1、第6章 控制系统的校正u 6.1 系统校正的基本概念系统校正的基本概念u 6.2 常用校正装置及其特性常用校正装置及其特性u6.3 频率法串联校正频率法串联校正u 6.4 频率法反馈校正频率法反馈校正u6.5 MATLAB在系统校正中的应用在系统校正中的应用u本章小结本章小结u 习题习题对于一个控制系统来说，如果它的元部件及其参数已经给定，就要分析它能否满足所要求的各项性能指标。一般把解决这类问题的过程称为系统的分析。在实际工程控制问题中，还有另一类问题需要考虑，即往往事先确定了要求满足的性能指标，让我们设计一个系统并选择适当的参数来满足性能指标的要求；或考虑对原已选定的系统增加某些必要的元件
2、或环节，使系统能够全面地满足所要求的性能指标，同时也要照顾到工艺性、经济性、使用寿命和体积等。这类问题统称为系统的综合与校正，或者称为系统的设计。常用的校正方法有根轨迹法和频率特性法。校正的实质是在原有系统中设计合适的校正装置，引进新的零点、极点以改变原系统的根轨迹和(或)Bode图的形状，使其满足性能指标要求。本章主要介绍频率特性法校正。6.1.1 系统的性能指标系统的性能指标控制系统常用的性能指标，按其类型可分为：(1)时域性能指标，包括稳态性能指标和暂态性能指标。(2)频域性能指标，包括开环频域指标和闭环频域指标。6.1 系统校正的基本概念系统校正的基本概念1.时域性能指标时域性能指标评
3、价控制系统性能的优劣，常用时域性能指标来衡量。(1)稳态指标：静态位置误差系数Kp、静态速度误差系数Kv、静态加速度误差系数Ka和稳态误差ess。(2)暂态指标：上升时间tr、峰值时间tp、调节时间ts和最大超调量%。2.频域性能指标频域性能指标(1)开环频域指标：截止频率c、相角裕度和幅值裕度hg或Lg(分贝)。(2)闭环频域指标：谐振频率r、谐振峰值Mr和带宽频率b。3.两类性能指标之间的关系两类性能指标之间的关系1)二阶系统时域性能指标和频域性能指标之间的关系时域性能指标和频域性能指标是从不同的角度表征系统性能的，它们之间存在必然的内在联系。对于二阶系统，时域性能指标和频域性能指标之间能
4、用准确的数学式表示出来。二阶系统的时域指标如下：(6-1)2n21r11tant(6-2)(6-3)(6-4)2np1t%100112e%ns4t%)2(二阶系统的频域指标如下：(6-5)(6-6)(6-7)24nc2412412412tan)707.00(1212rM(6-8)(6-9)(6-10)707.00(212nr242nb21442tan8sct%)2(2)高阶系统时域性能指标和频域性能指标之间的近似关系高阶系统时域性能指标和频域性能指标之间的近似关系如下：(6-11)(6-12)(6-13)sin1rM)8.11(%100)1(4.016.0%rrMM)8.11()1(5.2)1
5、(5.12rc2rrsMMMt6.1.2 系统的校正方式系统的校正方式按照校正装置在系统中的连接方式，控制系统常用的校正方式可分为串联校正、并联(反馈)校正和复合控制三种。1)串联校正串联校正一般将校正装置串接于系统前向通道之中，如图6-1所示。图中，Gc(s)是校正装置的传递函数。图6-1 串联校正2)并联(反馈)校正并联(反馈)校正一般将校正装置接于系统局部反馈通道之中，如图6-2所示。图6-2 并联(反馈)校正3)复合控制复合控制有给定补偿和扰动补偿两种方式，如图6-3所示。图6-3 复合控制系统的校正(a)按给定补偿；(b)按扰动补偿6.1.3 基本控制规律基本控制规律确定校正装置的具
6、体形式时，应先了解校正装置所需提供的控制规律，以便选择相应的元件。包含校正装置在内的控制器，常常采用比例、微分、积分等基本控制规律，或者采用这些基本控制规律的某些组合，如比例-微分、比例-积分、比例-积分-微分等组合控制规律，利用它们的相位超前或滞后以及幅值增加等作用以实现对被控对象的有效控制。1)比例(P)控制规律具有比例控制规律的控制器，称为P控制器，如图6-4所示。其中Kp为比例系数，是可调的参数。图 6-4 P控制器P控制器实质上是一个具有可调增益的放大器。在信号变换过程中，P控制器只改变信号的增益而不影响其相位。在串联校正中，加大控制器增益Kp，可以提高系统的开环增益，减小系统的稳态
7、误差，从而提高系统的控制精度，但会降低系统的相对稳定性，甚至可能造成闭环系统不稳定。因此，在系统校正设计中，很少单独使用比例控制规律。2)比例-微分(PD)控制规律具有比例-微分控制规律的控制器，称为PD控制器，其输出m(t)与输入e(t)的关系为(6-14)式中：Kp为比例系数；为微分时间常数。Kp与都是可调的参数。PD控制器如图6-5所示。(6-15)tteKteKtmd)(d)()(pptdtteKtm0i)()(图6-5 PD控制器PD控制器中的微分控制规律，能反应输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信号，以增加系统的阻尼程度，从而改善系统的稳定性。在串联校正时，可使系统增加一个1/
8、的开环零点，使系统的相角裕度提高，因而有助于系统暂态性能的改善。需要指出，因为微分控制作用只对动态过程起作用，而对稳态过程没有影响，且对系统噪声非常敏感，所以单一的D控制器在任何情况下都不宜与被控对象串联起来单独使用。通常，微分控制规律总是与比例控制规律或比例-积分控制规律结合起来，构成组合的PD或PID控制器，应用于实际的控制系统。3)积分(I)控制规律具有积分控制规律的控制器，称为I控制器，其输出信号m(t)与输入信号e(t)的积分成正比，即 (6-15)式中：Ki为可调比例系数。I控制器如图6-6所示。由于 I 控制器的积分作用，当其输入e(t)消失后，输出信号m(t)有可能是一个不为零
9、的常量。ttteKtm0id)()(图6-6 I控制器在串联校正时，采用I控制器可以提高系统的型别(无差度)，有利于系统稳态性能的提高，但积分控制使系统增加一个位于原点的开环极点，使信号产生90的相角滞后，于系统的稳定性不利。因此，在控制系统的校正设计中，通常不宜采用单一的I控制器。4)比例-积分(PI)控制规律具有比例-积分控制规律的控制器，称为PI控制器，其输出信号m(t)同时成比例地反应输入信号e(t)及其积分，即(6-16)式中：Kp为可调比例系数；Ti为可调积分时间常数。PI控制器如图6-7所示。tdtteTKteKtm0ipp)()()(图6-7 PI控制器在串联校正时，PI控制器
10、相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点，同时也增加了一个位于s左半平面的开环零点。位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或减小系统的稳态误差，改善系统的稳态性能；而增加的负实零点则用来减小系统的阻尼程度，缓和PI控制器极点对系统稳定性及动态过程产生的不利影响。只有积分时间常数Ti足够大，PI控制器对系统稳定性的不利影响可大为减弱。5)比例-积分-微分(PID)控制规律具有比例-积分-微分控制规律的控制器，称为PID控制器。这种组合具有三种基本控制规律各自的特点，其运动方程为(6-17)相应的传递函数为(6-18)tteKtteTKteKtmtid)(dd)()()(p0pp)11()(i
11、pssTKsGcssTsTTK1i2iipPID控制器如图6-8所示。图6-8 PID控制器若4/Ti1，式(6-18)还可写成(6-19)式中sssTKsG)1)(1()(21ipc)411(21ii1TT)411(21ii2TT由式(6-19)可见，当利用PID控制器进行串联校正时，除可使系统的型别提高一级外，还将提供两个负实零点。与PI控制器相比，PID控制器除了同样具有提高系统稳态性能的优点外，还多提供了一个负实零点，从而在提高系统动态性能方面具有更大的优越性。因此，在工业过程控制系统中，广泛使用PID控制器。PID控制器各部分参数的选择，在系统现场调试中最后确定。通常，应使I部分发生
12、在系统频率特性的低频段，以提高系统的稳态性能；而使D部分发生在系统频率特性的高频段，以改善系统的动态性能。6.2.1 超前校正装置超前校正装置超前校正又称为微分校正。超前校正装置既可由无源网络组成，也可由运算放大器加入适当电路的有源网络组成。前者称为无源超前网络，后者称为有源超前网络。6.2 常用校正装置及其特性常用校正装置及其特性1.无源超前网络无源超前网络图6-9所示为一个无源超前网络。设ui、uo分别为网络的输入、输出电压，则网络传递函数可写为设TR1C及则有(6-20)11)(12121212cCsRRRRCsRRRRsG)1(212RRR11)(cTsTssG图6-9 无源超前校正网
13、络图6-9所示的超前网络的频率特性为其Bode图如图6-10所示。1j1j)j(cTTG)arctan(arctan112222TTTT图6-10 无源超前网络的Bode图由式(6-20)或图6-10可知，采用超前网络对系统作串联校正时，校正后系统的开环放大倍数要下降倍，这就导致稳态误差的增加，可能满足不了对系统稳态性能的要求。为使系统在校正前后的开环放大倍数保持不变，需由提高放大器的放大倍数来补偿。校正后网络放大倍数衰减倍，放大器的放大倍数就得增大1/倍。补偿后相当于在系统中串入即(6-21)11)(1cTsTssG)(1csG补偿后的Bode图如图6-11所示。其中，幅频特性表明：频率在1
14、/T至1/(T)之间时，L()曲线的斜率为20，与纯微分环节的对数幅频特性的斜率完全相同，这意味着在1/T1/(T)频率范围内对输入信号有微分作用，故这种网络称为微分校正网络。相频特性则表明：在0的所有频率下，均有()0，即网络的输出信号在相位上总是超前于输入信号的，超前网络的名称由此而得。图6-11 补偿后无源超前网络的Bode图此外，相频特性还表明，在转折频率11/T和21/(T)之间存在着最大值jm。根据超前网络的相频特性表达式，即(6-22)由可求得最大超前角频率为(6-23)TTjarctanarctan)(0d)(djT1m由于11/T，21/(T)，故m可表示为(6-24)式(6
15、-24)表明，网络的最大超前角正好出现在两个转折频率1和2的几何中点。将式(6-23)代入式(6-22)，即可求得网络的最大超前角为(6-25)21mj21arctanm由式(6-25)得(6-26)于是，有(6-27)则有(6-28)j21tanmjjj11tan1tansinm2mmmmsin1sin1jj或(6-29)以上两式表明，jm仅与值有关。值选得越小，则超前网络的微分作用越强，网络提供的最大超前相角jm也就越大，但随之而来的副作用是干扰也会增大。通常，为了使系统保持较高的信噪比，实际选用的值一般不小于0.05。此外，从图6-11还可看出，当m时，网络的对数幅值为(6-30)mmj
16、jsin1sin111lg10)(cmL2.有源超前网络有源超前网络有源校正网络通常由运算放大器组成。图6-12所示为一个反相输入的超前(微分)校正网络原理图。网络的传递函数为(6-31)11)(ccTssKsG图6-12 有源超前网络式中：其中：若适当选择电阻值，使R2R3R1，则Kc1。132RRRKcCRRRRR)(43232TCRT46.2.2 滞后校正装置滞后校正装置滞后校正又称为积分校正。滞后校正装置同样可用电阻、电容所组成的无源网络来实现，或由运算放大器构成的有源网络来实现。前者称为无源滞后网络，后者称为有源滞后网络。1.无源滞后网络无源滞后网络图6-13给出一个由电阻、电容组成
17、的无源滞后网络，图中ui、uo分别为网络的输入、输出电压。网络的传递函数为设TR2C及则有(6-32)1)(1)(212cCsRRCsRsG)1(221RRR11)(cTsTssG图6-13 无源滞后校正网络 图6-13的超前网络的频率特性为(6-33)其Bode图如图6-14所示。由对数幅频特性可见，滞后网络对低频信号无衰减，但对高频信号却有明显的削弱作用。值越大，衰减越大，通过网络的高频噪声电平就越低。1j1j)j(cTTG)arctan(arctan1122222TTTT图6-14 无源滞后网络的Bode图L()曲线还表明：频率在1/(T)至1/T之间时，曲线的斜率为20，与积分环节的对
18、数幅频特性的斜率完全相同，这意味着在1/(T)1/T频率范围内对输入信号有积分作用，故这种网络称为积分校正网络。相频特性则表明：在0的所有频率下，均有j()0，即网络的输出信号在相位上是滞后于输入信号的，这正是滞后网络名称的由来。2.有源滞后网络有源滞后网络一种由运算放大器构成的有源滞后网络如图6-15所示。该网络的传递函数为(6-34)式中：11)(cTssKsGc132cRRRKCRRRR3232其中，T。若适当选择电阻值，使R2R3R1，则Kc1。CRT3图6-15 有源滞后网络6.2.3 滞后滞后-超前校正装置超前校正装置滞后-超前校正又称为积分-微分校正。滞后-超前校正装置同样可用无
19、源网络来实现，或由运算放大器组成的有源网络来实现，分别称为无源滞后-超前网络和有源滞后超前网络。串联滞后-超前校正兼有串联积分校正和串联微分校正的优点，因而适合在稳态和动态性能均要求很高的系统中作为校正之用。1.无源滞后无源滞后-超前网络超前网络图6-16为一种无源滞后-超前网络。网络的传递函数为(6-35)设T1R1C1，T2R2C2，T12R1C2及T1T2T12T1且1，则式(6-35)可写为，2T1)()1)(1()(212211222112211csCRCRCRsCRCRsCRsCRsG(6-36)由于1，若T1T2，则有(6-37)图6-16的滞后-超前网络的频率特性为)1)(1(
20、)1)(1()(2121csTsTsTsTsG11112211sTsTsTsT2211TTTT图6-16 无源滞后-超前网络(6-38)1j1j1j1j)j(221cTTTTG)arctanarctanarctan(arctan1111221122222222122212TTTTTTTT根据式(6-38)绘出的对数频率特性如图6-17所示。可见，当时，相角j(1)0；在01范围内，相角j()0，具有相角滞后的特性；在1范围内，相角j()0，具有相角超前的特性。同一网络，既具有积分(相角滞后)作用，又具有微分(相角超前)作用。随着频率由小到大变化，网络先出现积分作用，后出现微分作用，故称为积分-
21、微分校正网络或滞后-超前校正网络。2111TT图6-17 无源滞后-超前网络的Bode图2.有源滞后有源滞后-超前网络超前网络一种由反相输入运算放大器构成的有源滞后-超前校正网络如图6-18所示。网络的传递函数为(6-39)式中：)1)(1()1)(1()(2121ccsTsTssKsG2154cRRRRK154541CRRRR 网络的对数频率特性如图6-19所示。可见，相角曲线也是先滞后，后超前，且当1时相角为0。222CR151CRT 221212CRRRRT图6-18 有源滞后-超前网络图6-19 有源滞后-超前网络的Bode图校正网络的形式众多，表6-1列出了常用无源校正装置的多种电路
22、、对数幅频特性和参数之间的关系。表6-2列出了由运算放大器组成的多种有源校正装置的电路、对数幅频特性和参数之间的关系，以供设计者选用。表表6-1 无源校正网络无源校正网络续表续表表表6-2 由运算放大器组成的有源校正网络由运算放大器组成的有源校正网络续表续表频率法校正是经典控制理论中的一种基本校正方法。在大多数情况下，这种方法是在系统开环对数频率特性图(Bode图)上进行的，因此具有简单易行的优点，从而成为目前应用最广泛的校正方法。常用的频率校正方法可分为分析法和综合法两种。分析法又称试探法。用分析法设计校正装置比较直观，在物理上易于实现，但要求设计者有一定的工程设计经验，设计过程带有试探性。
23、6.3 频率法串联校正频率法串联校正综合法又称期望特性法。这种设计方法从闭环系统性能与系统开环对数频率特性密切相关这一思路出发，根据规定的性能指标要求，确定系统期望的开环对数幅频特性曲线形状，然后与系统原有开环对数幅频特性曲线相比较，从而确定校正方式、校正装置的形式和参数。综合法有广泛的理论意义，但希望的校正装置传递函数可能相当复杂，在物理上难以准确实现。一般地，用频率法校正系统时，是以频域指标作为设计依据的。如果给出的是时域指标，则应根据两类性能指标之间的近似关系，将时域指标转化为频域指标，然后在Bode图上进行校正装置的设计。6.3.1 串联超前校正串联超前校正利用超前网络或PD控制器进行
24、串联校正的基本原理，是利用超前网络或PD控制器的相角超前特性。只要正确地将超前网络的转折频率1/T和1/(T)选在待校正系统截止频率的两旁，并适当选择参数和T，就可以使已校正系统的截止频率和相角裕度满足性能指标的要求，从而改善闭环系统的动态性能。闭环系统的稳态性能要求可通过选择已校正系统的开环增益来保证。用频率法设计超前网络的步骤如下：(1)根据稳态误差要求，确定开环增益K。(2)根据已确定的开环增益K，绘制原系统的对数频率特性曲线L0()、0()，计算其稳定裕度0、Lg0。(3)确定校正后系统的截止频率c和网络的值。若事先已对校正后系统的截止频率c提出要求，则可按要求值选定c。然后在Bode
25、图上查得原系统的L0(c)值。取mc，使超前网络的对数幅频值(正值)与L0(c)(负值)之和为0，即令1lg10)(mcL (6-40)进而求出超前网络的值。若事先未提出对校正后系统截止频率c的要求，则可从给出的相角裕度要求出发，通过以下的经验公式求得超前网络的最大超前角m：m0 (6-41)01lg10)(0cL式中，jm为超前网络的最大超前角；为校正后系统所要求的相角裕度；0为校正前系统的相角裕度；为校正网络引入后使截止频率右移(增大)而导致相角裕度减小的补偿量，值的大小视原系统在c附近的相频特性形状而定，一般取510即可满足要求。求出超前网络的最大超前角jm以后，就可根据式(6-28)计
26、算出值；然后在未校正系统的L0()特性曲线上查出其幅值等于10 lg(1/)所对应的频率，这就是校正后系统的截止频率c，且mc。(4)确定校正网络的传递函数。根据步骤(3)所求得的m和两值，利用式(6-23)可求出时间常数为(6-42)即可写出校正网络的传递函数为mT111)(cTsTssG(5)绘制校正网络和校正后系统的对数频率特性曲线Lc()、jc()、L()、()。(6)校验校正后系统是否满足给定指标的要求。若校验结果证实系统经校正后已全部满足性能指标的要求，则设计工作结束。反之，若校验结果发现系统校正后仍不满足要求，则需再重选一次jm和c，重新计算，直至完全满足给定的指标要求为止。(7
27、)根据超前网络的参数和T之值，确定网络各电气元件的数值。【例例6-1】设控制系统如图6-20所示。若要求系统在单位斜坡输入信号作用时，稳态误差ess0.1，相角裕度45，幅值裕度Lg10 dB，试设计串联无源超前网络。解解(1)因为系统为1型系统，KvK，所以K10，取K10，则待校正系统的开环传递函数为相应的Bode图如图6-21中的曲线L0()、j0()所示。)1(10)(0sssG图6-20 系统结构图(2)由图6-21可知，原系统的截止频率c3.16rad/s，相角裕度017.6，幅值裕度Lg。显然，017.6与题目要求的45相差甚远。为了在不减小K值的前提下，获得45的相角裕度，必须
28、在系统中串入超前校正网络。(3)确定校正后系统的截止频率c和网络的值。根据题目对相角裕度的要求，采用经验公式(6-41)求得网络的jm值为jm04517.67.635图6-21 例6-1系统校正前、后的Bode图再按式(6-28)求得网络的值如下：故有 从图6-21所示的原系统L0()曲线上查得幅值为5.6 dB时所对应的频率为4.3 rad/s，故选校正后系统的截止频率c4.3 rad/s，且有27.035sin135sin1dB6.527.01lg101lg103.4cm(4)确定正网络的传递函数。根据式(6-42)算出网络的时间常数为 而45.027.03.411mTrad/s)2.21
29、(1T取12.045.027.0Trad/s)3.81(2T取故采用无源超前校正网络时，需考虑补偿校正损失：则校正网络的传递函数应为所以，校正后系统的开环传递函数为,7.31K112.0145.0)(csssG)112.0)(1()145.0(10)(ksssssG(5)根据求得的校正网络传递函数和校正后系统的开环传递函数，绘制校正网络和校正后系统的对数频率特性曲线Lc()、jc()、L()、j()，如图6-21所示。(6)校验校正后系统是否满足给定指标的要求。由图6-21可见，校正后系统的截止频率由3.16 rad/s增大至4.3 rad/s，从而提高了系统的响应速度。由c4.3 rad/s
30、可算出校正后系统的相角裕度为故已满足题目的要求。此外，校正后系统的幅值裕度仍然是Lg，也已满足要求。)(180cj3.412.0tan3.4tan3.445.0tan90180111455.48(7)校正网络的实现，具体如下：若选C2.2F，可算得R1205 k，R275.8 k。选用标准值R1200 k，R275 k。27.0212RRR45.01CRT应当指出，串联超前校正是利用超前校正装置的相位超前特性，增大系统的相角裕度，使系统的超调量减小；同时，还增大了系统的截止频率，从而使系统的调节时间减小。但对提高系统的稳态精度作用不大，而且还使系统的抗高频干扰能力有所降低。一般地，串联超前校正
31、适合于稳态精度已满足要求，而且噪音信号也很小，但超调量和调节时间不满足要求的系统。6.3.2 串联滞后校正串联滞后校正利用滞后网络或PI控制器进行串联校正的基本原理是利用滞后网络或PI控制器的高频衰减特性，使已校正系统的截止频率下降，从而使系统获得足够的相角裕度。因此，滞后网络的最大滞后角应力求避免发生在系统截止频率附近。在系统响应速度要求不高而抑制噪声电平性能要求较高的情况下，可考虑采用串联滞后校正。用频率法设计滞后网络的步骤如下：(1)根据稳态误差要求，确定开环增益K。(2)根据已确定的开环增益K，绘制原系统的对数频率特性曲线L0()、j0()，计算其稳定裕度0、Lg0。(3)确定校正后系
32、统的截止频率c值。若事先已对校正后系统的截止频率c提出要求，则可按要求值选定c。若事先未提出对校正后系统截止频率c的要求，则可从给出的相角裕度要求出发，按下述经验公式求出一个新的相角裕度(c)，并依此作为求c的依据。(c)(6-43)式中，(c)为原系统在新的截止频率c处应有的相角裕度，它是既考虑题目的要求，又考虑到滞后网络的副作用而提出的新相角裕度；为设计要求达到的相角裕度；为补偿滞后校正装置的副作用而增添的相角裕量，一般取515。根据(c)值，在原系统的相频特性曲线上查找到对应于(c)值的频率，并以该点的频率作为校正后系统的新截止频率c。(4)求滞后网络的值。找到原系统在c处的对数幅频值L
33、0(c)，并由下式求出网络的值：L(c)20 lg0(6-44)(5)确定校正网络的传递函数。选取校正网络的第二个转折频率为(6-45)由此可计算出T之值及T之值，即可求得网络的传递函数为cT511011211)(cTsTssG(6)绘制校正网络和校正后系统的对数频率特性曲线Lc()、jc()、L()、j()。(7)校验校正后系统是否满足给定指标的要求。若未达到要求，可进一步左移c后重新计算，直至完全满足给定的指标要求为止。(8)根据滞后网络的参数和T之值，确定网络各电气元件的数值。图6-22 系统结构图【例例6-2】设控制系统如图6-22所示。若要求校正后系统的静态速度误差系数Kv30，相角
34、裕度40，幅值裕度Lg10 dB，截止频率不小于2.3 rad/s，试设计串联校正装置。解解(1)确定开环增益K。系统为1型系统，则有KKv30所以，待校正系统的开环传递函数为相应的Bode图如图6-23中的曲线L0()、j0()所示。)12.0)(11.0(30)(0ssssG(2)由图6-22可知，原系统的截止频率c12 rad/s，相角裕度027.6，相位穿越频率g7.07 rad/s，幅值裕度Lg9.55 dB，说明待校正系统是不稳定的。若采用超前校正，经计算：当0.01时相角裕度仍不满30，但需补偿放大倍数100倍，所以超前校正难以奏效。现采用滞后校正。(3)根据题目给出的40的要求
35、，并取6，则由式(6-43)得(c)46由校正前系统的相频特性曲线j0()知，在2.7 rad/s附近时，j0()134，即相角裕度46，故初选c2.7 rad/s。(4)求滞后网络的值。未校正系统在c2.7 rad/s处的对数幅频值L0(c)21 dB，由式(6-44)知2120 lg0解得11(5)求校正网络的传递函数。按式(6-45)选rad/s27.07.210112T故得滞后校正装置的传递函数为所以，校正后系统的开环传递函数为rad/s)024.01(s7.41s7.31TTT取，17.4117.3)(csssG)17.41)(12.0)(11.0()17.3(30)(kssssss
36、G(6)根据求得的校正网络传递函数和校正后系统的开环传递函数，绘制校正网络和校正后系统的对数频率特性曲线Lc()、jc()、L()、j()，如图6-23所示。图6-23 例6-2系统校正前后的Bode图(7)校验校正后系统是否满足给定指标的要求。由c2.7 rad/s可算出校正后系统的相角裕度为故已满足题目的要求。此外，当j()时，g7.07 rad/s，所以幅值裕度Lg|L(7.07)|12 dB10 dB因此，也已满足要求。)(180cj7.27.41arctan54.0arctan27.0arctan7.27.3arctan90180403.41(8)校正网络的实现，具体如下：若选R22
37、00 k，则算得R12 M，C18.5 F，选用标准值C22F。CRT2221RRR 应当指出，串联滞后校正是利用滞后校正装置的高频幅值衰减特性，以牺牲快速性换取稳定裕度的提高，使系统的超调量减小；同时，还使系统的抗高频干扰能力有所增强。另外，当未校正系统具有较好的动态特性而稳态精度不够时，用滞后校正加一个放大倍数为的放大器，即11)(cTsTssG则其幅频特性的形状不变，只上移了20 lg分贝，对系统的相角裕度和截止频率c没有任何影响，但可以使开环放大倍数K增大倍，从而提高系统的稳态精度。一般地，串联滞后校正适合于对快速性要求不高而对抗高频干扰能力要求较高的系统。6.3.3 串联滞后串联滞后
38、-超前校正超前校正这种校正方法兼有滞后校正和超前校正的优点，即校正后系统的响应速度较快，超调量较小，抑制高频噪声的性能也较好。当待校正系统不稳定，且要求校正后系统的响应速度、相角裕度和稳态精度较高时，以采用串联滞后-超前校正为宜。其基本原理是利用滞后-超前网络的超前部分来增大系统的相角裕度，同时利用滞后部分来改善系统的稳态性能。串联滞后-超前校正的设计步骤如下：(1)根据稳态误差要求，确定开环增益K。(2)根据已确定的开环增益K，绘制原系统的对数频率特性曲线L0()、0()，计算其稳定裕度0、Lg0。(3)在待校正系统的对数幅频特性曲线上，选择斜率从20变为40的转折频率作为校正网络超前部分的
39、第一个转折频率31/T2。3的这种选法，可以降低校正后系统的阶次，且可以保证中频区斜率为期望的20，并占据较宽的频带。(4)根据响应速度要求，选择系统的截止频率c和校正网络衰减因子值。要保证校正后系统的截止频率为所选的c，下列等式应成立：即有(6-46)其中，L(c)20 lg(c/3)可由待校正系统的对数幅频特性上的20延长线在c处的数值确定。因此，由式(6-46)可以求出值。0lg20)(lg203ccL3cclg20)(lg20L(5)确定滞后部分的转折频率。一般在下列范围内选取滞后部分的第二个转折频率：(6-47)再根据已求得的值，就可确定滞后部分的第一个转折频率11/(T1)。(6)
40、确定超前部分的转折频率。超前部分的第一个转折频率31/T2已选定，第二个转折频率4/T2。(7)校验校正后系统的各项性能指标。c12511011T【例例6-3】设系统的开环传递函数为要求设计滞后-超前校正装置，使系统满足如下性能指标：速度误差系数Kv180，相角裕度45，动态过程调节时间不超过3 s。解解(1)确定开环增益：系统为1型系统，由题意取KKv180)1167.0)(15.0()(0sssKsG所以，待校正系统的开环传递函数为相应的Bode图如图6-24中的曲线L0()、j0()所示。(2)由图6-24可知，原系统的截止频率c12.6 rad/s，相角裕度055.5，说明待校正系统是
41、不稳定的。(3)选取校正网络超前部分的第一个转折频率为)1167.0)(15.0(180)(0ssssGrad/s2123T图6-24 例6-3系统校正前后的Bode图 (4)选择系统的截止频率c和校正网络衰减因子值。根据45和ts3 s的指标要求，利用式(6-11)和式(6-13)可算出故c应在3.26 rad/s范围内选取。由于20斜率线的中频区应占据一定的宽度，故选c3.5 rad/s，相应的L(c)20 lg(c/3)34dB。由式(646)可算出50。rad/s2.33)1414.1(5.2)1414.1(5.122c(5)确定滞后部分的转折频率：(6)确定超前部分的转折频率：rad
42、/s5.0711c12Trad/s01.0111Trad/s2123Trad/s10024T(7)校验校正后系统的各项性能指标，具体如下：滞后-超前校正装置的传递函数为所以，校正后系统的开环传递函数为101.015.0110012)(csssssG)1100)(1167.0)(101.0()12(180)(kssssssG由c3.5 rad/s可算出校正后系统的相角裕度为系统的调节时间为故完全满足指标要求。)(180cj5.3100arctan5.3167.0arctan5.301.0arctan5.32arctan90180458.49s3s2.25.3)131.1(5.2)131.1(5.
43、122st6.3.4 串联综合法串联综合法(期望特性法期望特性法)校正校正综合校正方法将性能指标要求转化为系统期望的开环对数幅频特性，再与待校正系统的开环对数幅频特性相比较，从而确定校正装置的形式和参数。该方法只适用于最小相位系统。1.典型的期望对数幅频特性典型的期望对数幅频特性校正后系统的幅频特性应该具有以下特点：低频段：K应充分大，且具有负的斜率，保证稳态误差的要求。中频段：宜取20的斜率且具有足够的中频宽度，截止频率c适当，保证动态性能的要求。高频段：应有较大的幅值衰减，抗高频干扰能力较强。通常用到的典型期望对数幅频特性有如下几种：(1)二阶期望特性。校正后系统成为典型的二阶系统，又称为
44、典型1型系统，其开环传递函数为)1()()()(0ckTssKsGsGsG)121(2)2(nnn2nssss图6-25 二阶期望对数幅频特性式中：T为时间常数，T1/(2n)；K为开环增益，Kn/(2)。相应的二阶期望对数幅频特性曲线如图6-25所示。其截止频率cKn/(2)，转折频率11/T2n，两者之比为(6-48)工程上常以0.707时的二阶期望特性作为二阶工程最佳特性。此时，二阶系统的各项性能指标为214c%3.4%应当指出，二阶期望特性因系统性能指标和典型特性间关系较简单，便于计算而比较实用，但它比高阶期望特性的适应性差。Tt84ns%)2(21c4.63(2)三阶期望特性。校正后
45、系统成为典型的三阶系统，又称为典型2型系统，其开环传递函数为式中：相应的三阶期望对数幅频特性曲线如图6-26所示。其中，11/T1，21/T2。2111TKT)1()1()(221ksTssTKsG图6-26 三阶期望对数幅频特性三阶期望特性的暂态性能与截止频率c有关，又和中频宽度h有关。(6-49)可以证明：当h一定时，有(6-50)(6-51)表6-3列出了不同h值下的值、%值和ts/T2值，以供设计时参考。2112TTh121hc122hhc表表6-3 不同不同h值下三阶期望特性的性能指标值下三阶期望特性的性能指标由表6-3可见，当h5时，性能最好，调节时间ts最短，此为工程推荐值。但若
46、要求超调量%30%，则选h7较好。而且，三阶系统有(6-52)令可求得所以，相角裕度最大值m对应的m在1与2的几何中点，并算得(6-53)21arctanarctan)(180j0dd21m11arcsinarcsin1212hhm(3)四阶期望特性。校正后系统成为四阶系统，又称为1型四阶系统，其开环传递函数为相应的四阶期望对数幅频特性曲线如图6-27所示。其中，截止频率c可由调节时间ts和超调量%确定。转折频率2和3可近似确定如下：)1)(1)(1()1()(4312sssssKsGk(6-54)(6-55)四阶期望特性由若干段组成，具体如下：低频段：1的区段，斜率为20，其高度由开环增益决
47、定，要满足稳态误差的要求。中频段：23的区段，斜率为20，而且要有一定的宽度，使系统具有较好的相对稳定性。c251101c32图6-27 四阶期望对数幅频特性此外，还有低中频连接段：12；中高频的连接段：34；高频段：4。这些区段对系统的性能不会产生重要影响，因此在校正时，为使校正装置易于实现，应尽可能考虑采用校正前原系统的特性。也就是说，在绘制期望特性曲线时，应使这些频段尽可能等于或平行于原系统的相应频段，连转折频率也应尽可能取未校正系统相应的数值。2.期望特性法的设计步骤期望特性法的设计步骤(1)绘制未校正系统的对数幅频特性曲线L0()，并检验原系统的性能指标。为简化设计过程，通常按照已满
48、足系统稳态性能的要求而绘制L0()曲线。(2)根据性能指标的要求，绘制系统的期望对数幅频特性曲线L()。低频段按稳态误差确定开环增益K和积分环节的数目。中频段按超调量%和调节时间ts确定c和3。高频段无特殊要求可保持原系统的斜率不变。低中频连接段与中频的交点频率2不能靠近c，可取2(0.10.2)c。(3)确定串联校正装置的传递函数。将期望对数幅频特性减去未校正系统的对数幅频特性，可求得串联校正装置的对数幅频特性。因而即可求得串联校正装置的传递函数。(4)校验校正后系统的性能指标是否满足要求。(5)确定串联校正装置的结构参数。【例例6-4】设系统的开环传递函数为对系统提出的性能指标要求为：无差
49、度阶数1，静态速度误差系数Kv200，最大超调量%30%，ts0.6 s。试用期望特性法确定系统的串联校正装置。解解(1)原系统为1型系统，开环增益KKv200，则系统的开环传递函数为)1025.0)(11.0()(sssKsG)1025.0)(11.0(200)(0ssssG相应的Bode图如图6-28中的L0()曲线所示。由图6-28可知，原系统的截止频率c43 rad/s，相角裕度037，说明待校正系统是不稳定的。(2)绘制期望特性曲线L()。低频段按稳态性能的要求绘制。由于仍要求1，故可与未校正系统采用相同的低频段特性。图6-28 例6-4系统校正前后的Bode图中频段根据调节时间ts
50、和超调量%确定截止频率c：根据%30%的指标要求，利用式(6-12)可求得Mr1.35，再利用式(6-11)解得47.8；取50，则有Mr1.3，%28%。所以，根据ts0.6 s的指标要求，利用式(6-13)可求得：取c15 rad/s。146.0)13.1(5.2)13.1(5.122c确定2和3：为方便起见，取340 rad/s，且满足32c的要求。按照式(6-54)计算2：从2向左作斜率为40的线段交L0()曲线于1 10.24rad/s。从3向右作斜率为40的线段交L0()曲线于4 4125 rad/s，最后得到期望幅频特性曲线L()如图6-28所示。rad/s3152.051c2(
