1、用分类讨论的思想，解有关等腰三角形的问题海口市永兴中学海口市永兴中学 王来燕王来燕2022-9-26 数学思想数学思想是数学知识的精髓，是数学知识的精髓，分类思想分类思想是数学思想方法中很重要的一种思想方法，是数学思想方法中很重要的一种思想方法，而而等腰三角形中由于等腰三角形中由于边、角边、角的特殊性，经常的特殊性，经常要用要用分类思想分类思想进行进行分类讨论分类讨论解决，如能正确解决，如能正确运用这种思想方法，运用这种思想方法，则会则会给解题带来极大的给解题带来极大的方便方便，同时可以很好地，同时可以很好地培养学生培养学生分析能力分析能力和和分类意识分类意识。所以学生是否能用所以学生是否能用
2、分类思想分类思想正确正确解决等腰三角形中的边、角问题，也是中考解决等腰三角形中的边、角问题，也是中考考查的一个热点。考查的一个热点。那么本次我们就来说一道那么本次我们就来说一道与等腰三角形的与等腰三角形的边边有关的题目。有关的题目。2022-9-26（一）说原题（一）说原题 等腰三角形的周长为等腰三角形的周长为1616，其中一边，其中一边长是长是6 6，求另两条边的长。，求另两条边的长。（二）（二）说原题来源说原题来源 这道题是华师版七年级下册第这道题是华师版七年级下册第9999页页习题习题10.310.3中的一道练习题。中的一道练习题。2022-9-26（三）（三）说题目中的已知条件与未知条
3、件说题目中的已知条件与未知条件本题中的已知条件有两个：等腰三角本题中的已知条件有两个：等腰三角形的周长为形的周长为1616和一条边长是和一条边长是6 6；未知条件；未知条件是：是：另两条边的长以及另两条边的长以及边长为边长为6 6的这条边的这条边是是腰长腰长还是还是底边长底边长，那么边长为，那么边长为6 6的边可的边可能是能是底边底边，也可能是，也可能是腰腰。（教师先引导学生独立思考后说出题目中（教师先引导学生独立思考后说出题目中的已知条件与未知条件，然后再作补充。）的已知条件与未知条件，然后再作补充。）2022-9-26（四）（四）说题目中考查的知识点说题目中考查的知识点 本题中所要考查的知
4、识点是：本题中所要考查的知识点是：等腰三角形的等腰三角形的概念概念、知道知道什么是什么是腰腰长长，什么是，什么是底边底边，以及三角形的，以及三角形的周周长公式长公式和和三边三边关系。关系。2022-9-26 本题中因为已知条件是等腰三角形本题中因为已知条件是等腰三角形的的周长周长和和另一条边的长另一条边的长，但是已知的一，但是已知的一条边长是条边长是腰长腰长还是还是底边底边，这是未知条件，这是未知条件，所以根据周长公式和三角形的三边关系，所以根据周长公式和三角形的三边关系，我们在解题中应该分两种情况来进行讨我们在解题中应该分两种情况来进行讨论：论：（1 1）.若长为若长为6 6的边为的边为底边
5、底边，求的是两，求的是两腰的长腰的长。（2 2）.若长为若长为6 6的边为的边为腰腰，则求另一腰，则求另一腰长和底边的长。长和底边的长。（五）（五）说解题思路说解题思路6？66？2022-9-26（六）（六）说解法说解法解：设底边长是解：设底边长是6 6，则腰长为，则腰长为 （16-616-6）2 25 5即等腰三角形的三边长分别为：即等腰三角形的三边长分别为：5 5，5 5，6 6，符合三角形的三边关系。，符合三角形的三边关系。设腰长是设腰长是6 6，则底边长为，则底边长为16-6-6=416-6-6=4即等腰三角形的三边长分别为：即等腰三角形的三边长分别为：6 6，6 6，4 4，符合三角
6、形的三边关系。，符合三角形的三边关系。答：另两条边的长是答：另两条边的长是5 5，5 5或是或是6 6，4 4。6556642022-9-26（七）（七）说题型与易错点说题型与易错点本题是一道本题是一道问答题问答题，但与等腰三角形的，但与等腰三角形的边、边、角角有关的问题，也经常以有关的问题，也经常以选择题选择题或者是或者是填空题填空题的形式出现，是考试中的一个热点问题，在解的形式出现，是考试中的一个热点问题，在解此类问此类问题过程中也是学生的一个易错点。题过程中也是学生的一个易错点。解此解此类问题类问题易错易错是由于题目中的已知条件的不确定是由于题目中的已知条件的不确定性，而引发结论不唯一，
7、学生常常受思维定势性，而引发结论不唯一，学生常常受思维定势的影响而出现漏解、错解。的影响而出现漏解、错解。如如本题中边长为本题中边长为6 6的的边，部分学生往往会认为它只是底边，求的是边，部分学生往往会认为它只是底边，求的是两腰长；也会出现只把它当作腰长，只求底边两腰长；也会出现只把它当作腰长，只求底边长的情况出现。长的情况出现。2022-9-26在等腰三角形中在等腰三角形中的的三边有三边有底底与与腰腰之之分，题目中如果已知边长未指明是该分，题目中如果已知边长未指明是该等腰三角形的等腰三角形的腰长腰长或或底边长底边长时时,则应分则应分已知边为已知边为腰腰与与底边长底边长两种情形讨论两种情形讨论
8、.同同时还要考虑时还要考虑“三角形的三角形的三三边边关系关系”,以以防多解防多解,所以在解答与等腰三角形相关所以在解答与等腰三角形相关问题时问题时,常常需利用常常需利用分类讨论思想分类讨论思想求解求解,以杜绝漏解、错解以杜绝漏解、错解.2022-9-26（八）（八）说解题过程中应用的说解题过程中应用的数学思想方数学思想方法法 本题给学生渗透的思想方法是本题给学生渗透的思想方法是分类讨论分类讨论思想。思想。分类讨论分类讨论既是一个重要的既是一个重要的数学思想数学思想，又是一个重要的又是一个重要的数学方法数学方法，能克服解决数学，能克服解决数学问题过程中思维的片面性，防止漏解、错解。问题过程中思维
9、的片面性，防止漏解、错解。本题所渗透的本题所渗透的分类讨论思想分类讨论思想体现在对体现在对边边长为长为6 6的这条边的讨论要分两种情况进行探的这条边的讨论要分两种情况进行探讨：即边长为讨：即边长为6 6的边是的边是底边长底边长和和腰长腰长两种情两种情况。况。2022-9-26（九）说变式练习（九）说变式练习变式变式1 1 等腰三角形一腰长为等腰三角形一腰长为6 6，周长为，周长为1616，求底边长。，求底边长。变式变式2 2 等腰三角形底边长为等腰三角形底边长为6 6，周长为，周长为1616，求两腰长。，求两腰长。（变式变式1 1、变式、变式2 2与原习题相比与原习题相比已知条件增强已知条件增
10、强了，了，难度降难度降低了低了，由原习题到变式练习涉及到了，由原习题到变式练习涉及到了化归化归的思想方法，的思想方法，所谓所谓“化归化归”就是将要解决的问题转化归结为另一个较就是将要解决的问题转化归结为另一个较易问题或已经解决的问题。这样的变式练习可以更好地易问题或已经解决的问题。这样的变式练习可以更好地帮助中下等水平的学生理解原习题，从而正确地解题，帮助中下等水平的学生理解原习题，从而正确地解题，防止漏解防止漏解、错解、错解。）2022-9-26变式变式3 3 等腰三角形一边长为等腰三角形一边长为4 4；另一边长为；另一边长为6 6，求周长。求周长。变式变式4 4 已知等腰三角形的一边长为已
11、知等腰三角形的一边长为3 3，另一边，另一边长为长为6 6，求周长。，求周长。（九）（九）说变式练习说变式练习（变式变式3 3与变式与变式4 4都是在原题的基础上都是在原题的基础上改变已知与未知条改变已知与未知条件件，变式变式4 4只是只是在变式在变式3 3的基础上改变已知边的大小的基础上改变已知边的大小。）2022-9-26 与前两道变式题相比，学生在考虑与前两道变式题相比，学生在考虑变式变式3 3、变式变式4 4问题时需要改变思维策略，因为这两问题时需要改变思维策略，因为这两道变式题的已知条件都是两条边，根据等腰道变式题的已知条件都是两条边，根据等腰三角形的定义，这两条边必是三角形的定义，
12、这两条边必是一腰一底一腰一底，但，但题目中没有明确说明哪一边是腰哪一边是底，题目中没有明确说明哪一边是腰哪一边是底，因此需要对边进行因此需要对边进行分类讨论分类讨论，掌握分类讨论，掌握分类讨论的理论依据是三角形的的理论依据是三角形的三边关系三边关系。显然变式。显然变式4 4中的中的“3“3只能为底只能为底”否则与否则与“三角形两边之三角形两边之和大于第三边和大于第三边”相矛盾，这样的变式有利于相矛盾，这样的变式有利于培养学生思维严密性。培养学生思维严密性。2022-9-26 变式变式5 5 等腰三角形的周长为等腰三角形的周长为1515，其中，其中一边长是一边长是3 3，求另两条边的长。，求另两
13、条边的长。（变式变式5 5需需要进行分类讨论，同时也要要进行分类讨论，同时也要注注意意三角形的三边关系三角形的三边关系。）（九）（九）说变式练习说变式练习2022-9-26（十）说教学反思（十）说教学反思 从课堂中学生的解题过程来看，主要存在从课堂中学生的解题过程来看，主要存在以下问题：以下问题：1.1.基础知识掌握不够牢固，忘了解题所需要的相基础知识掌握不够牢固，忘了解题所需要的相关知识，例如三角形的周长不知道怎么求，忘了关知识，例如三角形的周长不知道怎么求，忘了三角形的三边关系。三角形的三边关系。2.2.思维严密性差，考虑问题不够全面，漏解、错思维严密性差，考虑问题不够全面，漏解、错解现象
14、严重。解有关等腰三角形的题目时，很多解现象严重。解有关等腰三角形的题目时，很多条件下都会有两解，但要注意，解出的两解必须条件下都会有两解，但要注意，解出的两解必须都满足都满足“三角形两边三角形两边之之和大于第三边和大于第三边”这个条件，这个条件，否则只有一解。否则只有一解。2022-9-26 针对以上情况，有必要在教学中强化针对以上情况，有必要在教学中强化分类讨论分类讨论的的思想，特别是解与等腰三角形思想，特别是解与等腰三角形的边、角的边、角有关的问题有关的问题时时，一定要考虑周到一定要考虑周到、全面、全面，要正确运用，要正确运用分类讨论分类讨论思想，对思想，对所有可能的情况进行分析所有可能的
15、情况进行分析讨论，讨论，防止解一题多解的习题防止解一题多解的习题时漏解、错解时漏解、错解。教师可以恰当地选择习题让学生反复练教师可以恰当地选择习题让学生反复练习习，要做要做好好学生学习的先行组织者，要学生学习的先行组织者，要提前备课提前备课，精读精读教材教材，精精心选心选题题，做到一题多变、一题多解，善于帮助做到一题多变、一题多解，善于帮助学生作解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧学生作解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩，注重挖掘习题的深度和广度，无疑对学生解与的揣摩，注重挖掘习题的深度和广度，无疑对学生解与等腰三角形有关的一些问题时，可以达到举一反三的作等腰三角形有关的一些问题时，可以达到举一反三的作用，用，同时也同时也提高提高了了学生解题能力和学生解题能力和培养了学生的培养了学生的思维思维能能力力。2022-9-262022-9-26
