1、1 1、相关知识要点、相关知识要点2 2、往年实际赛题演练、往年实际赛题演练3 3、模拟模拟赛题演练赛题演练1.1.1 1.1.1 平面的点法式方程平面的点法式方程而而M0 M=x x0,y y0,z z0,得得:A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0称方程称方程(1)为平面的为平面的点法式方程点法式方程.(1)yxzM0MnO对于平面上任一点对于平面上任一点M(x,y,z),向量向量M0M与与n垂直垂直.n M0 M=0设平面设平面 过定点过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量且有法向量n=A,B,C.1.1.1.1.平面的方程平面的方程1.定理定理1:任何任何x,y,z的
2、一次方程的一次方程Ax+By+Cz+D=0都表示平面都表示平面,且此平面的一个法向量是且此平面的一个法向量是:n=A,B,C注：一次方程注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0 (2)称为平面的称为平面的一般方程一般方程.1xyzabc (3)即平面的即平面的截距式方程截距式方程。(3)1.1.4 平面方程的几种特殊情形平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程过原点的平面方程由于由于O(0,0,0)满足方程满足方程,所以所以D=0.于是于是,过原点的平面方程为过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0(2)平行于坐标轴的方程平行于坐标轴的方程考虑平行于考虑平行于x轴的平面轴的平面Ax+By+C
3、z+D=0,它的法向量它的法向量n=A,B,C与与x 轴上的单位向量轴上的单位向量 i=1,0,0垂直垂直,所以所以n i=A 1+B 0+C 0=A=0于是于是:平行于平行于x 轴的平面方程是轴的平面方程是 By+Cz+D=0;平行于平行于y 轴的平面方程是轴的平面方程是 Ax+Cz+D=0;平行于平行于z 轴的平面方程是轴的平面方程是 Ax+By+D=0.特别特别:D=0时时,平面过坐标轴平面过坐标轴.(3)平行于坐标面的平面方程平行于坐标面的平面方程平行于平行于xOy 面面的平面方程是的平面方程是平行于平行于xOz 面的平面方程是面的平面方程是平行于平行于yOz 面的平面方程是面的平面方
4、程是Cz+D=0;By+D=0;Ax+D=0.一一.2 空间直线的方程空间直线的方程xyzo1 2 空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA11112222040A xB yC zDA xB yC zD （）(4)称为空间直线的一般方程称为空间直线的一般方程L1.2.1 空间直线的一般方程空间直线的一般方程1.2.2 1.2.2 直线的对称式方程直线的对称式方程已知直线已知直线L过过M0(x0,y0,z0)点点方向向量方向向量 s=m,n,p所以得比例式所以得比例式000 xxyyzzmnp(5)称为空间直线的称为空间直线
5、的对称式方程或点向式方程对称式方程或点向式方程.,LM sMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM ),(zyxMxyzosL0M M 1.2.3 1.2.3 空间直线的参数式方程空间直线的参数式方程得得:(6)称为空间直线的称为空间直线的参数方程参数方程.(6)tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数定理定理 如果两个平面如果两个平面 2：A2x+B2y+C2z+D2=0 1：A1x+B1y+C1z+D1=0交于一条直线交于一条直线L，则以直线，则以直线L为轴的有轴为轴的有轴平面束的平面束的方程为方程为m(A1x+B1y+C1z+
6、D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0其中其中m,n是不全为零的任意实数。（证略）是不全为零的任意实数。（证略）一一.3 平面束平面束解解:所求直线所求直线L看以看做看以看做过过 L1且垂直于且垂直于的平面的平面1与平面与平面的交线的交线.例例1*求直线求直线 在平面在平面 内的投影直线内的投影直线L的方程的方程.则则 由例由例1可得可得L1L112210,:220,xyzLxyz 10 xyz投影直线投影直线L的方程为的方程为:3340,10.xzxyz 例例2、求与平面、求与平面3x+y-z+4=0平行且在平行且在Oz轴上截距为轴上截距为-2的平面的方程。的平面的方程。解解：设所求
7、平面的方程为设所求平面的方程为3x+y-z+=0因为平面在因为平面在Oz轴上的截距为轴上的截距为-2，故平面过点，故平面过点(0,0,-2).由此得由此得2+=0,即即=-2 故所求平面的方程为故所求平面的方程为3x+y-z-2=0例例3 3 求过直线求过直线L和点和点M0(1,2,3)的平面的平面方程方程.032:012:21zyxzyx解解 设设的方程为：的方程为：)(220 不是不是M ,30133,2,10）（代入上式，得代入上式，得将将 M0)32(12 zxzyx(*).01277(*)3 zyx：式得式得代入代入将将 例例4 4 试证两直线试证两直线在同一平面上的充要条件是在同一
8、平面上的充要条件是1111122220,:0A xB yC zDlA xB yC zD 与与3333244440,:0A xB yC zDlA xB yC zD 11112222333344440.ABCDABCDABCDABCD 证证因为通过因为通过 的任意平面的方程为的任意平面的方程为1l 11111222220,A xB yC zDA xB yC zD其中其中12,是不全为零的任意实数；是不全为零的任意实数；而通过而通过 的任意平面为的任意平面为2l 33333444440,A xB yC zDA xB yC zD其中其中34,是不全为零的任意实数。是不全为零的任意实数。因此两直线在同一
9、平面上的因此两直线在同一平面上的充要条件充要条件是存在是存在不全为零的实数不全为零的实数1234,与与使使(1)与与(2)的左端仅相差的左端仅相差一个不为零的数因子一个不为零的数因子m，即，即化简整理得化简整理得 11111222223333344444,A xB yC zDA xB yC zDmA xB yC zDA xB yC zD112233441122334411223344112233440,0,0,0;AAmAmABBmBmBCCmCmCDDmDmD所以所以112233441122334411223344112233440,0,0,0;AAmAmABBmBmBCCmCmCDDmDm
10、D因为因为1234,不全为零，不全为零，所以得所以得12341234123412340,AAmAmABBmBmBCCmCmCDDmDmD 而而0,m 因此两直线共面的因此两直线共面的充要条件充要条件为为12341234123412340,AAAABBBBCCCCDDDD 即即11112222333344440.ABCDABCDABCDABCD 例例5 设设三平面的方程：三平面的方程：123:2310,:5230,:30.xyzxyzxyz 其中其中,为参数，试求为参数，试求（1）三平面交于一点的充要条件；）三平面交于一点的充要条件；（2）三平面通过同一直线的充要条件；）三平面通过同一直线的充要
11、条件；（3）三平面无公共点的充要条件。）三平面无公共点的充要条件。解解（1）三平面交于一点，就是由三平面的方程构成的）三平面交于一点，就是由三平面的方程构成的方程组有惟一解的问题，方程组有惟一解的问题，从代数学中知道，其充要条件从代数学中知道，其充要条件为其系数行列式不为零。为其系数行列式不为零。即即231152031 0.（2）三平面通过同一直线，）三平面通过同一直线，由由(1)知必有知必有0,且平面且平面3 属于以属于以12与与的交线的交线l为轴的平面束，为轴的平面束，因此有因此有 3231523,xylxyzm xyz 由此得由此得23,351,20,3,lmlmlmlm 解得解得2,1
12、,1.lm 因此三平面通过同一直线的充要条件为因此三平面通过同一直线的充要条件为0,1.（3）由）由(1)与与(2)知，三平面无公共点的充要条件为知，三平面无公共点的充要条件为0,1.观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:定义定义4.1.14.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为的直线所形成的曲面称为柱面柱面.这条定曲线这条定曲线C叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫叫柱面的柱面的母线母线.1.41.4 柱面柱面母线母线准准线线母线母线准线准线一般一般注意：注意：设柱面的准线为设柱面的准线为12(,)0(7)(,)0Fx y zFx y z
13、 母线的方向数为母线的方向数为X,Y,Z。如果。如果M1(x1,y1,z1)为准线为准线上一点，则过点上一点，则过点M1的母线方程为的母线方程为111(8)xxyyzzXYZ 且有且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (10)从（从（9）（）（10）中消去）中消去x1,y1,z1得得F(x,y,z)=0这就是以这就是以（7 7）为准线，母线的方向数为为准线，母线的方向数为X，Y，Z的的柱面柱面的方程。的方程。111(9)xxyyzzXYZ 例例1.4.1解法一解法一母线的方向数即为轴的方向数母线的方向数即为轴的方向数1，2，2.问题也就解决了问题也就解决了.因为圆柱面
14、的母线平行于其轴，因为圆柱面的母线平行于其轴，所以所以如果能如果能求出求出圆柱面的圆柱面的准线圆准线圆，那么再运用前面的解法，那么再运用前面的解法，因为空间的圆因为空间的圆,总可以看成是某一总可以看成是某一球面球面与某一与某一平面平面的交线的交线.已知圆柱面的轴为已知圆柱面的轴为 ，11122xyz 在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程.1,2,1 点点(0,1,-1)（1,-2,1）这里的圆柱面的这里的圆柱面的准线圆准线圆，可以看成可以看成是是(0,1,-1)为中心，为中心，以轴上的点以轴上的点点点(0,1,-1)到已知点到已知点(1,-2,1)14)1()1(2
15、22zyx与与过已知点过已知点且垂直于轴且垂直于轴(1,2,1)1，2，2 0322zyx的交线的交线.的距离的距离为半径的为半径的球面球面14d 的的平面平面轴上的定点为轴上的定点为 而圆柱面上的为而圆柱面上的为 ，所以所以因此因此 到轴的距离为到轴的距离为例例1.4.1 已知已知圆柱面圆柱面的轴为的轴为11,122xyz点点(1,-2,1)(1,-2,1)在此在此圆柱面上，求这个柱面的方程。圆柱面上，求这个柱面的方程。解法解法2：轴的方向向量为：轴的方向向量为v=（1,-2,-2),1,-2,-2),11,2,1M 11,2,1M 011,3,2M M 00,1,1M0113.M Mvdv
16、 M0(0,1,-1)M1(1,-2,1),M x y zddv即准线圆的方程为即准线圆的方程为（11）222(1)(1)142230 xyzxyz 再设再设 为准线圆（为准线圆（11）上的任意一点，那么有）上的任意一点，那么有111(,)xy z14)1()1(212121zyx0322111zyx221111zzyyxx且过且过 的的母线母线为为111(,)xy z由上四式消去参数由上四式消去参数 即得所求的圆柱面的方程为即得所求的圆柱面的方程为 111,xy z2228554481818990.xyzxyxzyzyz,M x y z再设再设 为此为此圆柱面上的任意点，那么有圆柱面上的任意
17、点，那么有013M Mvv 22222111122211213122yzzxxy 即即化简整理得化简整理得所求所求圆柱面的方程为圆柱面的方程为2228554481818990 xyzxyxzyzyz柱面举例柱面举例xozyxozy22yx 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面定理定理1.4.1 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,只含只含两个元两个元(坐标坐标)的的三元方程所表示的曲面是一个三元方程所表示的曲面是一个柱面柱面,它的母线平行于所它的母线平行于所缺元缺元(坐标坐标)的同名坐标轴的同名坐标轴.1.5 锥面锥面1.5.1 1.5.1 定义定义通过一定点且与定曲线相交的一族直线通过一定点且与
18、定曲线相交的一族直线 所产所产生的曲面叫做生的曲面叫做锥面锥面.这些直线都叫做锥面的这些直线都叫做锥面的母线母线.那个定点叫做锥面的那个定点叫做锥面的顶点顶点.锥面的方程是一个三元方程锥面的方程是一个三元方程.定曲线称为锥面的定曲线称为锥面的准线准线F(x,y,z)=0 准线准线顶点顶点 锥面是直纹面锥面是直纹面x0z y 锥面的准线锥面的准线不惟一不惟一，和一切，和一切母线都相交的每母线都相交的每一条曲线都可以一条曲线都可以作为它的准线作为它的准线.12(,)0(12)(,)0F x y zF x y z 1.5.2 1.5.2 锥面的方程锥面的方程设锥面的准线为设锥面的准线为顶点为顶点为A
19、(x0,y0,z0)，如果，如果M1(x1,y1,z1)为准线上任一点，为准线上任一点，则锥面过点则锥面过点M1的母线为：的母线为：000101010(13)xxyyzzxxyyzz12(,)0(12)(,)0F x y zF x y z 设锥面的准线为设锥面的准线为顶点为顶点为A(x0,y0,z0)，如果，如果M1(x1,y1,z1)为准线上任一点，为准线上任一点，则锥面过点则锥面过点M1的母线为：的母线为：000101010(13)xxyyzzxxyyzz且有且有F1(x1,y1,z1)=0F2(x1,y1,z1)=0 （14）从（从（13）（）（14）中消去参数）中消去参数x1,y1,z
20、1得三元方程得三元方程F(x,y,z)=0这就是以（这就是以（12）为准线，以）为准线，以A为顶点的锥面方程。为顶点的锥面方程。定理定理1.5.2 一个关于一个关于x,y,z的的齐次方程齐次方程总表示顶点在坐标总表示顶点在坐标 原点的原点的锥面锥面。1.6.1 旋转曲面旋转曲面定义定义:以一条平面曲线以一条平面曲线C绕其平面上的一条直线旋绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做转一周所成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面,这条这条定直线叫旋转曲面的定直线叫旋转曲面的轴轴.曲线曲线C称为放置曲面的称为放置曲面的母线母线.oC纬线纬线经线经线1.6 1.6 旋转曲面旋转曲面1.6.2 旋转曲面的方程旋转
21、曲面的方程在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：)1(0),(0),(:21zyxFzyxFC旋转轴为直线：旋转轴为直线：)2(:000ZzzYyyXxxL其中其中P0(x0,y0,z0)为轴为轴L上一定点，上一定点，X，Y，Z为旋转轴为旋转轴L的方向数。的方向数。设设M1(x1,y1,z1)为母线为母线C上的任意点，则上的任意点，则M1的纬圆总的纬圆总可以看成是过可以看成是过M1且垂直于旋转轴且垂直于旋转轴L的平面与以的平面与以P0为中为中心，心，|P0M1|为半径的球面的交线。为半径的球面的交线。所以过所以过M1的纬圆的方程为：的纬圆的方程为：111222
22、222000101010()()()0(3)()()()()()()X xxY yyZ zzxxyyzzxxyyzz 当点当点M1跑遍整个母线跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆，时，就得到所有的纬圆，这些纬圆就生成旋转曲面。这些纬圆就生成旋转曲面。又由于又由于M1在母线上，所以又有：在母线上，所以又有：11112111(,)0:(4)(,)0FxyzCFxyz 从（从（3）（）（4）的四个等式中消去参数）的四个等式中消去参数x1,y1,z1,得到一得到一个三元方程：个三元方程：F(x,y,z)=0这就是以这就是以C为母线，为母线，L为旋转轴的为旋转轴的旋转曲面旋转曲面的方程。的方程。规律：规律
23、：当当坐标平面上的曲线坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个绕此坐标平面的一个坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线曲线C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。替方程中的另一坐标。1.6.3 特殊的旋转曲面的方程特殊的旋转曲面的方程同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),(zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 .0,22 zxyf22(,)0fxyz 例例在空间直角坐标系下在空
24、间直角坐标系下,由方程由方程 所表示的曲面叫做所表示的曲面叫做椭球面椭球面,或称或称椭圆面椭圆面,通常假定通常假定abc0.该方程叫做该方程叫做椭球面的标准方程椭球面的标准方程.2222221(,)xyza bcabc 为为 正正 数数oxyz1.7 椭球面椭球面2009年年2010年年（2011年）年）2012年年 非数学类非数学类 一一(2)(2)（6 6分）求通过直线分）求通过直线的两个相互垂直的平面的两个相互垂直的平面2320,:55430 xyzLxyz 12和和，使其中一个平面过点使其中一个平面过点 43,1，；解解设通过直线设通过直线L L的平面方程为的平面方程为 232+554
25、3=0 xyzxyz，又因其中一个平面过点又因其中一个平面过点 43,1，所以所以 8332+201543=0，即即4+4=0，得得=1.平面平面 的方程为的方程为1 232+5543=0 xyzxyz，=1.1 即即3410.xyz平面平面 的法向量为的法向量为2 225,15,34n 又因两平面相互垂直，又因两平面相互垂直，平面平面 的法向量为的法向量为1 13,4,1,n 故故120.nn即即 325415340,得得1=.3 平面平面 的方程为的方程为2 2530.xyz所以，所以，2012年年 数学类数学类 一（一（1515分）设分）设 为椭圆抛物面为椭圆抛物面22341.zxy求切
26、锥面的方程求切锥面的方程解法一解法一于是有于是有并且这个关于并且这个关于 t t 的方程只有一个根的方程只有一个根 2224 340,zxy 从原点作从原点作 的切锥面，的切锥面，设设 为切锥面上的点（非原点为切锥面上的点（非原点)，,x y z存在存在唯一唯一 t t 使得使得 落在椭圆抛物面上落在椭圆抛物面上 ,t x y z 22341,tztxty所以，判别式所以，判别式即即 为所求的切锥面方程为所求的切锥面方程2221216zxy2012年年 数学类数学类 一（一（1515分）设分）设 为椭圆抛物面为椭圆抛物面22341.zxy求切锥面的方程求切锥面的方程解法二解法二 从原点作从原点
27、作 的切锥面，的切锥面，椭圆抛物面与椭圆抛物面与yozyoz 面的交线为抛物线面的交线为抛物线08,y所以，切线方程为所以，切线方程为241,0zyx 设从原点作设从原点作 的切锥面的切锥面与与该抛物线的切点为该抛物线的切点为 000,yz又可知，切线斜率为又可知，切线斜率为08,zy y xyzO 000,yz切点既在抛物线上，又在直线上，从而切点既在抛物线上，又在直线上，从而2200841,yy得得001,2,2yz 2012年年 数学类数学类 一（一（1515分）设分）设 为椭圆抛物面为椭圆抛物面22341.zxy求切锥面的方程求切锥面的方程解法二解法二 从原点作从原点作 的切锥面，的切
28、锥面，所以，切锥面的准线方程为所以，切锥面的准线方程为xyzO 000,yz得得001,2,2yz 223412zxyz 设设 为准线上的任意点，则所求为准线上的任意点，则所求 1111,Mxy z的切锥面的直母线方程为的切锥面的直母线方程为111,xyzxyz 1111,Mxy z又又在准线上，在准线上，从而从而22111341,2xyz (1)(2)1M2012年年 数学类数学类 一（一（1515分）设分）设 为椭圆抛物面为椭圆抛物面22341.zxy求切锥面的方程求切锥面的方程解法二解法二 从原点作从原点作 的切锥面，的切锥面，xyzO 000,yz设设 为准线上的任意点，则所求为准线上的任意点，则所求 1111,Mxy z的切锥面的直母线方程为的切锥面的直母线方程为111,xyzxyz 1111,Mxy z又又在准线上，在准线上，从而从而22111341,2xyz (1)(2)联立联立(1)(2),(1)(2),消参得消参得 为所求的切锥面方程为所求的切锥面方程2221216zxy1122,xyxyzz
