1、 第四章第四章 不定积分不定积分 第三节第三节 不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法主要内容：主要内容：分部积分法分部积分法第三节 分部积分法与它们对应的是上节的基本积分法复合函数微分法和乘积的微分法.在积分运算中,(两种).微分运算中有两个重要法则:换元积分法和本节的分部积分法分部积分公式 设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数.那么,(uv)uvuv,移项得 uv(uv)uv.对这个等式两边求不定积分,得 分部积分过程 这两个公式称为分部积分公式.vdxuuvdxvu,或vduuvudv,vdxuuvvduuvudvdxvu vdxuuvvduuvudvdxvu vdxuuvvduu
2、vudvdxvu vdxuuvvduuvudvdxvu.xxxdsin22例1 求解xxxdcosxxcos22xxxdcosxxsinCxxxcossin xxdsin讨论:分部积分过程：xvu d vud uvuvd xuvuvd.dcosxxx)sind(xx)2d(cos2xx22cosdcos22xxxx 降幂 升幂xexexxxd31333例2 求.d2xexx解xexxd2xex2Cexeexxxx)(22xxexd2xex d222dxeexxxxxexexd22)d(22xexeexxxx 降幂讨论xexxd2)3(d3xex 升幂 降幂 分部积分过程：xvu d vud u
3、vuvd xuvuvd,d)(,dcos)(,dsin)(xexPxaxxPxaxxPkxnnn,为常数其中akuuu次多项式为nxPn)(用分部积分法,使多项式的次数降低 分部积分过程：xvu d vud uvuvd xuvuvdCxxxxdxxx22241ln2121ln21 例3例 4 dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222Cxxxxdxxx22241ln2121ln21.2d21dxxx 分部积
4、分过程：xvu d vud uvuvd xuvuvddxxxxx211arccos 例4例 5 xxdxxxdxarccosarccosarccos)1()1(21arccos2212xdxxx Cxxx21arccos.xxdxxxdxarccosarccosarccosxxdxxxdxarccosarccosarccos 分部积分过程：xvu d vud uvuvd xuvuvddxxxxx2221121arctan21 例5例 6 2arctan21arctanxdxxdxxdxxxxx2221121arctan21dxxxx)111(21arctan2122Cxxxxarctan212
5、1arctan212.2arctan21arctanxdxxdxx dxxxx)111(21arctan2122 2d21dxxx 分部积分过程：xvu d vud uvuvd xuvuvdxxxxxd111)1ln(例6 求.d)1ln(2xxx解xxxd)1ln(2)1(d)1ln(xxxxxxx)d111()1ln(.ln)1ln()1ln(Cxxxx)1d(d12xxx 分部积分过程：xvu d vud uvuvd xuvuvd,darctanxxxn,darcsinxxxnxxPxnd)(lnuuu用分部积分法,去掉反三角函数、对数)1(n 分部积分过程：xvu d vud uvuv
6、d xuvuvd例7 求.dsinxxex解xxexdsinxexdsinxexsinxxexexxdcossinxxexxedcossinxexsinxxexxexxdsin)cos(sinxxexdsin)cos(sin2xxex原积分回归)(sindxex)cosdcos(xexexx.C 分部积分过程：xvu d vud uvuvd xuvuvd,d)cos(,d)sin(xbaxexbaxekxkx均为常数其中bak,的选取可随意vu d,注意前后几次所选的 u 应为同类型函数用分部积分法,建立回归方程 分部积分过程：xvu d vud uvuvd xuvuvd 解 例8例 8 求x
7、dx3sec.xxdxdxxxdxtansecsecsecsec23xdxxxx2tansectansec dxxxxx)1(secsectansec2 xdxxdxxxsecsectansec3 xdxxxxx3sec|tansec|lntansec,所以 xdx3secCxxxx|)tansec|lntan(sec21.xxdxdxxxdxtansecsecsecsec23 回归 分部积分过程：xvu d vud uvuvd xuvuvd.例9.dcos1cossin1dcos21xxnnxxnxxnnn 推导以下递推公式:解 xxxnxxxnnd)sin(cos)1(sincossin2
8、1xxxxnnsindcosdcos1),dcosdcos)(1(cossin21xxxxnxxnnn.dcos1cossin1dcos21xxnnxxnxxnnn回归 分部积分过程：xvu d vud uvuvd xuvuvd分部积分基本题型:分部积分过程：xvu d vud uvuvd xuvuvd例10 求.1)dln(22xxx解xxx1)dln(2222d)1ln(xxxxxxxxd12)1()1ln()1(2222xxxxd2)1ln()1(22.)1ln()1(222Cxxx)1(分部积分过程：xvu d vud uvuvd xuvuvd 解 例11 求.d12xex令,12 x
9、t则),1(212tx,ddttx xexd12ttetdtetdtetettdCetett.)112(12Cexx 分部积分过程：xvu d vud uvuvd xuvuvd于是 )32()()1(2111222nnnInaxxnaI.解 当n1时,用分部积分法,有 例12例 9 求nnaxdxI)(22,其中 n 为正整数.dxaxxnaxxaxdxnnn)()1(2)()(222122122dxaxaaxnaxxnnn)()(1)1(2)(222122122解 CaxaaxdxIarctan1221 )(1(2)(211221nnnnIaInaxxI,即dxaxxnaxxaxdxnnn)
10、()1(2)()(222122122dxaxxnaxxaxdxnnn)()1(2)()(222122122 dxaxaaxnaxxnnn)()(1)1(2)(222122122,回归 分部积分过程：xvu d vud uvuvd xuvuvdxxfxd)()(dxfx22)(xxexfxxf xd)(xxfxxfd)()(222xexCex2两边同时对x求导，得解思考题1Cexxfx2d)(,)()(dxxfxxf求积分.)sin(lndxx解dxx)sin(ln)sin(ln)sin(lnxxdxxdxxxxxx1)cos(ln)sin(ln)cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxxdxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(lndxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx思考题2回归.1arctan2dxxxx解21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxxdxxxxx222111arctan1dxxxx21arctan求积分思考题3dxxxx2211arctan1xx arctan12.)1ln(2Cxx2211xddxxx课后练习课后练习习题43(P212)
