1、 题型八题型八 二次函数综合题二次函数综合题类型五类型五 平行四边形、菱形、正方形的存平行四边形、菱形、正方形的存在性问题在性问题第二部分第二部分 攻克题型得高分攻克题型得高分例例 如图，如图，抛物线经过抛物线经过A(-5,0)，B(-1,0)，C(0,5)三点，三点，顶点为顶点为M，连接，连接AC，抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为l，l与与x轴交点轴交点为为D，与，与AC的交点为的交点为E.（1）求抛物线的解析式、顶点坐标以及对称轴）求抛物线的解析式、顶点坐标以及对称轴l；(1)【思维教练思维教练】典例精析 解：由由拋物线过解：由由拋物线过A(5，0)，B(1，0)可知，其对称可知，其对称
2、轴轴l为为x3，设抛物线解析式为，设抛物线解析式为ya(x3)2h，分别，分别将将A(5，0)，C(0，5)代入上式代入上式可得可得 ，解得解得抛物线解析式为抛物线解析式为y(x3)24x26x5，顶点坐标为顶点坐标为(3，4)4095ahah14ah（2）设点）设点P是直线是直线l上一点，且上一点，且PMCO，求点，求点P的坐标；的坐标；(2)【思维教练思维教练】例题图解：解：点点C(0，5)，CO5，设点设点P的坐标为的坐标为(-3，p)，如解图，当点如解图，当点P在在M点上方，点上方，则则PMp(-4)5，解得，解得p1，此时点此时点P的坐标为的坐标为(-3，1)；当点当点P在在M点下方
3、，点下方，则则PM-4p5，解得解得p-9，此时点，此时点P的坐标为的坐标为(-3，-9)综上，这样的点综上，这样的点P有两个，坐标分别为有两个，坐标分别为(-3，1)、(-3，-9)；例题解图（3）设点）设点G是抛物线上一点，过点是抛物线上一点，过点G作作GHl于点于点H，是否存在点是否存在点G，使得以，使得以A、B、G、H为顶点的四边形是为顶点的四边形是平行四边形？若存在平行四边形？若存在,求出点求出点G的坐标，若不存在，请的坐标，若不存在，请说明理由说明理由;(3)【思维教练思维教练】若要以点若要以点A、B、G、H构成的四边形构成的四边形为平行四边形，由图可得点为平行四边形，由图可得点G
4、只能位于只能位于x轴以上部分的轴以上部分的抛物线上，在对称轴两侧，会存在对称的两点，然后抛物线上，在对称轴两侧，会存在对称的两点，然后根据对边相等求解根据对边相等求解解：存在如解图，解：存在如解图，点点G在抛物线上，则设点在抛物线上，则设点G的坐标为的坐标为(g，g26g5)，GHx轴，点轴，点H在直线在直线l：x-3上，上，点点H(-3，g26g5)GHAB，要得到平行四边形，要得到平行四边形，GHAB4，即即|g3|4，解得，解得g1或或g-7，当当g1时，时，g26g512，此时点，此时点G的坐标为的坐标为(1，12)；当当g-7时，时，g26g512，此时点，此时点G的坐标为的坐标为(
5、-7，12)综上，这样的点综上，这样的点G有两个，坐标分别为有两个，坐标分别为(1，12)、(-7，12)例题解图（4）设）设K是抛物线上一点是抛物线上一点,过过K作作KJy轴轴,交直线交直线AC于点于点J,是否存在点是否存在点K使得以使得以M、E、K、J为顶点的四为顶点的四边形是平行四边形边形是平行四边形,若存在若存在,求出点求出点K的坐标的坐标;若不存在若不存在,请说明理由；请说明理由；(4)【思维教练思维教练】解：存在，如解图，设点解：存在，如解图，设点K的坐标为的坐标为(e，e26e5)，KJy轴，交直线轴，交直线AC于点于点J，直线，直线AC的解析式为的解析式为yx5，设点设点J的坐
6、标为的坐标为(e，e5)M(-3，-4)，E(-3，2)，ME6.MEy轴，轴，KJy轴，轴，KJME，要得到平行四边形，只需要得到平行四边形，只需KJME6.()当点当点K在点在点J的下方时，的下方时，KJ(e5)(e26e5)-e25e，则则-e25e6，解得，解得e1-2，e2-3，例题解图则则K1(-2，-3)或或K2(-3，-4)，由于由于K2(-3，-4)与点与点M重合，此时不能构成平行四边形，重合，此时不能构成平行四边形，故舍去；故舍去；()当点当点K在点在点J的上方时，的上方时，KJ(e26e5)(e5)e25e，则则e25e6，解得，解得e3-6，e41，则则K3(-6，5)
7、、k4(1，12)综上，这样的点综上，这样的点K有三个，坐标分别为有三个，坐标分别为(-2，-3)、(-6，5)或或(1，12)（5）设点）设点N是抛物线上一点是抛物线上一点,过点过点N作作NSAC,交交x轴轴于点于点S,是否存在点是否存在点N,使得以使得以A、E、N、S为顶点的四为顶点的四边形是平行四边形？若存在边形是平行四边形？若存在,求出点求出点N的坐标的坐标;若不存若不存在在,请说明理由；请说明理由；(5)【思维教练思维教练】2解：如解图，过点解：如解图，过点N作作NTx轴，交轴，交x轴于点轴于点T，NSAE，NSTEAD，NTx轴，轴，EDx轴，轴，NTSEDA90，NSAE，要以点
8、，要以点A、E、N、S为顶点的为顶点的四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形，则NSAE，SNT AED，NTED2.设点设点N的坐标为的坐标为(n，n26n5)，当点当点N在在x轴上方，则轴上方，则NTn26n52，例题解图解得解得n1-3，n2 3，此时点此时点N的坐标为的坐标为N1(-3，2)或或N2(3，2)；当点当点N在在x轴下方，则轴下方，则NT-n26n52，解得解得n3-3 ，n4-3 ，此时点此时点N的坐标为的坐标为N3(-3 ，-2)或或N4(-3 ，-2)综上，这样的点综上，这样的点N有有4个，分别为：个，分别为：(-3，2)，(3，2)，(-3 ，-2)或或 (-3
9、，-2)626666222622（6）设点）设点Q是抛物线上一点是抛物线上一点,点点R是任意一点是任意一点,是否是否存在点存在点Q，使得四边形，使得四边形AQCR是菱形是菱形,若存在若存在,求出点求出点Q的坐标；若不存在的坐标；若不存在,请说明理由请说明理由.(6)【思维教练思维教练】解：存在如解图，过点解：存在如解图，过点O作作OIAC交交AC于点于点I.OAOC5，AICI，OI是是AC的垂直平分线，的垂直平分线，四边形四边形AQCR是菱形，是菱形，点点Q、R在在AC的垂直平分线上，的垂直平分线上，点点Q是直线是直线OI与抛物线的交点与抛物线的交点过点过点I作作II x轴于点轴于点I，则，则II是是AOC的中位线，的中位线，II OC ，IO AO ，点点I的坐标为的坐标为(-，)，例题解图121252525252设直线设直线OI的解析式为的解析式为ytx，将点，将点I的坐标代入，可得的坐标代入，可得t-1，直线直线OI的解析式为的解析式为y-x，与抛物线联立得与抛物线联立得 ，解得，解得 ，这样的这样的Q有两个，坐标分别为有两个，坐标分别为(，)；(，)265yxyxx 1172927292xy 2272927292xy 7292 72927292 7292
