1、第二轮第二轮 中考题型突破中考题型突破专题五图形变换【题型题型1】轴对称变换型轴对称变换型【例例 1】（2017德州市）如图，在矩形纸片德州市）如图，在矩形纸片ABCD中，中，AB3 cm，AD5 cm，折叠纸片使，折叠纸片使B点落在边点落在边AD上的上的E处，处，折痕为折痕为PQ.过点过点E作作EFAB交交PQ于于F，连接，连接BF.(1)求证：四边形求证：四边形BFEP为菱形；为菱形；(2)当当E在在AD边上移动时，折痕边上移动时，折痕 的端点的端点P，Q也随着移动也随着移动.当点当点Q与点与点C重合时，重合时，如图如图2，求菱形，求菱形BFEP的的 边长；边长；如限定如限定P，Q分别在分
2、别在BA，BC 上移动，求出点上移动，求出点E在边在边AD上移动的最大距离上移动的最大距离.【题型题型1】轴对称变换型轴对称变换型思路点拨：（思路点拨：（1）利用定理：四条边都相等的四边形是菱）利用定理：四条边都相等的四边形是菱形，即可证得；（形，即可证得；（2）由折叠性质，可得）由折叠性质，可得CEBC5 cm，在直角三角形在直角三角形CDE中，可求出中，可求出DE的长，在直角三角的长，在直角三角形形APE中，根据勾股定理和方程思想求出中，根据勾股定理和方程思想求出EP ，分，分两种情况讨论：第一是点两种情况讨论：第一是点Q和点和点C重合；第二是点重合；第二是点P和点和点A重合重合.53(1
3、)证明：证明：折叠纸片使折叠纸片使B点落在边点落在边AD上的上的E处，折痕为处，折痕为PQ，点点B与点与点E关于关于PQ对称对称.PBPE，BFEF，BPFEPF.又又EFAB，BPFEFP.EPFEFP.EPEF.BPBFEFEP.四边形四边形BFEP是菱形；是菱形；(2)解：如图解：如图2，四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，BCAD5 cm，CDAB3 cm，AD90.点点B与点与点E关于关于PQ对称，对称，CEBC5 cm.在在RtCDE中，中，DE2CE2CD2，即，即DE25232，DE4 cm.AEADDE5 cm4 cm1 cm.在在RtAPE中，中，AE1，AP3PB3PE，
4、EP212(3EP)2，解得，解得EP cm.菱形菱形BFEP的边长为的边长为 cm；当点当点Q与点与点C重合时，如图重合时，如图2，点，点E离离A 点最近，由知，此时点最近，由知，此时AE1 cm.当点当点P与点与点A重合时，如答图重合时，如答图.点点E离离A点最远，此时，四边点最远，此时，四边 形形ABQE是正方形，是正方形，AEAB3 cm.点点E在边在边AD上移动上移动 的最大距离为的最大距离为2 cm.5353【题型题型1】轴对称变换型轴对称变换型【即时巩固即时巩固1】（2016十堰市）如图，将矩形纸片十堰市）如图，将矩形纸片ABCD（ADAB）折叠，使点）折叠，使点C刚好落在线段刚
5、好落在线段AD上，设折叠后上，设折叠后点点C，D的对应点分别为点的对应点分别为点G，H，折痕分别与边，折痕分别与边BC，AD相交于点相交于点E，F.(1)判断四边形判断四边形CEGF的形状，的形状，并证明你的结论；并证明你的结论；(2)若若AB3，BC9，求线段，求线段 CE长的取值范围长的取值范围.【题型题型1】轴对称变换型轴对称变换型解：解：(1)四边形四边形CEGF为菱形为菱形.证明如下：证明如下：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ADBC.GFEFEC.图形翻折后点图形翻折后点C与点与点G重合，重合，EF为折痕，为折痕，GEFFEC.GFEGEF.GFGE.图形折叠后，图形折叠后，E
6、C与与GE完全重合，完全重合，ECGE.GFEC.又又ADBC，四边形四边形CEGF为平行四边形为平行四边形.四边形四边形CEGF为菱形为菱形.【题型题型1】轴对称变换型轴对称变换型(2)如图，当如图，当F与与D重合时，重合时，CE取最小值取最小值.由（由（1）知，四边形）知，四边形CEGD是菱形是菱形.CECDAB3.如图，当如图，当G与与A重合时，重合时，CE取最大值取最大值.由折叠的性质，得由折叠的性质，得AECE.四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，B90.在在RtABE中，中，AE2AB2BE2，即即CE232(9CE)2.CE5.线段线段CE长的取值范围为长的取值范围为3CE5.【
7、题型题型2】平移变换型平移变换型【例例2】有一副直角三角板，在三角板有一副直角三角板，在三角板ABC中，中，BAC90，ABAC6；在三角板；在三角板DEF中，中，FDE90，DF4，DE .将这副直角三角板按如图所示位置摆放，点将这副直角三角板按如图所示位置摆放，点B与点与点F重合，直角边重合，直角边BA与与FD在同一条直线上在同一条直线上.现固定三角板现固定三角板ABC，将三角板将三角板DEF沿射线沿射线BA方向平行移动，当点方向平行移动，当点F运动到点运动到点A时停时停止运动止运动.(1)如图，当三角板如图，当三角板DEF运动到点运动到点D与点与点A重合时，设重合时，设EF与与 BC交于
8、点交于点M，则，则EMC_；(2)如图，在三角板如图，在三角板DEF 运动过程中，当运动过程中，当EF经过经过 点点C时，求时，求FC的长；的长；(3)在三角板在三角板DEF运动过程中，运动过程中，设设BFx，两块三角板重叠，两块三角板重叠 部分面积为部分面积为y，求，求y关于关于x的函数解析式，并求出对应的的函数解析式，并求出对应的x的取的取 值范围值范围.154 3【题型题型2】平移变换型平移变换型思路点拨：（思路点拨：（1）由三角板的各个内角的度数，以及三角）由三角板的各个内角的度数，以及三角形内、外角的关系可求得；（形内、外角的关系可求得；（2）解）解RtACF即可；（即可；（3）此问
9、要注意运动过程中的此问要注意运动过程中的“静态静态”，分类讨论，就是根据，分类讨论，就是根据题中三个图可将运动过程分为三种情况来讨论，利用相似题中三个图可将运动过程分为三种情况来讨论，利用相似三角形、解直角三角形和三角形面积公式等可求出三角形、解直角三角形和三角形面积公式等可求出.【题型题型2】平移变换型平移变换型(2)解：在解：在RtCFA中，中，AC6，ACFE30，FC(3)解：如答图解：如答图1，过点，过点M作作MNAB于点于点N，则则MNDE，NMBB45.NBNM，NFNBBFMNx.MNDE，FMNFED.即即 MN364 3.cos302AC 33.2x.44 3MNMNx M
10、NNFEDDF，【题型题型2】平移变换型平移变换型当当0 x2时，如答图时，如答图1，设，设DE与与BC相交于点相交于点G，则则DGDB4x.ySBGDSBMF 即即y1122DB DGBF MN 21348.4xx 21133(4).222xxx 【题型题型2】平移变换型平移变换型当当2x 时，如答图时，如答图2.ySBCASBMF 即即y21122ACBF MN 23318.4x 62 3 13318.22xx 【题型题型2】平移变换型平移变换型当当 x6时，如答图时，如答图3，设，设AC与与EF交于点交于点H.AF6x，AHFE30，AHySFHA综上所述，当综上所述，当0 x2时，时，
11、y ；当当2x 时，时，y ；当当 x6时，时，y213484xx 62 3 213(6)3(6)(6).22xxx 33(6).AFx62 3 233184x 62 3 23(6).2x【题型题型2】平移变换型平移变换型【即时巩固即时巩固2】（2016陕西省）如图，在平面直角坐标系陕西省）如图，在平面直角坐标系中，点中，点O为坐标原点，抛物线为坐标原点，抛物线yax2bx5经过点经过点M（1，3）和）和N（3，5）.(1)试判断该抛物线与试判断该抛物线与x轴交点的情况；轴交点的情况；(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物平移这条抛物线，使平移后的抛物 线经过点线经过点A（2，0），且与），且与
12、y轴交轴交 于点于点B，同时满足以，同时满足以A，O，B为顶为顶 点的三角形是等腰直角三角形，请点的三角形是等腰直角三角形，请 你写出平移过程，并说明理由你写出平移过程，并说明理由.【题型题型2】平移变换型平移变换型解：解：(1)把点把点M，N坐标分别代入抛物线解析式，坐标分别代入抛物线解析式，可得可得 解得解得 抛物线解析式为抛物线解析式为yx23x5.(3)2415110，该抛物线与该抛物线与x轴没有交点；轴没有交点；(2)原抛物线解析式原抛物线解析式yx23x5 AOB是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，A（2，0），），点点B在在y轴上，轴上，B点坐标为（点坐标为（0，2）或（）或（0
13、，2）.设平移后的抛物线解析式为设平移后的抛物线解析式为yx2mxn.539355abab，13.ab ，2311().24x【题型题型2】平移变换型平移变换型当抛物线过点当抛物线过点A（2，0）和）和B（0，2）时，）时，代入可得代入可得 解得解得平移后的抛物线解析式为平移后的抛物线解析式为yx23x2该抛物线的顶点坐标为（该抛物线的顶点坐标为（），而原抛物线的），而原抛物线的顶点坐标为（顶点坐标为（）.将原抛物线先向左平移将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移个单位，再向下平移3个单位个单位即可获得符合条件的抛物线即可获得符合条件的抛物线.2420nmn，32.mn ，231().24x
14、 3124，3 1124，【题型题型2】平移变换型平移变换型当抛物线过点当抛物线过点A（2，0），），B（0，2）时，）时，代入可得代入可得 解得解得平移后的抛物线解析式为平移后的抛物线解析式为yx2x2该抛物线的顶点坐标为（该抛物线的顶点坐标为（），而原抛物线的），而原抛物线的顶点坐标为（顶点坐标为（）.将原抛物线先向左平移将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移个单位，再向下平移5个单位个单位即可获得符合条件的抛物线即可获得符合条件的抛物线.2420nmn ，12.mn ，219().24x 1924，3 1124，【题型题型3】旋转变换型旋转变换型【例例3】（2017自贡市）自贡市）如图
15、如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点为坐标原点，点A（1，0），点），点B（0，）.(1)求求BAO的度数的度数.(2)如图如图1，将，将AOB绕点绕点O顺时针旋转得到顺时针旋转得到AOB，当点，当点 A恰好落在恰好落在AB边上时，设边上时，设ABO的面积为的面积为S1，BAO 的面积为的面积为S2，问，问S1与与S2有何关系？为什么？有何关系？为什么？(3)若将若将AOB绕点绕点O 顺时针旋转到如图顺时针旋转到如图2 所示的位置，问所示的位置，问S1 与与S2的关系发生变的关系发生变 化了吗？证明你的化了吗？证明你的 判断判断.3【题型题型3】旋转变换型旋转变换型
16、思路点拨：（思路点拨：（1）先求出）先求出OA，OB，再利用锐角三角函数，再利用锐角三角函数即可得出结论即可得出结论.（2）由（）由（1）中结论及旋转的性质，易知）中结论及旋转的性质，易知AOA为等边三角形且为等边三角形且ABOA，再结合，再结合30角的直角角的直角三角形性质可得三角形性质可得ABOA，然后根据等边三角形的性质，然后根据等边三角形的性质可知点可知点O到直线到直线AB的距离等于点的距离等于点B到直线到直线OA的距离，从的距离，从而由等底等高的三角形面积相等得出结论而由等底等高的三角形面积相等得出结论.（3）在）在x轴正轴正半轴上取一点半轴上取一点C，使得，使得OCOA，易判断出，
17、易判断出SABOSBCO，再证得再证得BAO BCO，即，即SBAOSBCO，等量代换，等量代换即可得出结论即可得出结论.解：解：(1)A（1，0），），B（0，），），OA1，OB .在在RtAOB中，中，tanBAO ，BAO60.333OBOA【题型题型3】旋转变换型旋转变换型 (2)S1S2.理由如下：理由如下：由旋转的性质，得由旋转的性质，得OAOA，BAOBAO60.AOA为等边三角形为等边三角形.AAOA，AOA60.BAOAOA.ABOA.点点A，B到直线到直线OA的距离相等的距离相等.在在RtAOB中，中，BAO60，ABO30.OA AB.AA AB.AB ABOA.又又等
18、边三角形的三条高都相等，等边三角形的三条高都相等，点点O到直线到直线AB的距离等于点的距离等于点B到直线到直线OA的距离的距离.SABOSBAO，即，即S1S2（等底等高的三角形面（等底等高的三角形面 积相等）积相等）.121212【题型题型3】旋转变换型旋转变换型 (3)S1与与S2的关系不变，仍然有的关系不变，仍然有S1S2.证明如下：证明如下：如图，在如图，在x轴正半轴上取一点轴正半轴上取一点C，使，使OCOA，连接连接BC.SABOSBCO.由旋转的性质，得由旋转的性质，得OAOAOC，OBOB，AOBAOB90.又又BOC90，BOCAOCAOBAOC，即即AOBCOB.BAO BC
19、O（SAS）.SBAOSBCO.SABOSBAO，即，即S1S2.【题型题型3】旋转变换型旋转变换型【即时巩固即时巩固3】（2016成都市）如图成都市）如图1，在，在ABC中，中，ABC45，AHBC于点于点H，点，点D在在AH上，上，且且DHCH，连接，连接BD.(1)求证：求证：BDAC.(2)将将BHD绕点绕点H旋转，得到旋转，得到EHF（点（点B，D分别与点分别与点 E，F对应），连接对应），连接AE.如图如图2，当点，当点F落在落在AC上时，（上时，（F不与不与C重合），若重合），若 BC4，tan C3，求，求AE的长；的长；如图如图3，当，当EHF是由是由BHD绕点绕点H逆时针旋
20、转逆时针旋转30 得到时，设射线得到时，设射线CF与与AE相交于点相交于点G，连接，连接GH，试探，试探 究线段究线段GH与与EF之间满足的等量关系，并说明理由之间满足的等量关系，并说明理由.【题型题型3】旋转变换型旋转变换型(1)证明：在证明：在RtAHB中，中，ABC45，AHBH.在在BHD和和AHC中，中，BHD AHC（SAS）.BDAC.BHAHBHDAHCDHCH ，(2)解：如图，在解：如图，在RtAHC中，中，tan C3，3.设设CHx，则，则BHAH3x.BC4，3xx4，解得，解得x1.AH3，CH1.由旋转，得由旋转，得EHFBHDAHC90，EHBHAH，CHDHF
21、H.EHAFHC，EHAFHC.EAHC.tanEAHtan C3.过点过点H作作HPAE于点于点P.HP3AP，AE2AP.在在RtAHP中，中，AP2HP2AH2，AP2(3AP)29.AP .AE2AP .AHCH.EHAHFHCH 3 10103 105EF2GH.理由如下：设理由如下：设AH交交CG于点于点Q.由旋转得，由旋转得，AEH和和FHC都为等腰三角形，都为等腰三角形，AHEFHC120.EAHFCH30.又又AQGCQH，AQGCQH.，AGQCHQ90.AQCGQH，AQCGQH.又易知又易知ACEF，EF2GH.AQGQCQHQ.AQCQGQHQ.AQACGQGH 12
22、.sin30EFACAQGHGHGQ【题型题型4】综合变换型综合变换型【例例 4】（改编题）如图（改编题）如图1，一副直角三角板满足，一副直角三角板满足ABBC，ACDE，ABCDEF90，EDF30【操作操作】将三角板将三角板DEF的直角顶点的直角顶点E放置于三角板放置于三角板ABC的斜边的斜边AC上，上，再将三角板再将三角板DEF绕点绕点E旋转，并使边旋转，并使边DE与边与边AB交于点交于点P，边，边EF与边与边BC于点于点Q.【探究一探究一】在旋转过程中，在旋转过程中，(1)如图如图2，当，当 1时，时，EP与与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明满足怎样的数量关系？并给出证明.(2)如图
23、如图3，当，当 2时，时，EP与与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明满足怎样的数量关系？并给出证明.(3)根据你对（根据你对（1）、（）、（2）的探究结果，试写出当）的探究结果，试写出当 m时，直接时，直接 写出写出EP与与EQ满足的数量关系式及满足的数量关系式及m的取值范围的取值范围.【探究二探究二】在（在（2）的条件下，若）的条件下，若AC30 cm，连接，连接PQ，设，设EPQ的的面积为面积为S（cm2），在旋转过程中，），在旋转过程中，S是否存在最大值或最小值？若存是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由.CEEA
24、CEEACEEA【题型题型4】综合变换型综合变换型思路点拨：思路点拨：【探究一探究一】(1)EPEQ，连接连接BE，证明，证明BEP CEQ即可得到即可得到EPEQ；(2)EP EQ1 2，作，作EMAB，ENBC，证明，证明EPMEQN即可得到即可得到EP EQEM ENAE CE1 2；(3)EP EQ1 m，同，同(2)法，证明法，证明EPMEQN即可得到即可得到EP EQEM ENAE CE1 m，当，当EFEN时，时，m取得最取得最大值，通过比例可求得大值，通过比例可求得m的最大值为的最大值为2 ，即，即02 时时EF和和BC不会相交）不会相交）.【探究二探究二】显然当显然当EFBC
25、时，时，EQ和和EP最小；当最小；当EFEQ时，时，EQ和和EP最大，即可分别求出最大，即可分别求出S的最小值和最大值的最小值和最大值.666【题型题型4】综合变换型综合变换型探究一：探究一：(1)解：解：EPEQ.证明如下：如图证明如下：如图2，连接，连接BE.1，E是是AC的中点的中点.根据根据E是是AC的中点和等腰直角三角形的性质，的中点和等腰直角三角形的性质，得得PBEC，BECE.又又PEBQEBQECQEB90 PEBQEC.BEP CEQ（ASA）.EPEQ.CEEA【题型题型4】综合变换型综合变换型 (2)解：解：EP EQ1 2.证明如下：如图证明如下：如图3，作，作EMAB
26、 于于M，ENBC于于N.PMEQNE90.又又PEMPENQENPEN90，PEMQEN.EPMEQN.EP EQEM ENAE CE1 2.(3)EP EQ1 m，0m2 .6【题型题型4】综合变换型综合变换型探究二：解：存在探究二：解：存在.理由如下：若理由如下：若AC30 cm，EP EQ 1 2，则，则ACDE30，ABBC ，EFDEtan 30 .当当EFBC时，时，EQ和和EP最小，最小，EPQ的面积最的面积最 小，此时小，此时EPQ与与EMN重合，重合，易证易证CENCAB，即，即 EN ，EM .S 50（cm2）.当当EQEF 时，时，EQ和和EP最大，最大，EPQ的的面
27、积最大，此时面积最大，此时EP S 75（cm2）.ENCEABAC 15 210 32.315 2EN 10 25 215 2 10 2210 35 3，15 3 10 32【题型题型4】综合变换型综合变换型【即时巩固即时巩固4】（改编题）如图，在平面直角坐标系中，（改编题）如图，在平面直角坐标系中，OAOB，ABx轴于点轴于点C，点，点A（3，1）在反比例函数）在反比例函数y 的图象上的图象上.(1)求反比例函数求反比例函数y 的表达式；的表达式；(2)在在x轴上存在一点轴上存在一点P，使得，使得SAOP SAOB，求点，求点P的坐标；的坐标；(3)若将若将BOA绕点绕点B按逆时针方向旋转
28、按逆时针方向旋转60得到得到BDE.直接写出点直接写出点E的坐标，并判断点的坐标，并判断点E是否在该反比例函数是否在该反比例函数 的图象上，说明理由的图象上，说明理由.kxkx12【题型题型4】综合变换型综合变换型解：解：(1)点点A（，1）在反比例函数）在反比例函数 的图象上，的图象上，k 1 .反比例函数的表达式为反比例函数的表达式为 .3kyx 3yx 33 (2)点点A（，1），），ABx轴于点轴于点C，OC ，AC1.易证得易证得AOCOBC.ABACBC4.SAOB OCAB 42 .SAOP SAOB .设点设点P的坐标为（的坐标为（m，0）.点点P的坐标是（的坐标是（，0）或（）或（，0）.33.OCACBCOC 22(3)3.1OCBCAC121233123113.2m 2 3.m 2 3 2 3【题型题型4】综合变换型综合变换型 (3)点点E（，1）在该反比例函数的图象上）在该反比例函数的图象上.理由如下：理由如下：，点点E在该反比例函数的图象上在该反比例函数的图象上.33(1)3
