1、二、分类讨论思想二、分类讨论思想总纲目录应用一 由概念、法则、公式引起的分类讨论应用二 由运算、性质引起的分类讨论应用三 由参数变化引起的分类讨论应用四 由图形位置或形状引起的分类讨论应用一由概念、法则、公式引起的分类讨论应用一由概念、法则、公式引起的分类讨论例例1(2017江苏,9,5分)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=.74634答案答案32解析解析设等比数列an的公比为q.当q=1时,S3=3a1,S6=6a1=2S3,不符合题意,q1,由题设可得解得a8=a1q7=27=32.3161(1)7,14(1)63,14aqqaqq11,42,aq1
2、4【技法点评】【技法点评】由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致.如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.1.已知函数f(x)=若f(2-a)=1,则f(a)等于()A.-2B.-1C.1D.222log(3),2,21,2,xx xx答案答案A当2-a2,即a0时,22-a-2-1=1,解得a=-1,则f(a)=f(-1)=-log23-(-1)=-2;当2-a0时,-log23-(2-a)=1,解得a=-,舍去.综合可知,f(a)=-2.122.设等比数列an的公比为q,前n项和Sn0(n=1,2,3,),则q的取值
3、范围为.答案答案(-1,0)(0,+)解析解析由an是等比数列,Sn0,可得a1=S10,q0.当q=1时,Sn=na10;当q1时,Sn=0,即0(nN*).则有或由得-1q1.故q的取值范围是(-1,0)(0,+).1(1)1naqq11nqq10,10nqq10,10,nqq应用二由运算、性质引起的分类讨论应用二由运算、性质引起的分类讨论例例2已知a,b0且a1,b1,若logab1,则()A.(a-1)(b-1)0C.(b-1)(b-a)0答案答案D解析解析a,b0且a1,b1,当a1,即a-10时,不等式logab1可化为a1,即ba1,(a-1)(a-b)0,(b-1)(b-a)0
4、.当0a1,即a-11可化为a1,即0ba1,(a-1)(a-b)0,(b-1)(b-a)0.综上可知,选D.logabalogaba【技法点评】【技法点评】1.对于指数、对数型函数问题,应注意对底数是否大于1进行讨论,进而确定函数的单调性.2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引起的.比如除以一个数时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数是零、是正数、还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.3.若函数f(x)=ax(a0,a1)在区间-1,2上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m
5、)在区间0,+)上是增函数,则a=.x答案答案14解析解析若a1,则a2=4,a-1=m,此时a=2,m=,此时g(x)=-在0,+)上为减函数,不合题意.若0a1,有a-1=4,a2=m,故a=,m=,此时g(x)=在0,+)上为增函数,符合题意.综上可知,a=.12x1411634x144.已知a,b,c分别是ABC的内角A,B,C所对的边,a=2bcosB,bc.(1)求证:A=2B;(2)若a2+c2=b2+2acsinC,求A.解析解析(1)证明:a=2bcosB,且=,sinA=2sinBcosB=sin2B,0A,0B0,02B,A=2B或A+2B=.若A+2B=,则B=C,b=
6、c,这与“bc”矛盾,A+2B,A=2B.(2)a2+c2=b2+2acsinC,sinaAsinbB=sinC,由余弦定理得cosB=sinC,0B,0C,则当x时,f(x)0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a,则当x(0,2)时,x-20,ax-1x-10,所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是.121,2a12121,2【技法点评】【技法点评】若遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论,此种题目为含参型,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想,分类要做到分类标准明确,不重不漏.5.已知函数f
7、(x)=mx2-x+lnx,若在函数f(x)的定义域内存在区间D,使得该函数在区间D上为减函数,则实数m的取值范围为.答案答案1,8解析解析由题意知f(x)=2mx-1+=,x0,即2mx2-x+10时,由于函数y=2mx2-x+1的图象的对称轴为x=0,故只需0,即1-8m0,故m.综上所述,m0,则由f(x)=0得x=lna.当x(-,lna)时,f(x)0.故f(x)在(-,lna)上单调递减,在(lna,+)上单调递增.若a0,则由f(x)=0得x=ln.当x时,f(x)0.故f(x)在上单调递减,在上单调递增.ln,2a,ln2aln,2a应用四由图形位置或形状引起的分类讨论应用四由
8、图形位置或形状引起的分类讨论例例4(2018课标全国,19,12分)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:OMA=OMB.22x解析解析(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,由已知可得,点A的坐标为或.又M(2,0),所以AM的方程为y=-x+或y=x-.(2)证明:当l与x轴重合时,OMA=OMB=0,当l与x轴垂直时,直线OM为AB的垂直平分线,所以OMA=OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2
9、),则x1,x2,直线MA,MB的斜率之和为21,221,222222222kMA+kMB=+.由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=.将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=,x1x2=.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=0,从而kMA+kMB=0,112yx 222yx 12121223()4(2)(2)kx xk xxkxx22x22421kk 222221kk333244128421kkkkkk故MA,MB的倾斜角互补,所以OMA=OMB.综上,OMA=OMB.【技法点评】【技法点评】对于几何中位置关系的分
10、类讨论问题常采用分类整合法,这种方法适用于解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系,以及几何图形中点、线、面的位置关系的研究.破解此类题的关键点:确定特征,一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定.分类,根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类.得出结论,将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理.7.正三棱柱的侧面展开图是长和宽分别为6和4的矩形,则它的体积为()A.B.4C.D.4或8 3332 3938 33答案答案D当正三棱柱的高为4时,体积V=24=4;当正三棱柱的高为6时,体积V=6=.3123432 33128 338.已知变量x,y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k=()A.-B.C.0D.-或00,2,10 xyxkxy 121212答案答案D作出不等式组表示的平面区域,易知当直线y=kx+1与直线x=0或y=2x垂直时平面区域是直角三角形区域.k=0或-.故选D.0,2,10 xyxkxy 12空白演示 在此输入您的封面副标题
