1、1.6 1.6 三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用)0,0()sin(AxAy正弦型函数正弦型函数1 1、物理情景、物理情景简谐振动简谐振动星体的环绕运动星体的环绕运动2 2、地理情景、地理情景 气温变化规律气温变化规律月圆与月缺月圆与月缺3 3、心理、生理现象、心理、生理现象 情绪的波动情绪的波动智力变化状况智力变化状况体力变化状况体力变化状况4 4、日常生活现象、日常生活现象 涨潮与退潮涨潮与退潮股票变化股票变化解解:(1)由图可知由图可知,这段时间的最大温差是这段时间的最大温差是200C.例例1 如图如图1.6-1,某地一天从某地一天从614时的温度变化曲时的温度变化曲线近似满
2、足函数线近似满足函数(1)求这一天求这一天614时时的最大温差的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式写出这段曲线的函数解析式.sin()y Axb(2)从图中可以看出从图中可以看出,从从614时的图象是时的图象是函数函数 的半个周期的半个周期的图象，的图象，sin()yAxb130 1010,26,10.xy3将代入上式，解得 4A 所以，b 130 10202146.8OCT/ht/61014812102030,20)438sin(10 xy.14,6x综上，所求解析式为综上，所求解析式为221一般取：一般取：|的最小值的最小值反思感悟：反思感悟：由图像确定函数的解析式主要从以下几个方面
3、考虑：由图像确定函数的解析式主要从以下几个方面考虑：（1）A与与b的确定：的确定：maxmin12Af xf xminmax)()(21xfxfb（2）的确定：的确定：2T求得求得（3）的确定的确定：也可以利用函数上的其他点来求也可以利用函数上的其他点来求代入法：把图像上的最低点或最高点带入函数解析式即可代入法：把图像上的最低点或最高点带入函数解析式即可得得 。（若。（若 没有范围时，取没有范围时，取 最小时的最小时的 值）值）|五点法：五点法：求求以寻找第一点以寻找第一点(,)b作为突破口，具体如下：作为突破口，具体如下：变式训练：变式训练：1、如图所示为函数、如图所示为函数 的部分图象求出
4、函数的解析式的部分图象求出函数的解析式)2(,)sin(bxAyyx123-1321211综上，所求解析式为综上，所求解析式为1)62sin(2xy代入得T22)1(3A解：由图可知解：由图可知1)34sin(12)1(3b将41233212114T2T2,1y23x26，)(62zkk)(23234zkkxy2O33-1A1、32若函数若函数sin()yAx的图象（部分）如下图所示，的图象（部分）如下图所示，则则和和的取值是的取值是（）1B、3 12C、612D、6 C3、已知函数已知函数sin()yAx0,|A且的一段图象如的一段图象如下图所示，则函数的解析式为下图所示，则函数的解析式为（
5、）2083823A2sin(2)4yx、3B2sin()4yx、C2sin(2)4yx、3D2sin(2)4yx、Axyxyo222211例例2 画出函数画出函数xy sin的图像并观察其周期的图像并观察其周期.我们也可以这样进行验证：我们也可以这样进行验证：由于由于xxxsinsinsin所以，函数所以，函数xysin是以是以为周期的函数。为周期的函数。反思感悟：反思感悟：画整个函数带有绝对值的图像时：画整个函数带有绝对值的图像时：转化为分段函数部分翻转变换方方法：法：1.先画出不含绝对值函数的图像；先画出不含绝对值函数的图像；2.若若x轴下方有图像时，则把下面的图像以轴下方有图像时，则把下
6、面的图像以x轴为轴轴为轴翻折上去。翻折上去。x轴上面的图像不动。轴上面的图像不动。变式训练：变式训练：画出画出xytan的图像并观察其周期的图像并观察其周期.解：函数图像如图所示：解：函数图像如图所示：从图中可以看出函数从图中可以看出函数xytan是以是以 为周期的函数为周期的函数.222323xy例3、如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是 90|.当地夏半年取正值，冬半年取负值.太阳光太阳光90|地心北半球南半球太阳高度角的定义如图，设地球表面某地纬度如图，设地球表面某地纬度值为值为 ，正午太阳高度角为，正午太阳高度角为，此时太阳
7、直射纬度为，此时太阳直射纬度为 ，那么这三个量之间的，那么这三个量之间的关系是关系是 。当地。当地夏半年夏半年取正值，冬半年取正值，冬半年取负值。取负值。90|o太阳光90 90|90|o地心太阳光直射南半球分析：分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为南，北回归线之间的地带南，北回归线之间的地带.画出图形如下，由画图易知画出图形如下，由画图易知A B CH 如果在北京地区（纬度数约为北纬如果在北京地区（纬度数约为北纬40）的一幢高为）的一幢高为H的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的
8、楼房遮挡，两楼的距离前面的楼房遮挡，两楼的距离应应不小于多少？不小于多少？解：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为-2326，依题意两楼的间距应不小于MC.根据太阳高度角的定义，有C=90-|40-(-2326)|=2634所以，2.000tantan26 34HHMCHC即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距.将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚:理解题意建立三角函数模型求解还原解答轮船搁浅例例4：海水受日月的引力，在一定的时候
9、发生涨落的：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫现象叫潮潮。一般地，早潮叫。一般地，早潮叫潮潮，晚潮叫，晚潮叫汐汐。在通常情。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：与水深关系表：时刻时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深水深（米）（米）5.07.55.02.55.07.55.02.55.0 （1）选用）选用一个函数一个函数来近似描述这个港口的水深与时来近似描述这个港口
10、的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到到0.001）。）。xyO3691215182124246根据图象，可以考虑用函数根据图象，可以考虑用函数 刻画水深与刻画水深与时间的关系。时间的关系。hxAy)sin(解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中画出画出散点图散点图。xyO369 1215 18 21 24246 从数据和图象可以得出：从数据和图象可以得出：A=2.5，h=5，T=12，0时刻时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:00
11、24:00水深水深（米）（米）5.07.55.02.55.07.55.02.55.056sin5.2xy，得6,122T由由hxAy)sin(xyO369 1215 18 21 24246时刻时刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水深水深时刻时刻12:0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深水深56sin5.2xy 从数据和图象可以得出：从数据和图象可以得出：A=2.5，h=5，T=12，0，得6,122T由由由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：
12、xyO369 1215 18 212424656sin5.2xy 从数据和图象可以得出：从数据和图象可以得出：A=2.5，h=5，T=12，0，得6,122T由由由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：时刻时刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水深水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时刻时刻12:0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深水深5.0006.2507.
13、1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，米，安全条例规定至少要有安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？xyO36912151821242465.5y 5.5货船需要的货船需要的安全水深为安全水深为 4+1.5=5.5（米），（米），所以当所以当y5.55.5时就时就可以进港可以进港.（2）货船需要的安全水深）货船需要的安
14、全水深为为 4+1.5=5.5（米），所以（米），所以当当y5.55.5时就可以进港时就可以进港.令令化简得化简得2.5sin55.56xsin0.26x由计算器计算可得由计算器计算可得0.2014,0.201466xx或解得解得0.3848,5.6152ABxx因为因为 ，所以由函数周期性易得，所以由函数周期性易得0,24x120.384812.3848,125.615217.6152.CDxx因此，货船可以在凌晨零时因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨分左右进港，早晨5时时30分左右出分左右出港；或在中午港；或在中午12时时30分左右进港，下午分左右进港，下午17时时30分左右出港
15、，每次分左右出港，每次可以在港口停留可以在港口停留5小时左右。小时左右。解：解：解：设在时刻解：设在时刻x船舶的安全水深为船舶的安全水深为y，那么，那么y=5.5-0.3(x-2)(x22),在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6时到时到7时时之间两个函数图象有一个交点之间两个函数图象有一个交点.通过计算可得在通过计算可得在6时的水深约为时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为米，此时船舶的安全水深约为4.3米；米；6.5时的水深约为时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为米，此时船舶的安全水深约为4.1米；米；7时的水深约为时的水深
16、约为3.8米，而船舶的安全水深约为米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安米，因此为了安全，船舶最好在全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域。时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域。（3 3）若某船的吃水深度为）若某船的吃水深度为4 4米，米，安全间隙为安全间隙为1.51.5米，该船在米，该船在2 2：0000开始卸货，吃水深度以每小时开始卸货，吃水深度以每小时0.30.3米的速度减少，那么该船在什么米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域深的水域?y=5.5-0.3(x-2)小结:三角函数模型解决实际问题的一般步聚三角函数模型解决实际问题的一般步聚:搜集数据搜集数据作出相应的作出相应的散点图散点图进行函数进行函数拟合得出拟合得出函数模型函数模型利用函数利用函数模型解决模型解决实际问题实际问题实际问题实际问题数学问题数学问题数学结论数学结论实际问题结论实际问题结论转化转化建模建模应应用用反思与升华反思与升华
