1、第三章刚体和流体刚体：刚体：物体上任意两点之间的距离保持不变物体上任意两点之间的距离保持不变在力的作用下不发生形变的物体平动和转动平动和转动平动：平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。始终保持平行。可以用质点动力学可以用质点动力学的方法来处理刚体的方法来处理刚体的平动问题。的平动问题。注：注：bcabcabcaabcabcbcaabcabcabc转动：转动：刚体上所有质点都绕同一直线作圆刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的周运动。这种运动称为刚体的转动转动。这。这条直线称为条直线称为转轴转轴。定轴转动：定轴转动：转轴固定
2、不动的转动。转轴固定不动的转动。质元：质元：组成物体的微颗粒元组成物体的微颗粒元质元对点的角动量为质元对点的角动量为 iiiimRLviiiiRmLv沿转轴沿转轴Oz的投影为的投影为iL)2cos(iizLLsiniiiRmvzOxyiRimiriviiRv iLiiirmv2iirmizLiiirmv2iirmizL刚体对刚体对Oz轴的角动量为轴的角动量为 iiiiiiiizzrmrmLL)(22令iiizrmJ2为刚体对为刚体对 Oz 轴的轴的转动惯量转动惯量。zJzzJL 2mkg转动惯量是标量；转动惯量是标量；转动惯量有可加性；转动惯量有可加性；单位：单位：kgmkgm2 2 说明：说
3、明：iiizrmJ2质点系的转动惯量质点系的转动惯量转动惯量及计算转动惯量及计算与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：刚体的质量刚体的质量转轴的位置转轴的位置刚体的形状刚体的形状 质量分布，质量分布，转轴的位置转轴的位置niiirmJ12)(单个质点的转动惯量单个质点的转动惯量质量连续分布的质量连续分布的刚体的转动惯量刚体的转动惯量dmrJm2iiizrmJ22mrJ dldmdsdmdVdm其中其中、分别为质量的线密度、面密度和分别为质量的线密度、面密度和体密度。体密度。线分布线分布体分布体分布面分布面分布dmrJm2计算质量为计算质量为m，长为，长为l 的细棒绕一端的转动惯量。的细棒
4、绕一端的转动惯量。oxzdxdmxmrJd2解：解：xlmxmddd22xr llxlmxlmxJ030231d 231mlJ OoR例例2.一质量为一质量为m，半径为，半径为R的均匀圆盘，求通过盘中的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。心并与盘面垂直的轴的转动惯量。解：解：rrmd2dmrJd2rr d23RrrJ03d224212mRRRrdrmRJz z平行轴定理平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为若刚体对过质心的轴的转动惯量为J Jc c，则刚，则刚体对与该轴相距为体对与该轴相距为d d的平行轴的平行轴z z的转动惯量的转动惯量J Jz z是是2mdJJczJc c
5、221mRJc2221mRmRJz223mR例例3.计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为半径为r，摆杆质量也为，摆杆质量也为m，长度为，长度为2r）ro摆杆转动惯量：摆杆转动惯量：22134231mrrmJ摆锤转动惯量：摆锤转动惯量：22222219321mrrmmrmdJJc2222166521934mrmrmrJJJ几种刚体的转动惯量几种刚体的转动惯量垂直于杆的轴通过杆的中心垂直于杆的轴通过杆的中心 J=M l 2/12 杆的端点杆的端点 J=M l 2/3对通过盘心垂直盘面的转轴对通过盘心垂直盘面的转轴 J=MR 2/2 影响刚体转动惯量
6、的因素影响刚体转动惯量的因素刚体的总质量；刚体的总质量；刚体的质量分布；刚体的质量分布；转轴位置。转轴位置。由质点系对轴的角动量定理，可得由质点系对轴的角动量定理，可得tJtLMzd)d(dd两边乘以两边乘以dt，并积分，并积分 1221dLLtMttz刚体对定轴的角动量定理：刚体对定轴的角动量定理：在某一时间段内，作用在某一时间段内，作用在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。当当 J 转动惯量是一个恒量时，有转动惯量是一个恒量时，有tJMdd或或JM 刚体在作定轴转动时，刚体的角加速刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比
7、，与度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。刚体的转动惯量成反比。转动定律：例例4.质量为质量为M=16 kg的实心滑轮，半径为的实心滑轮，半径为R=0.15 m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。的物体。求（求（1）由静止开始）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（秒钟后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。绳子的张力。解:(1)maTmgRaMRTR221MaT21MmmgmTMT25881082 smMmmga解得math5.215212122NMaT405162121 MmmgTmaTmgMaT21(2)2m1momr 解：解：在
8、地面参考系中，选取在地面参考系中，选取m1 、m2和滑轮和滑轮m为研为研究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得。究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得。如所图示，两物体质量分别为如所图示，两物体质量分别为m1和和m2，滑轮质量，滑轮质量为为m，半径为，半径为r。已知。已知m2与桌面间的滑动摩擦因数为与桌面间的滑动摩擦因数为，求求m1下落的加速度和两段绳中的张力。下落的加速度和两段绳中的张力。gm11Tagm22Tgm2Na1T2TmgyNxN列方程如下：列方程如下：ramrrTrTamgmTamTgm22122211121可求解可求解例例5.一半径为一半径为R，质量为，质量为m的均
9、匀圆盘平放在粗糙的的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为水平面上。若它的初速度为 o，绕中，绕中心心o旋转，问经旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为）解解:rgdmrdFdM )(2222 RrmrdrrRmmdd 式中222 RrgrmMdd 所以oR取如图质量为取如图质量为dm的细环的细环rdr22d2dRrgrmMmgRRrmgrMMr32d2d022ordrRtJMdd 根据转动定律tmRmgRdd21322000d43dgRttd43dgRt gRt4301221dLLtMttz刚体对定轴的角动量定理刚体对定轴的角动量定理 JLz
10、恒量恒量0zM当时刚体对定轴的角动量守恒定律：当刚体所受的外力对转轴的力当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对该矩之代数和为零时，刚体对该转轴的角动量保持不变。转轴的角动量保持不变。rFWdd zOPFrddMW 力矩对刚体所作的功：力矩对刚体所作的功：oMWdMtMtWPdddd功率：功率：sinFds sdddFrsin 力矩力矩3-1-6 刚体的定轴转动动能和动能定理zmiiriv第第i个质元的动能：个质元的动能：2222121iiiikirmmE v整个刚体的转动动能：整个刚体的转动动能：2221iikikrmEE2221)(iirm221JEk设在外力矩设在外力矩 M 的
11、作用下，刚体绕定轴发生角位移的作用下，刚体绕定轴发生角位移d 元功：元功：ddMW 由转动定律由转动定律tJMdddddddJtJW有有21dJW21222121JJ刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 ：合外力矩对刚体所合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。做的功等于刚体转动动能的增量。定轴转动的功能原理定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立：质点系功能原理对刚体仍成立：A外外+A非保内非保内 =（E k 2 +E p 2 ）（E k 1 +E p 1 ）刚体重力势能：刚体重力势能：若若 A外外+A非保内非保内=0，Emghpii mhi)(mhic Chchimi
12、Ep=0则则 Ek+Ep=常量。常量。cpmghE 非保守内力作非保守内力作正功正功，机械能增加，机械能增加rr12mmJ01J=21(0+)Ek22222rmJ1)10+2(2212rmJIJ=20+(1(0002111+)221J22mmrr2rm22JJ=0+)(11222(0+)2rm22mr由角动量守恒由角动量守恒JJ=12()00+222)(12mrrm2例例6如图所示如图所示例例7.质量为质量为M，长为，长为2l 的均质细棒，在竖直平面内可的均质细棒，在竖直平面内可绕中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为绕中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为m的的小球以速度小球以速度u垂直
13、落到棒的一端上。设为弹性碰撞。垂直落到棒的一端上。设为弹性碰撞。求碰后小球的回跳速度求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。以及棒的角速度。ou解：解：lmJmulv由系统角动量守恒由系统角动量守恒机械能守恒机械能守恒222212121JmmuvmMmMu3)3(vlmMmu)3(6设碰撞时间为设碰撞时间为 t)(mumtFv0JtlF消去消去 tlmJmulv222212121JmmuvmMmMu3)3(vlmMmu)3(6you例例9.一质量为一质量为M，半径，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有质量为端挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度的物体。问物体由静止下落
14、高度h时，时，其速度为多大？其速度为多大？mgmM解：解：2022121JJTR2022121vvmmThmgh RhRv2,0,0200RMJ v解得：解得：mMmgh22vT例例10.一质量为一质量为m，长为，长为l 的均质细杆，转轴在的均质细杆，转轴在o点，距点，距A端端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动，点转动，求：（求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直）垂直位置时的角速度和角加速度。位置时的角速度和角加速度。解：2mdJJco2220916121mllmmlJ（1）0olgmlmglJM239620c
15、oBA（2）2212Jlmg lg30coBA由刚体的机械能守恒得：由刚体的机械能守恒得：2261ml 零势点零势点例例11.长为长为 l 的均质细直杆的均质细直杆OA，一端悬于，一端悬于O点铅直下点铅直下垂，如图所示。一单摆也悬于垂，如图所示。一单摆也悬于O点，摆线长也为点，摆线长也为l，摆，摆球质量为球质量为m。现将单摆拉到水平位置后由静止释放，。现将单摆拉到水平位置后由静止释放，摆球在摆球在 A 处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试求：求：细直杆的质量细直杆的质量M；碰撞后细直杆摆动的最；碰撞后细直杆摆动的最大角度大角度。（忽略一切阻力）。（忽略一切阻力）解解 lmlAO 按角动量守恒定律按角动量守恒定律 MMmmJJ系统的动能守恒系统的动能守恒222121MMJmmJJMmJJ解得解得2231Mlml系统的机械能守恒，有系统的机械能守恒，有)cos1(2lMgmgl31cos31arccos5.70
