=(3,4),求x,y.5.已知向量a和它始点A的坐标,求向量终点B的坐标:(1)a=(-2,1),A(0,0);(2)a=(1,3),A(-1,5);(3)a=(-2,-5),A(3,7).6.当x为何值时,a=(2,3)与b=(x,-6)共线?7.已知点A(-2,-3),B(2,1),C(1,4),D(-7,-7),问与是否平行?8.已知 ABCD的顶点A(-1,-2),B(3
19、,-1),C(5,6),求顶点D的坐标.项目2.5向量的内积2.5.1向量的内积及其运算律案例导入遇到问题,调整好状态应对吧!在物理学中,我们经常遇到一个力做了多少功的问题.如图2-31所示,拉力F拉着木块匀速前进,使木块发生位移s,那么在此过程中F究竟做了多少功?图2-31【分析】要求力做功多少,关键在于要知道物体在力的方向上移动的距离.如图2-31所示,木块的位移s是水平方向,那么拉力F所做的功应该是它在水平方向上的分力F2.由三角函数可知,|F2|=|F|cos,所以在此过程中,拉力对木块所做的功W=|F|s|cos.由力所做的功出发,我们引入向量的内积运算.1.向量内积的概念已知两个非
20、零向量a和b,将它们的始点置于一起时,两个向量间便有夹角(0180),这便是向量a与b的夹角.当=0时,a与b的方向 ;当=180时,a与b的方向 ;当=90时,我们说a与b ,记作 .已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量|a|b|cos叫做a与b的内积(也叫做数量积),记作ab,即ab=|a|b|cos.想一想两个向量的内积还是向量吗?和呢?差呢?数乘向量呢?规定零向量与任一向量的内积为0.由向量的内积的定义,我们可以发现,案例导入中的拉力F所做的功就是向量F和s的内积.2.向量内积的性质由向量内积的定义,可以得到向量内积有如下重要性质:设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单
21、位向量,是a与e的夹角.则(1)ea=ae=|a|cos;(2)abab=;(3)aa=|a|20或|a|=;(4)|ab|a|b|.想一想以上性质如何证明呢?根据式子特点,你能说说它们的用途吗?3.向量内积运算律已知向量a、b、c和实数,向量的内积满足下列运算律:(1)ab=(交换律);(2)(a)b=(ab)=a(b);(3)(a+b)c=+.例1已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角=120,求ab.【解】ab=|a|b|cos=54cos120=-10.例2 已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角=60,求(a+2b)(a-3b).【解】(a+2b)(a-3b)=a2-ab-6b2
22、=|a|2-|a|b|cos-6|b|2=62-64cos60-642=-72.图2-32例3求证:菱形的两条对角线互相垂直.已知:ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线(图2-32).求证:ACBD.【证明】因为 =+,=-,所以=(+)(-)=|2-|2.因为|=|,所以=0,即ACBD.1.已知|a|,|b|,a与b的夹角,求ab.(1)|a|=8,|b|=4,=60;(2)|a|=7,|b|=12,=120;(3)|a|=4,|b|=2,=90.2.已知|a|=3,|b|=4,a与b的夹角=60,求(a+2b)(a-b).3.已知|a|=6,|b|=8,a与b的夹角=120,求(a
23、+b)(a-b),|a+b|.2.5.2向量内积的坐标运算案例导入遇到问题,调整好状态应对吧!已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),请尝试用a和b的坐标表示ab.【分析】根据向量坐标的定义可知,a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,ab=(x1e1+y1e2)(x2e1+y2e2)=x1x2+x1y2e1e2+y1x2e2e1+y1y2 因为=1,e1e2=e2e1=0,=1所以 ab=x1x2+y1y2(1)由上面案例可见,两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和.对于向量a=(x,y),由|a|2=aa,有|a|=.(2)如果向量a的起点、终点坐标分别为(x1,
24、y1)、(x2,y2),那么a=(x2-x1,y2-y1),这样|a|=.(3)这就是平面内两点间的距离公式.例1已知a=(3,-1),b=(1,-2),求ab,|a|,|b|.【解】ab=31+(-1)(-2)=5;|a|=;|b|=.例2已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断ABC是不是直角三角形.【解】因为 =(2,3)-(1,2)=(1,1),=(-2,5)-(1,2)=(-3,3)=(-2,5)-(2,3)=(-4,2),所以=1(-3)+13=0.所以ABC是直角三角形.1.已知向量a、b的坐标,求ab,|a|,|b|.(1)a=(3,4),b=(-4,3);(2
25、)a=(3,-4),b=(5,2);(3)a=(5,-12),b=(1,-2);(4)a=(3,1),b=(3,-9).2.已知a=(2,3),b=(-2,4),c=(-1,-2),求ab,a(b+c),(a+b)2.3.已知点A(1,2),B(-5,8),C(-2,-1),试判断ABC是不是直角三角形.项目2.6向量的应用2.6.1向量在力学中的应用力向量往往具有三要素大小、方向和作用点.在不计作用点的情况下,我们可以用向量的平行四边形法则进行计算,如求合力,一个力在某方向上的分力等.图2-33例1把竖直向下的150N的力F分解为两个分力,分力F1的方向水平向东,分力F2的方向和竖直方向成3
26、0角,求出两个分力的大小.【解】如图2-33所示,可知|F1|=|F|tan30=150N=50N;图2-34|F2|=100N.例2如图2-34所示,为了防止电线杆倾倒,常在两侧对称地拉上钢绳.设两条钢绳间的夹角是60,两条钢绳的拉力都是300N,求两条钢绳作用在电线杆上的合力大小.图2-35【解】如图2-34所示,设两条钢绳作用在电线杆上的合力分别为、,则为、的合力.根据题意,有|=|cos30=300N=150N,所以|=300N.例3 如图2-35所示,拴着物体A的绳子通过一个定滑轮拉着物体B,拉着物体B的轻绳与竖直方向成60.已知物体A重40N,物体B重100N,这时,物体B对地面的
27、压力有多大?(提示:物体B对地面的压力=物体B的重量-绳子拉B时产生的竖直向上的作用力)【解】设F1、F2分别为绳子在物体B上产生的竖直方向和水平方向上的拉力,则这两个力的合力大小刚好为物体A的重量GA,大小为40N.所以|F1|=|GA|cos60=40N=20N,则物体B对地面的压力大小为|GB|-|F1|=100N-20N=80N.2.6.2向量在电学中的应用在电学中,正弦交流电中的相量经常应用向量的加减方法来计算,即把电动势、电压、电流看作向量,然后利用向量的平行四边形法则进行加减运算,以求相量的和与差.为了区分相量和向量,在表示相量时,往往用大写字母上加黑点的符号来表示,如用、和分别
28、表示电动势、电压和电流的有效值相量,用、和分别表示电动势、电压和电流的最大值相量.图2-36在正弦交流电中,u=sin其中,为电压的最大值,为角频率,u为初相.在相量相加时,先作出与正弦量相对应的相量,再按平行四边形法则(向量的加法法则)求和(图2-36),和的长度表示正弦量和的有效值(或最大值),和与x轴正方向的夹角为正弦量和的初相,角频率不变.相量相减时,将减量视为加上一个负的相量,即加上一个反方向的相量,然后再按平行四边形法则求和,即可得结果.例1已知:u1=3sinV,u2=4sinV.求:u=u1+u2和u=u1-u2的瞬时值表达式.【解】(1)根据题意作出u1、u2的相量图,利用平
29、行四边形法则作u=u1+u2的相量图,如图2-37a所示.则=V=5V,=arctan=arctan53(为u1超前u2的角度).于是可得u=u1+u2的三要素为=5V,=314rad/s,u=1-=30-53=-23,所以u=u1+u2=5sinV(2)同理,由u=u1-u2=u1+,画出-u2的相量,再运用平行四边形法则求u,如图2-37b所示.则=V=5V,=arctan=arctan53(为u超前u1的角度).于是可得u=u1-u2的三要素为=5V,=314rad/s,u=+1=53+30=83,所以 u=u1-u2=5sinV.图2-37例2已知阻值为10的电阻两端加u=10sinV
30、的电压,求流过电流的瞬时表达式.【解】因为u=10sinV所以i=sinA 求交流电压u1=220sin(100t+/6)V,u2=380sin(100t+/3)V之间的相位差,指出它们之间的相位关系,并画出它们的波形图和相量图。习题1.根据图2-38,分别写出i1和i2的解析式(设它们的角频率都为),然后用相量作图法求i1和i2的和,并在图上量取长度后写出i1+i2的瞬时值表达式。2.一个1000的纯电阻负载,接到u=311sin(314t+30)V的电源上,求负载中电流瞬时值表达式,并画出电压和电流的相量图。图2-383.已知加在2F电容器上的交流电压为u=220sin(100t+/6)V
31、,求通过电容器的电流,写出电流瞬时值的表达式,并画出电流、电压的相量图。小结与复习1.向量的概念向量是既有方向又有大小的量.向量一般用有向线段来表示,其中有向线段的方向用来表示向量的方向,线段的长度表示向量的大小.要判断两个向量是否相等,我们要看这两个向量的大小是否相等,并且方向是否相同.长度等于0的向量,叫做零向量,记作0,零向量的方向不确定.如果=a,那么的长度表示向量a的大小,也叫a的长(或模),记作|a|或|.2.向量的平行如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则称这些向量平行或共线,平行向量的方向相同或相反.与向量a等长且方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a,并有a
32、+(-a)=0.3.向量加法法则向量加法的三角形法则:如图2-6a所示,=a,=b,则就是向量a和向量b的和,记作:a+b=+=.向量加法的平行四边形法则:将两个向量的起点移到一起,以两个向量为边作平行四边形,则过这两个向量起点的对角线就是这两个向量的和.4.向量加法运算律(1)加法交换律 a+b=b+a;(2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c).5.向量差的求法如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是减向量的终点到被减向量的终点的向量.6.数乘向量一般定义:实数和向量a的乘积是一个向量,记作a,|a|=|a|.数乘向量运算满足下列运算律:设、为实数,则(1)(+)a=a+a;
33、(2)(a)=()a;(3)(a+b)=a+b.7.向量的内积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量|a|b|cos叫做a与b的内积(也叫做数量积),记作ab,即ab=|a|b|cos.设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角.则(1)ea=ae=|a|cos;(2)abab=0;(3)aa=|a|20或|a|=;(4)|ab|a|b|.已知向量a、b、c和实数,向量的内积满足下列运算律:(1)ab=ba(交换律);(2)(a)b=(ab)=a(b);(3)(a+b)c=ac+bc.8.平面向量分解定理如果e1和e2是同一平面上的两个不平行的向量,那么对该平面
34、上的任一向量a,存在唯一一对实数a1,a2,使a=a1e1+a2e2.9.向量的坐标运算设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a+b=(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2);a-b=(a1,a2)-(b1,b2)=(a1-b1,a2-b2);a=(a1,a2)=(a1,a2).ab=x1x2+y1y2 10.距离公式对于向量a=(x,y),|a|=.如果向量a的起点、终点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),那么a=(x2-x1,y2-y1),这样|a|=|=.11.平行向量基本定理如果向量b0,则ab的充分必要条件是:存在唯一实数,使a=b.即如果b0,则aba=b(R).如果a=(a1,a2),b=(b1,b2),则aba1b2-a2b1=0.
