1、专题十一专题十一 计数原理计数原理 目目 录录CONTENTS考点一 两个计数原理考点二 排列与组合2 考点三 二项式定理及其应用3考点一考点一 两个计数原理两个计数原理必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力必备知必备知识识 全面把握全面把握考点一 两个计数原理1分类加法计数原理完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法nmmmmN.321运用分类加法计数原理需注意以下三点：(1)分类加法计数原理的使用关键是分类，分类必须要有明确的标准，要求分类时“不重复”“不
2、遗漏”(2)完成一件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方法都可以独立完成这件事，而不必再需要其他的方法，即各类方法之间是互斥的、并列的、独立的(3)明确题目所指的完成一件事是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算完成这件事完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法2分布乘法计数原理运用分步乘法计数原理需注意以下三点：(1)明确题目中所指的完成一件事是指什么事，单独用题目所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说必须要经过几个步骤才能完成这件事(2)完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步
3、骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一个步骤，这件事都不可能完成(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去做，才能完成这件事，各步之间不能重复也不能遗漏考点一 两个计数原理nmmmN213分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别考点一 两个计数原理7核心方法核心方法 重点突破重点突破方法_两个计数原理的应用掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理是复习好本专题的基础，其应用贯穿本专题正确运用两个原理的关键在于：考点一 两个计数原理1首先要搞清完成的是怎样的“一件事”搞清楚“完成一件事”的含义是应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的前提由此要求我们在解题时，要认认真
4、真审题，真正搞清楚问题的条件和结论，同时还要注意分类、分步，不能重复，不能遗漏8【解】(1)要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是应按人分步，且分为四步又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3333 81(种)报名方法(2)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能情况，于是共有444 64(种)可能的情况考点一 两个计数原理1首先要搞清完成的是怎样的“一件事”1)(1)4名同学选报跑步、跳
5、高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？43349应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是为了“完成一件事”，完成这件事有若干类不同的方法，用分类加法计数原理分类加法计数原理；完成这件事要依次完成若干个相互依存的步骤，用分布乘法计数原理分布乘法计数原理；若完成这件事既要分类，又要分步，则综合使用两个计数原理考点一 两个计数原理2明确事件需要“分类”还是“分步”102)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目将这2个新节目插入原节目单中，则不同插法的种数为()A42B30C20D12【解析】方
6、法一：当新增加的2个节目相邻时，有12种方法；当新增加的2个节目不相邻时，有A6230(种)方法应用分类加法计数原理可知共有123042(种)方法方法二：记新增加的节目分别为甲、乙，要完成这一事件，可分成两步：第一步把甲插入，共有6种方法；第二步把乙插入，共有7种方法应用分步乘法计数原理可知共有6742(种)方法方法三：当7个节目进行全排列时，共有 种方法，而原有的5个节目全排列时共有 种方法，故不同的插法种数为 42.【答案】A考点一 两个计数原理2明确事件需要“分类”还是“分步”77A55A5577AA113)3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种放法？【解】
7、方法一(以小球为研究对象)：分三步来完成第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择根据分步乘法计数原理得，共有放法种数N54360.2明确事件需要“分类”还是“分步”考点一 两个计数原理12方法二(以盒子为研究对象)：盒子标上序号1，2，3，4，5，分成以下10类第一类：空盒子标号为(1，2)，放法有3216(种)；第二类：空盒子标号为(1，3)，放法有3216(种)；第三类：空盒子标号为(1，4)，放法有3216(种)分类还有以下几类情况：空盒子标号分别为(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共
8、10类，每一类都有6种放法根据分类加法计数原理得，共有放法数N66660(种)2明确事件需要“分类”还是“分步”考点一 两个计数原理13考法例析考法例析 成就能力成就能力考法1 分类加法计数原理的应用1)四川20156用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A144个 B120个 C96个 D72个【解析】方法一：按末位是0，2，4分为三类第一类：末位是0时，首位只能从4，5中选一个，有243248(个)；第二类：末位是2时，首位只能从4，5中选一个，有243248(个)；第三类：末位是4时，首位只能是5，有143224(个)则由分类加法计数原理
9、可知共有484824120(个)考点一 两个计数原理14方法二：根据题意，得符合条件的五位数首位数字必须是4，5其中1个，末位数字为0，2，4.分两种情况讨论：首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有 24(种)情况，此时有32472(个)；首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有 24(种)情况，此时有22448(个)由分类加法计数原理可知共有7248120(个)故选B.方法三：用0，1，2，3，4，5可以组成的无重复数字的五位偶数分两类第一类：末位是0的有5432120(个)；第二类：末位是2或4的
10、有24432192(个)共有120192312(个)其中比4 0000小的有：万位是1，3且末位为0，2，4的共有23432144(个)，万位是2且末位为0，4的共有1243248(个)所以符合条件的五位偶数共有31214448120(个)考点一 两个计数原理考法1 分类加法计数原理的应用34A34A【答案】B15考法2 分步乘法计数原理的应用2)课标全国20165如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18 C12 D9考点一 两个计数原理16考法2 分步乘法计数原理的应用【解析】除已知标
11、记的E，F，G三点外，另记A，B，A1，B1，E1，A2，B2，G1，A3，B3，F1，如图所示若总体路线最短，则需E到F最短，并且F到G也最短E到F最短，可由EBF或EE1F.显然，由EBF最短有3条(EBAA1F或EBB1A1F或EBB1A2F)由EE1F最短有3条(EE1B1A1F或EE1B1A2F或EE1B2A2F)，由分类加法计数原理可知，EF共有6条最短路径而FG有FG1A3G，FB3A3G，FB3F1G共3条最短路径由分步乘法计数原理可知，共有6318条最短路径故选B.考点一 两个计数原理【答案】B17考法3 两个计数原理的综合应用3)浙江201716从6男2女共8名学生中选出队
12、长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)考点一 两个计数原理【解析】方法一：依题意，按照女生的人数分类第一类，含1女3男，有 40(种)，从这4人中选2人作为队长和副队长有 12(种)，故有4012480(种)；第二类，含2女2男，有 15(种)，从这4人中选2人作为队长和副队长有 12(种)，故有1512180(种)根据分类加法计数原理共有480180660种1236CC24A2226CC24A方法二：若不考虑至少有1名女生的要求，则不同的选法种数为 840.若选出的服务队中没有女生，则选法种数为 180.所以满足题意的选法
13、种数为840180660.261718CCC241516CCC【答案】660考点二考点二 排列与组合排列与组合必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力19考点二 排列与组合必备知必备知识识 全面把握全面把握1排列与排列数(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列对定义的理解，注意以下几点：(1)一定取出m个不同的元素(mn)(2)这m个元素按一定的顺序排成一列，有顺序即与元素的位置有关，不同的顺序为不同的排列(3)两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同相同的排列要与相同的集合区分开，
14、相同的集合只是要求元素相同，不要求顺序20考点二 排列与组合1排列与排列数(2)排列数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示 n(n1)(n2)(nm1)这里n，mN*，并且mn，这个公式叫做排列数公式mnAmnA(1)注意排列和排列数的不同：“一个排列”是指从n个不同的元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，是一个数，所以符号 只表示排列数，而不表示具体的排列(2)排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因
15、数小1，最后一个因数是nm1，共有m个因数mnA21考点二 排列与组合1排列与排列数(3)排列数的性质 ；在排列数公式中，当mn时，有 n(n1)(n2)321.这个公式指出，n个不同元素全部取出的排列数等于正整数1到n的连乘积正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，所以n个不同元素的全排列数公式可以写成 n！.规定0！1，n(n1)(n2)(nm1)即11mnmnnAAmnmnmnAmAA111nnAnnAmnA22考点二 排列与组合2组合与组合数(1)组合：一般地，从n个不同的元素中取出m（mn）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(1)如果两个组合中的元素完
16、全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合(2)从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关，即有序排列，无序组合23考点二 排列与组合2组合与组合数(2)组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示 这里n，mN*，并且mn，这个公式叫做组合数公式因为 ，所以上面的组合数还可以写成 .mnC!121mmnnnnAACmmmnmn!mnnAmn!mnmnCmn应注意“组合”与“组合数”这两个概念的区别组合是从n个不同元素中，任取m(mn)个元
17、素合成一组，是一个具体的事件，而组合数是符合条件的所有不同组合的个数，是一个数24考点二 排列与组合2组合与组合数(3)组合数的性质性质1：mnnmnCC这条性质表明：从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着从n个不同元素中取出nm个元素的唯一的一个组合，反之也是一样的，因此，从n个不同元素中取出m个元素的组合数 ，等于从这n个不同元素中取出nm个元素的组合数 .mnCmnnC据此性质，当m 时，通常不直接计算 ，而是改为计算 ，这样比较简便例如：为了使这个公式在nm时也成立，我们规定：1.2nmnCmnnC0nC25考点二 排列与组合2组合与组合数性质2：11mnmnmnCCC这条
18、性质也可以这样理解：从 ，这n1个不同的元素中取出m个元素的组合数是 ，这些组合可以分成两类，一类含有 ，一类不含有 .含有 的组合是从 ,这n个元素中取出m1个元素与 组成的，共有 个；不含 的组合是从 ，,，这n个元素中取出m个元素组成的，共有 个根据分类加法计数原理，得 1a2a1namnC11a1a1a2a3a1na1a1mnC1a2a3a1namnC11mnmnmnCCC26核心方法核心方法 重点突破重点突破考点二 排列与组合方法1 排列问题的解法(1)直接法直接法：把符合条件的排列数直接列式计算(2)优先法优先法：优先安排特殊元素或特殊位置(3)捆绑法捆绑法：把相邻元素看作一个整体
19、与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列(4)插空法插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中(5)先整体后局部先整体后局部：“小集团”排列问题中，先整体后局部(6)定序问题除法处理定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列(7)间接法间接法：正难则反，等价转化的方法27考点二 排列与组合方法1 排列问题的解法1)已知6人中只有1位是女士，这6人站成一排照相留念，若这位女士不站在两端，则不同的排法有_种【解析】本题利用“优先法”优先排女士，在中间4个位置上选1个，有 种排法；然后将其余5人排在余下的5
20、个位置上，有 种排法则共有 480(种)排法14A55A14A55A【答案】48028考点二 排列与组合方法1_排列问题的解法2)6人站成一排，甲、乙、丙任何2人都不相邻的排法种数是()【解析】本题利用“插空法”第一步，除甲、乙、丙外，其他3个人的排法有 种；第二步，3个人共形成4个空，让甲、乙、丙3个人在这4个空中任选3个进行排列，其排法有 种由分步乘法计数原理，得共有 种排法33A34A【答案】B29考点二 排列与组合方法1 排列问题的解法3)甲、乙、丙、丁四个人站成一排(1)若甲与乙需相邻，有多少种排法？(2)若乙与丙之间必须有一个人，有多少种排法？【解】(1)先将甲与乙两人进行排列，共
21、有 种排法；再将已经排好的甲与乙作为一个整体，与丙、丁一起进行排列，共有 种排法故总的排法数为(2)先将乙与丙两个人进行排列，共有 种排法；再从剩下的甲与丁中选一人放在乙与丙中间，有 种排法；最后将剩下的一人放入前三人组成的队列中，共有2种放法所以总的排法数为22A33A22A12A30考点二 排列与组合方法1 排列问题的解法4)5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有_种【解析】5个人并排站成一排总的排法数为 且甲在乙的左边与右边的排列数相同，甲在乙的右边的排法数为【答案】6031考点二 排列与组合方法1 排列问题的解法5)今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，
22、将这9个球排成一列有_种不同的方法(用数字作答)【解析】方法一：将这9个球排成一列有 种不同的排法，再除以2个红球，3个黄球，4个白球的顺序就可，因此有 不同的排法99A方法二：先在9个位置中选4个位置排白球，有 种排法，再从剩余的5个位置中选2个位置排红球，有 种排法，剩余的3个位置排黄球有 种排法，所以共有 (种)不同的排法49C25C33C【答案】1 26032考点二 排列与组合方法2 组合问题的解法(1)解决组合问题的几种常见的方法：正难则反正难则反、穷举法穷举法(即树状图法树状图法)、隔隔板法板法和分类讨论分类讨论(2)组合问题常见的两类题型：“含有”或“不含有”某些元素的组合题型“
23、含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取“至少”或“最多”含有几个元素的题型解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，若直接法分类复杂时，可逆向思维，间接求解(3)解决组合问题的基本原则：特殊元素优先考虑特殊元素优先考虑；合理分类与准确分步合理分类与准确分步33考点二 排列与组合方法2 组合问题的解法6)河南2017模拟把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为_【解析】方法一(直接法)：依题意得，按甲班2人或3人分类讨论如下：甲班2人
24、中至少含1名女生的情况包括1男1女 2女 由分类加法计数原理可知有 (种)；甲班3人中至少含1名女生的情况包括1女2男 2女1男 由分类加法计数原理可知有 由分类加法计数原理可知，满足条件的分配方案有7916(种)34考点二 排列与组合方法2 组合问题的解法方法二(间接法)：由题意，得5名新生分配到甲、乙两个班，每个班至少有2名，则甲班可以为2人，也可以为3人若甲班为2人，则有若甲班为3人，则有 共有 甲班2人中全为男生的有 种，甲班3人中全为男生的有 种，因此甲班至少分配1名女生的分配方案有23C33C【答案】1635考点二 排列与组合方法2 组合问题的解法7)某运输公司有7个车队，每个车队
25、的车辆均多于4辆现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有_种不同的抽调方法【解析】方法一(分类法)：在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有 种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有 种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有 种故共有 抽调方法17C27A37C方法二(隔板法)：由于每个车队的车辆均多于4辆，所以只需将10个份额分成7份可将10辆车排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将车分成7份，故共有 抽调方法【答案】8436考点二 排列与组合方法3 排列与组合的综合问题的解法分组与
26、分配问题是排列、组合问题的综合应用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配常见的命题角度有整体均分问题、部分均分问题、不等分问题(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 (n为均分的组数)，避免重复计数nnA(2)对于部分均分，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数(3)对于不等分，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数37考点二 排列与组合方法3 排列与组合的综合问题的解法8)将甲、
27、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法种数为()A240B180C150D540【解析】5名学生可分成2，2，1或3，1，1两种形式的三组当5名学生分成2，2，1时，有 保送方法；当5名学生分成3，1，1时，有 保送方法根据分类加法计数原理知，共有9060150(种)保送方法故选C.【答案】C38考点二 排列与组合方法3 排列与组合的综合问题的解法9)从5双不同尺码的鞋子中，选取4只(1)若选出的4只鞋子中，没有相同尺码的有_种；(2)若选出的4只鞋子中，只有2只是同双的，并且将这4只鞋子排成一排，同双的排在一起，有_种不同的
28、排法【解析】(1)应用组合定义，分步乘法计数原理从5双鞋子中选取4双有 种，然后从每双的2只中各取1只有 种，因此选出的4只鞋子中没有相同尺码的方法有 80(种)45C(2)先选后排先从5双鞋子中选1双有 种方法，然后从剩余4双中选2双后各取一只有 种，将同双的捆绑排列有 种，将其看作一个整体与其他两只进行全排列有 种，因此满足题意的方法有15C22A33A【答案】(1)80(2)1 44039考点二 排列与组合方法3 排列与组合的综合问题的解法10)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙2名同学至少有1人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序
29、种数为()A360 B520 C600 D720【解析】因为选人的结果不同会导致安排顺序的不同，所以考虑“先取再排”，分为“甲、乙同时选中”和“甲、乙只有1人选中”两种情况讨论40若甲、乙同时被选中，则只需再从剩下5人中选取2人即可，有 种，在安排顺序时，甲乙不相邻则“插空”，所以安排的方式有从而第一种情况的总数25C若甲、乙只有1人选中，则首先从甲、乙中选1人，有 种，再从剩下5人中选取3人，有 种，安排顺序时则无要求，所以第二种情况的总数12C35C从而不同的发言顺序共有N1N2120480600(种)【答案】C考点二 排列与组合方法3 排列与组合的综合问题的解法41考法例析考法例析 成就
30、能力成就能力考法1 单纯的排列或组合问题考点二 排列与组合1)四川20164用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24 B48 C60 D72【解析】由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数(奇数)，个位数字为奇数，有 种选法，其余4个数字全排列，所以奇数的个数为 故选D.13C【答案】D42考法1 单纯的排列或组合问题考点二 排列与组合2)上海20158在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_(结果用数值表示)【解析】根据题意，报名的有3名男教师和6名女教师，共9名教师，在9名教师中选取5人，
31、参加义务献血，有 (种)情况；其中只有女教师的有 (种)情况，则男、女教师都有的选取方式的种数为1266120.【答案】12043考法2 排列、组合混合应用题考点二 排列与组合3)课标全国20176安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A12种 B18种 C24种 D36种【解析】把4项工作分成“三堆”，其中“一堆”包含2项工作，另外“两堆”各包含1项工作，其分法有 (种)；然后把这“三堆”分配给3名志愿者，则分法有 种根据分步乘法计数原理可得不同的安排方式共有 (种)故选D.【答案】D44考法2 排列、组合混合应用题考点二 排列与组合4)天
32、津201714用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)【解析】一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有(个)；四个数字都是奇数的四位数有 (个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有9601201080(个)【答案】1080考点三考点三 二项式定理及其应用二项式定理及其应用必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力46必备知必备知识识 全面把握全面把握考点三 二项式定理及其应用1二项式定理 (nN*)这个公式叫做二项式定理右边的多项式叫做 的二项展开式，有n1项，其中各项的系数 (r0，1，n)叫
33、做二项式系数.式中的 叫做二项展开式的通项，用 表示，即 (0rn)，通项为展开式的第r1项rnCrrnrnrbaCT1使用通项 时，要注意：(1)通项表示的是展开式的第r1项，而不是第r项；(2)展开式中第r1项的二项式系数 与第r1项的系数不一定相等，只有在特殊情况下，它们的值才相等；(3)通项中含有a，b，n，r，五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元素；(4)求常数项、有理项和系数最大的项时，一般要根据通项讨论对r的限制，求有理项时要注意到指数的整数性47考点三 二项式定理及其应用2二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个
34、二项式系数相等.由已知公式 分别取m0，1，r，从而得(2)增减性与最大值增减性：二项式系数 是逐渐增大的；当 二项式系数 是逐渐减小的最大值：当n是偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数 ，相等，且同时取得最大值2nnC21nnC21nnC48考点三 二项式定理及其应用2二项式系数的性质(3)各二项式系数的和：的展开式的各个二项式系数的和等于 即 .的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，且都等于 即 .nnnnnnCCCC2210131202nnnnnCCCC(1)要注意二项展开式中各项的二项式系数与各项的系数的区别，展开式中二项
35、式系数的最大项应是中间项，并要根据n的奇偶性来确定是两项还是一项(2)系数最大项的系数，应满足它不小于前一项的系数，也不小于后一项的系数，若设第r1项为展开式的系数最大项，则应满足第r1项的系数大于或等于第r项及第r2项的系数49考点三 二项式定理及其应用3二项式定理的常用变形50考点三 二项式定理及其应用4二项式定理的应用(1)近似计算当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式 ，因为这时展开式的后面部分 很小，可以忽略不计类似地，有 但使用这两个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求naan11(2)证明整除性问题或求余数利用二项式定理证明整除性或求余数，关键是对被除式进行合理
36、的变形，把它写成恰当的二项式的形式，使其展开后的每一项都含有除式的因式或只有一两项不能整除51考点三 二项式定理及其应用4二项式定理的应用(3)利用二项式定理证明有关不等式证明有关不等式的处理方法：用二项式定理证明组合数不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证的过程运用时应注意巧妙地构造二项式证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不构成影响的若干项可以去掉52核心方法核心方法 重点突破重点突破方法1 二项展开式的特定项、特定项系数的解法考点三 二项式定理及其应用 的展开式的通项 (0rn，rN，nN*)，利用通项可求(1)指定项；(2)特指项：常数项(字母的
37、指数为零)、有理项(字母的指数为整数)等；(3)特定项的系数(1)应用通项要注意五点：表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；是展开式中的第r1项，而不是第r项；公式中a，b的指数和为n，且a，b不能颠倒位置；要将通项中的系数和字母分开，以便解决问题；关于 的二项展开式的通项，要特别注意符号问题53方法1 二项展开式的特定项、特定项系数的解法考点三 二项式定理及其应用(2)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r1，代回通项即可具体如下：求解形如 的展开式中与特定项相关的量(求常数项、参数值、特
38、定项)第一步，利用二项式定理写出展开式的通项 常把字母和系数分离(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项等特定项的指数需要满足的条件，或者其系数需要满足的条件等)先列出相应方程(组)或不等式(组)，求出r；第三步，把r代入通项中，即可求出 ，有时还需要先求n，再求r，才能求出 或者其他量54方法1 二项展开式的特定项、特定项系数的解法考点三 二项式定理及其应用求形如 的展开式中与特定项相关的量 第一步，根据二项式定理把 分别展开，并写出其通项；第二步，分析特定项可由 的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项相加减即可得到特定项55方法1 二项展开式的特定项、特定项系
39、数的解法考点三 二项式定理及其应用1)二项式 的展开式中的常数项是_【解析】方法一：二项式 的展开式的通项 依题意可得 常数项为方法二：二项式 的展开式中的常数项可以看作是8个 所出的项进行分配，需要2个式子出 6个式子出相乘，所以常数项为【答案】756方法1 二项展开式的特定项、特定项系数的解法考点三 二项式定理及其应用2)的展开式的有理项的项数是()A2 B3 C4 D5【解析】的展开式的通项 令 即 且r0，1，2，9，r3或r9.当r3时，当r9时，所以 的展开式的有理项是第4项与第10项，选A.【答案】A57方法1 二项展开式的特定项、特定项系数的解法考点三 二项式定理及其应用3)已
40、知 的展开式中含 的项的系数为30，则a()【解析】二项式 的展开式的通项 由题意得 【答案】D58方法1 二项展开式的特定项、特定项系数的解法考点三 二项式定理及其应用4)的展开式的常数项是()A3 B2 C2 D3【解析】二项式 的展开式的通项当2r102，即r4时，当2r100，即r5时，展开式中的常数项为523，故选D.【答案】D59方法1 二项展开式的特定项、特定项系数的解法考点三 二项式定理及其应用5)的展开式中 项的系数为()A210 B210 C30 D30【解析】方法一：的展开式中 项的构成有以下两种情况60方法1 二项展开式的特定项、特定项系数的解法考点三 二项式定理及其应
41、用【答案】A61方法2 与二项展开式中的系数和有关的问题解法考点三 二项式定理及其应用对形如 (a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，对 的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x=y=1即可.nbyax一般地，若 则f(x)的各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为 偶数项系数之和为62考点三 二项式定理及其应用方法2 与二项展开式中的系数和有关的问题解法6)在 的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则展开式中不含a的项是第_项【解析】依题意，得【答案】563考点三 二项式定理及其应用方法2_与二项展开式中的系数和有关的问题解法7)已知64考点三 二项式定理及其应用方法
42、2 与二项展开式中的系数和有关的问题解法65考点三 二项式定理及其应用方法3 有关二项展开式中的最值问题解法(1)二项式系数最大项的确定方法若n是偶数，则 的二项式系数最大；若n是奇数，的二项式系数相等并最大(2)二项展开式系数最大项的求法如求 的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为 且第r项系数最大，应用66考点三 二项式定理及其应用方法3 有关二项展开式中的最值问题解法9)已知 的展开式中各项系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项67考点三 二项式定理及其应用方法3 有关二项展开式中的最值问题解法68
43、考点三 二项式定理及其应用考法例析考法例析 成就能力成就能力考法1 直接运用通项求特定项、系数、最值、各项系数和等1)课标全国20174 的展开式中 的系数为()A80 B40 C40 D8069考点三 二项式定理及其应用考法1 直接运用通项求特定项、系数、最值、各项系数和等2)课标全国201510 的展开式中，的系数为()A10 B20C30 D6070考点三 二项式定理及其应用考法1 直接运用通项求特定项、系数、最值、各项系数和等3)山东201711 的展开式中含有 项的系数是54，则n_【解析】(13x)n的展开式的通项为 由题意知【答案】471考点三 二项式定理及其应用考法1 直接运用通项求特定项、系数、最值、各项系数和等4)课标全国201515 的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.【答案】372考点三 二项式定理及其应用考法2 与二项式定理有关的恒等式5)安徽201413设a0，n是大于1的自然数，若点Ai(i，ai)(i0，1，2)的位置如图所示，则a_.【答案】373考点三 二项式定理及其应用【答案】A考法3 二项式定理与其他知识的交汇6)四川20162设i为虚数单位，则 的展开式中含的项为()
