1、选修45不等式选讲-2-知识梳理双基自测234151.绝对值三角不等式(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|,当且仅当_时,等号成立;(2)性质:|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|,当且仅当时,等号成立.|a|+|b|ab0|a-b|+|b-c|(a-b)(b-c)0-3-知识梳理双基自测234152.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a(a0)的解法|x|a-axaxa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c;|ax+b|c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法
2、利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程及数形结合的思想.-cax+bc ax+bc或ax+b-c-4-知识梳理双基自测234152ab-5-知识梳理双基自测234154.柯西不等式(1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设,是两个向量,则|,当且仅当是零向量或存在实数k,使=k时,等号成立.-6-知识梳理双基自测234155.不等式证明的方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法
3、等.2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)对|a-b|a|+|b|当且仅当ab0时等号成立.()(2)|a+b|+|a-b|2a|.()(3)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.()(4)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”.()(5)若m=a+2b,n=a+b2+1,则nm.()-8-知识梳理双基自测23415A.2a3B.1a2C.1a3D.1a4 答案解析解析关闭 答案解析关闭-9-知识梳理双基自测23415 答案解析解析关闭 答案解析关闭-10-知识梳理双基自测23415 答案解析
4、解析关闭 答案解析关闭-11-知识梳理双基自测234155.已知x,yR,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,则x+y的取值范围为.答案解析解析关闭 答案解析关闭-12-考点1考点2考点3考点4考点5例1已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.思考含绝对值不等式的常见解法有哪些?当x2时,由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1.-13-考点1考点2考点3考点4考点5(2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|
5、x|-2-x2+|x|-14-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得含绝对值不等式的常见解法有:(1)基本性质法:对aR+,|x|a-axaxa.(2)平方法:两边平方去掉绝对值符号.(3)零点分区间法:含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.(4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解.(5)数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.-15-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练对点训练1已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(
6、1)在图中画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|1的解集.-16-考点1考点2考点3考点4考点5-17-考点1考点2考点3考点4考点5-18-考点1考点2考点3考点4考点5(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)3x的解集.-22-考点1考点2考点3考点4考点5例3已知函数f(x)=|2x-2|-|x+2|.(1)求不等式f(x)6的解集;(2)当xR时,f(x)-x+a恒成立,求实数a的取值范围.思考求解含参数的绝对值不等式问题的常用基本方法是什么?解：(1)当x-2时,f(x)=-x+4.由f(x)6,得-x+46,解得x-2,故x-2;当-2x1时,f(x)=-3x.由f(x
7、)6,得-3x6,解得x-2,故x;当x1时,f(x)=x-4.由f(x)6,得x-46,解得x10,故x10.综上可知,f(x)6的解集为(-,-210,+).-23-考点1考点2考点3考点4考点5-24-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得求解含参数的绝对值不等式问题,常用的基本方法是根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,然后数形结合解决.由图象知,当x=1时,-1+a-3,解得a-2,故实数a的取值范围为(-,-2.(解法二)当x-2时,-x+4-x+a恒成立,则a4;当-2x1时,-3x-x+a恒成立,则a-2;当x1时,x-4-x+a恒成立,则a-2.综上,实数
8、a的取值范围为(-,-2.-25-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练对点训练3已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.当x0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.思考证明不等式常用的方法有哪些?证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab
9、(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)-28-考点1考点2考点3考点4考点5-29-考点1考点2考点3考点4考点5(2)由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0.因此|a+b|1+ab|.解题心得证明不等式常用的方法:(1)比较法证明不等式,比较法又包含作差比较法和作商比较法.(2)用分析法证明不等式,使用分析法证明的关键是寻找推理的每一步的充分条件.(3)用综合法证明不等式,在用综合法证明不等式时,常用到不等式的性质和基本不等式等.-30-考点
10、1考点2考点3考点4考点5对点训练对点训练4已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x-1)+f(x+3)6;(1)解 f(x)=|x-1|,f(x-1)+f(x+3)6等价于|x-2|+|x+2|6.当x2时,不等式等价于x-2+x+26,即2x6,解得x3;当-2x0,因为|a|1,|b|1,所以a21,b21,即a2-10,b2-10成立,从而原不等式成立.-32-考点1考点2考点3考点4考点5例5已知a0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;思考如何利用柯西不等式证明不等式或求最值?解(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-axb时,等号成立.又a0,b0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c.又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.-33-考点1考点2考点3考点4考点5-34-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.用柯西不等式证明时,一般需要对不等式变形,使之与柯西不等式有相似的结构,然后根据柯西不等式的结构特征,利用柯西不等式进行证明.-35-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练对点训练5已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4.(1)求实数a,b的值;-36-考点1考点2考点3考点4考点5
