1、用定义计算（证明）用定义计算（证明）例例用行列式定义计算用行列式定义计算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD 一、计算（证明）行列式的非零元素分别得到的非零元素分别得到行可能行可能中第中第那么，由那么，由行的元素分别为行的元素分别为中第中第设设5,4,3,2,1,5,4,3,2,1554321554321DaaaaaDppppp解解.3,2;3,2;5,4,3,2,1;5,4,3,2,1;3,254321 ppppp.05,554321 Dppppp故故元排列也不能组成，元排列也不能组成，一个一个在上述可能取的代
2、码中在上述可能取的代码中因为因为评注评注本例是从一般项入手，将行标按标准本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法方法.2于零于零还多，则此行列式必等还多，则此行列式必等素比素比阶行列式中等于零的元阶行列式中等于零的元如果一个如果一个nnn 注意注意利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例例计算计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列蒙行列式的特点，将
3、所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。.333222111222nnnDnnnn，于是得到，于是得到增至增至幂次数便从幂次数便从则方则方若提取各行的公因子，若提取各行的公因子，递升至递升至而是由而是由变到变到序排列，但不是从序排列，但不是从次数自左至右按递升次次数自左至右按递升次方幂方幂数的不同方幂数的不同方幂中各行元素分别是一个中各行元素分别是一个10.1,10,nnnDn解解.1333122211111!121212nnnnDnnnn 上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙
4、行列式知!.1!2)!2()!1(!)1()2()24)(23()1()13)(12(!)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin评注评注本题所给行列式各行（列）都是某元本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式列式化成范德蒙行列式用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算例例计算计算.43213213213211xaaaaaaxaa
5、aaaxaaaaaxDnnnn 解解列都加到第一列，得列都加到第一列，得将第将第1,3,2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的将将第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，将将第第倍倍加加到到第第列列的的将将第第)(1,3)(12)(11aaan .)()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(评注
6、评注本题利用行列式的性质，采用本题利用行列式的性质，采用“化零化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为化为1 1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的化为三角形行
7、列式之目的，得得提提取取公公因因子子行行中中行行，并并从从第第行行都都加加到到第第、的的第第将将dcbaD 114324用降阶法计算用降阶法计算例例计算计算.4abcdbadccdabdcbaD 解解,1111)(4abcdbadccdabdcbaD 列，得列，得列都减去第列都减去第、再将第再将第1432,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD 行展开，得行展开，得按第按第1.)(4dadbdccbcacdbcbdbadcbaD ，得得中中提提取取公公因因子子行行行行，再再从从第第行行加加到到第第把把上上面面右右端端行行列列式式第第dcba 112,011)(dad
8、bdccbcacddcbadcbaD 列，得列，得列减去第列减去第再将第再将第12行展开，得行展开，得按第按第1)()()(22cbdadcbadcba )()(dcbadcbadcbadcba ,001)(4dacbdccbdacddcbadcbaD dacbcbdadcbadcbaD )(评注评注本题是利用行列式的性质将所给行列本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接阶，如此继续进行
9、，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用方法对阶数不高的数字行列式比较适用用拆成行列式之和计算用拆成行列式之和计算例例证明证明33()ax by ay bz az bxxyzay bz az bx ax byabyzxaz bx ax by ay bzzxy用递推法计算用递推法计算例例计算计算.21xaaaaxaaaaxaDnn 解解拆拆成成两两个个行行列列式式之之和和列列把把依依第第DnnaaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121 .000121xaaaxaaaaxaaaaxann .1121
10、DxaxxxDnnnn 从而从而得得列展开列展开第第右端的第二个行列式按右端的第二个行列式按列列加到第加到第倍分别倍分别列的列的将第将第右端的第一个行列式右端的第一个行列式,1,2,1)1(,nnn ,0000000001121DxaaxaxaxDnnnn 由此递推，得由此递推，得.,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnnn 于是于是如此继续下去，可得如此继续下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121 )(21213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxxxaxxxnnnnnn ).(323
11、112121xxxxxxxxxaxxxnnnn 时时，还还可可改改写写成成当当021 xxxn).111(12121xxxaxxxDnnn .1 1.1,1 1的的递递推推关关系系列列式式更更低低阶阶行行列列式式之之间间阶阶行行，建建立立比比阶阶更更低低阶阶的的行行列列式式表表示示比比用用同同样样形形式式的的阶阶行行列列式式时时，还还可可以以把把给给定定的的有有之之间间的的递递推推关关系系阶阶行行列列式式与与建建立立了了阶阶行行列列式式表表示示出出来来用用同同样样形形式式的的行行列列式式阶阶质质把把所所给给的的本本题题是是利利用用行行列列式式的的性性 nnDnDnDnDnnnnn评注评注用数学
12、归纳法用数学归纳法例例证明证明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法122 ,1212,12,1,2,.DD 因为所以 当时 结论成立coscoscoscoscosnn 得得展展开开按按最最后后一一行行现现将将的的行行列列式式也也成成立立于于阶阶数数等等于于下下证证对对的的行行列列式式结结论论成成立立假假设设对对阶阶数数小小于于,.,Dnnn.cos221DDDnnn ,)2cos(,)1cos(,21 nDnDnn由归纳假设由归纳假设;cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos
13、2 nnnnnnDn .结论成立结论成立所以对一切自然数所以对一切自然数n评注评注.,)1(1,)(,21同型的行列式同型的行列式是与是与不不否则所得的低阶行列式否则所得的低阶行列式展开展开列列或第或第行行按第按第不能不能展开展开列列或第或第行行本例必须按第本例必须按第表示表示展开成能用其同型的展开成能用其同型的为了将为了将DnnDDDnnnn .,.,其猜想结果成立其猜想结果成立然后用数学归纳法证明然后用数学归纳法证明也可先猜想其结果也可先猜想其结果如果未告诉结果如果未告诉结果纳法来证明纳法来证明可考虑用数学归可考虑用数学归结论时结论时证明是与自然数有关的证明是与自然数有关的而要我们而要我们
14、当行列式已告诉其结果当行列式已告诉其结果一般来讲一般来讲计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法换后，再考察它是否能用常用的几种方法小结小结第一章 测试题一、填空题一、填空题(每小题每小题4 4分，共分，共4040分分)ijijnaDaaD则则若若,.1 132213321332
15、1,0,.2xxxxxxxxxqpxxxxx列式列式则行则行的三个根的三个根是方程是方程设设行列式行列式.3 1000000001998000199700020001000D 4433221100000000.4ababbaba四阶行列式四阶行列式 443424144,.5AAAAcdbaacbdadbcdcbaD则则设四阶行列式设四阶行列式的的符符号号为为在在五五阶阶行行列列式式中中3524415312.6aaaaa 的系数是的系数是中中在函数在函数321112.7xxxxxxxf abcdbadccdabdcba四阶行列式四阶行列式.8,.9时时且且则当则当为实数为实数若若 baba010
16、100 abba二、计算下列行列式二、计算下列行列式(每小题每小题9 9分，共分，共1818分分)0112210321011322211313211.15 D.10121121iiiiiiiinnnn 次次对对换换后后变变为为排排列列可可经经排排列列xzzzyxzzyyxzyyyxDn .2齐次方程组齐次方程组取何值取何值问问,0200321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？三、解答题三、解答题(9(9分分)四、证明四、证明(每小题每小题8 8分，共分，共2424分分);0321321321321.12222222222222222 ddddccccbbbbaaaa cos2
17、11cos21111cos211cos2.2 nD ;sin1sin n用用数数学学归归纳纳法法证证明明.3nnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxD321223222122322213211111 2,121 nxxxxxjinijn五、五、(9(9分分)设设 行列式行列式nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA .21 .10 ;0,0 .9 ;.8 ;2 .7 ;.6 ;0 .5 ;.4 ;!1998 .3 ;0 .2 ;1 .122222 41413232 nndcbabbaabbaaan一、一、.2 ;170 .1zyyxzzxynn 二、二、.00 或或三、三、.11!2 njjn五、五、测试题答案
