1、3 3、李雅普诺夫稳定性分析、李雅普诺夫稳定性分析在分析由状态方程描述的控制系统的稳定性中，李雅普在分析由状态方程描述的控制系统的稳定性中，李雅普诺夫稳定性分析具有重要的作用。这种方法有以下几个优诺夫稳定性分析具有重要的作用。这种方法有以下几个优点：点：第一，有可能在不解出状态方程式解的条件下确定系统第一，有可能在不解出状态方程式解的条件下确定系统的稳定性。的稳定性。第二，能求解线性或非线性，定常或时变系统的稳定性第二，能求解线性或非线性，定常或时变系统的稳定性。特别是因为用其他方法求解非线性系统和（或）时变系。特别是因为用其他方法求解非线性系统和（或）时变系统状态方程时较困难，所以这种方法就
2、显出较大的优越性统状态方程时较困难，所以这种方法就显出较大的优越性。虽然运用李亚普诺夫第虽然运用李亚普诺夫第2 2方法需要有相当的经验和技巧方法需要有相当的经验和技巧,然而当其他方法无效时，这种方法却能解决一些非线性系然而当其他方法无效时，这种方法却能解决一些非线性系统的稳定性问题。统的稳定性问题。（1 1）李雅普诺夫函数）李雅普诺夫函数李亚普诺夫函数是一个正定的标量函数。这个函数及其一李亚普诺夫函数是一个正定的标量函数。这个函数及其一次偏导数在域次偏导数在域 中是连续的并使它沿轨迹对时间的导数中是连续的并使它沿轨迹对时间的导数总是为负定（或负半定）。总是为负定（或负半定）。设状态方程式为设状
3、态方程式为设设 为李亚普诺夫函数，其中为李亚普诺夫函数，其中 是状态方程的解是状态方程的解(1)()x kf x k()V V xk()x k 定义李亚普诺夫函数的差分运算为定义李亚普诺夫函数的差分运算为()(1)()V x kV x kV x k假定存在标量函数假定存在标量函数 ,并在并在 上连续，且有：上连续，且有：，对所有对所有 当当 时，时，也达到无穷也达到无穷 ,对所有对所有()V x k()x k()(0)0V x kV()0V x kV x0 x x()V x 0V x0 x在李雅普诺夫第在李雅普诺夫第2 2方法中，李亚普诺夫函数方法中，李亚普诺夫函数 和它对差分运算和它对差分运
4、算 的符号特征为我们提供的符号特征为我们提供了判断平衡状态处稳定性的准则，而不必直接求出方程的了判断平衡状态处稳定性的准则，而不必直接求出方程的解解。()VV x k()(1)()V xkV xkV xk （2）李亚普诺夫稳定性定律）李亚普诺夫稳定性定律设离散系统为设离散系统为(1)()x kf x k满足上术条件时，平衡状态满足上术条件时，平衡状态 （对所有（对所有k值）是大范围值）是大范围渐近稳定的。其中渐近稳定的。其中 是李亚普诺夫函数。是李亚普诺夫函数。()0 x k()V x（3）李亚普诺夫不稳定性定律）李亚普诺夫不稳定性定律设离散系统为设离散系统为(1)()x kf x k若存在标
5、量函数若存在标量函数 ，在，在 上连续，若上连续，若 。若在有限范围内，若在有限范围内，不是正半定的，即不是正半定的，即 ，则系统是不稳定的。则系统是不稳定的。当当 时，对所有时，对所有 ，不是正半定的，则响应不是正半定的，则响应是无界的。是无界的。()V x()xk()0V x()V x()0V x k()x k V x例例4.8 4.8 设离散系统为设离散系统为1122(1)0.5()(1)0.5()xkxkxkxk 试判断该系统的稳定性？试判断该系统的稳定性？解：取李亚普诺夫函数为解：取李亚普诺夫函数为 2212()()V xx kx k V x1()0 x k 2()0 xk 可见，对
6、所有可见，对所有 ，是正定的是正定的 而函数而函数 从上式可见，对所有从上式可见，对所有 ，是负定的是负定的，故该系统是渐近稳定的。，故该系统是渐近稳定的。222212122212(1)()(1)(1)()()0.75()0.75()V xV x kV x kxkxkxkxkxkxk 1()0 x k 2()0 x k V x例例4.9 4.9 设离散系统为设离散系统为试判断该系统的稳定性？试判断该系统的稳定性？1122(1)1.5()(1)0.5()xkxkxkxk 解：取李亚普诺夫函数为解：取李亚普诺夫函数为 上式可见，上式可见，是不定的，故该系统的稳定性判断无结果是不定的，故该系统的稳定
7、性判断无结果。2212()()V xxkxk2212 (1)()1.25()0.75()V xV x kV x kxkxk V x从上式可见，从上式可见，是不定的，因此，不能应用李雅普诺夫是不定的，因此，不能应用李雅普诺夫稳定性定理，进行该系统的稳定性判别。现转向应用李雅稳定性定理，进行该系统的稳定性判别。现转向应用李雅普诺言夫不稳定性定律进行判断。普诺言夫不稳定性定律进行判断。()V x 取李雅普诺夫函数为取李雅普诺夫函数为 221 12 123 2()()2()()()V xax ka x k x ka x k令令 函数为函数为 （4.314.31）从上式可见，对从上式可见，对 ，的所有值
8、，的所有值，为负定的为负定的.2212()()()V xx kx k1()0 x k 2()0 x k()V x()V x232 0.7 5()axk21 12 12()(1)()1.25()0.5()()V xV x kV x ka x ka x k x k 从从 （4.324.32）比较（比较（4.314.31）式与（）式与（4.324.32）式，得）式，得于是，从（于是，从（4.314.31）式，得）式，得1230.8,0,1.333aaa2212()0.8()1.333()V xx kx k因为因为 是不定的，故稳定性判断仍无结果。是不定的，故稳定性判断仍无结果。()V x（4）线性离
9、散系统的李亚普诺夫稳定性定律）线性离散系统的李亚普诺夫稳定性定律 v x但对线性定常离散系统，但对线性定常离散系统，的选择有一种简单的的选择有一种简单的方法。现介绍如下。方法。现介绍如下。设离散系统为设离散系统为其中其中 G 为为 维常数矩阵，维常数矩阵，为为 n 维向量，维向量，设平衡状设平衡状 态态 。(1)()x kGx kn n()x k0ex v x从上面两个例子可见，用李亚普诺夫函数来判断系统稳定从上面两个例子可见，用李亚普诺夫函数来判断系统稳定性，取决于性，取决于 和和 的正确选择，一般来说，选择的正确选择，一般来说，选择 和和 是十分困难的。是十分困难的。v x v x v x
10、若给定任意正定实对称矩阵若给定任意正定实对称矩阵Q，存在实对称矩阵，存在实对称矩阵P，使满足，使满足于是于是 是李亚普诺夫函数是李亚普诺夫函数*G PGPQ(*()()Vxxkpx k 证明：该定理的证明是基于证明：该定理的证明是基于Sylvester 定理。该定理表定理。该定理表述述为：如果为：如果 P 是正定矩阵，则是正定矩阵，则 是正定的，利用是正定的，利用上述的李亚普诺夫函数，则上述的李亚普诺夫函数，则*V xx Px (1)()*(1)(1)*()()v xv x xv x kxkpx kxk px k 进一步进一步,可得可得 (1)()*()()v xv x kv x kxk Qx
11、 k 将状态方程式将状态方程式 代入上式，得代入上式，得(1)()x kGx k*()*()*()()*()*()*()()v xxk G PGx kxk px kxk G PG P x kxk Qx k例例4.10 已知线性定常离散系统的状态方程为已知线性定常离散系统的状态方程为试确定系统在原点的稳定性。试确定系统在原点的稳定性。1122(1)()01(1)()0.51xkxkxkxk选取选取 ，依照，依照 式式,李雅普诺夫稳定方李雅普诺夫稳定方程为程为 （4.37）QI111211121222122200.5011 0110.510 1pppppppp*G PGPQ()v k从上述从上述S
12、ylvester定理可见：若定理可见：若 是负定的，则是负定的，则 Q 必须是正定的。反之，若必须是正定的。反之，若Q是正定的，则是正定的，则 是负定的。是负定的。这样平衡状态这样平衡状态 是渐近稳定的。是渐近稳定的。()v k0ex 如果求得的是如果求得的是P正定的，于是在原点正定的，于是在原点 x=0 是大范围渐近是大范围渐近稳定的。稳定的。从方程（从方程（4.37），可写成下述），可写成下述3个方程个方程并可得并可得221112221211120.2510.5()021pPppppp 11122211824,555ppp显然的显然的1 185582 455p依照赛尔维斯特准则，矩阵是正定
13、的。所以在原点依照赛尔维斯特准则，矩阵是正定的。所以在原点x=0的的平衡状态，系统是大范围渐近稳定的。平衡状态，系统是大范围渐近稳定的。（5 5）采用李雅普诺夫稳定性方法进行最优状态反馈矩阵）采用李雅普诺夫稳定性方法进行最优状态反馈矩阵设计设计李雅普诺夫稳定性理论，可以用来设计最优状态反馈系李雅普诺夫稳定性理论，可以用来设计最优状态反馈系统。统。设状态反馈离散系统结构图，如图设状态反馈离散系统结构图，如图4.94.9所示所示 图图4.9 4.9 状态反馈离散系统结构图状态反馈离散系统结构图-K(1)()()x kGx kHu k()x k()u k系统的设计目标是：使任意状态，从任意初始位置系
14、统的设计目标是：使任意状态，从任意初始位置 转移到平衡状态转移到平衡状态 ，并使某种意义上的量为最优时，并使某种意义上的量为最优时的反馈矩阵的反馈矩阵K K。(0)x0 x系统的状态方程可表示为系统的状态方程可表示为 （4.384.38）(1)()()x kGx kHu k()u k其中控制作用其中控制作用 可表示为可表示为 （4.3 94.3 9）()()u kKx k 假设该系统在假设该系统在 时是时是渐近稳定渐近稳定的。若给定一个的。若给定一个实对称正定矩阵实对称正定矩阵Q Q，存在着一个实对称矩阵，存在着一个实对称矩阵P P，并满足，并满足 （4.4 04.4 0）()0u k*G P
15、GPQ()*()()kkkV xxPx则则,李维普诺夫函数为李维普诺夫函数为 ()*()()VkkkxxQx以及以及 因为因为 ()*()()v x kxkpx k()(1)()vxkvxkvxk*(1)(1)*()()xkPx kxk pk k()u k作为某一种最优指标，可选最优控制作用作为某一种最优指标，可选最优控制作用 ，在某一在某一k时刻，使下列性能指标极小，即时刻，使下列性能指标极小，即 （4.434.43）()JVx k 因为因为 表示表示 的离散变化率，因此可以用的离散变化率，因此可以用（4.434.43）式表示）式表示 的性能指标极小化，即在物理意义的性能指标极小化，即在物理
16、意义上为最优控制。例如，上为最优控制。例如，可表示为可表示为 沿用轨迹的能沿用轨迹的能量或距离的变化率。量或距离的变化率。()V x k()Vxk()V x k()x k()Vxk将状态方程式将状态方程式代入上式，代入上式，)()()1(kukGxkx 得 ()*()*()()*()*()v x kxk Gk PGx kuk H PGx k*()*()*()*()*()()xk G PHu kuk H PHu kxk px k 使性能指标使性能指标 为最优化，即，为最优化，即，得，得，因此，可得最优控制作用因此，可得最优控制作用即最优状态反馈增益矩阵即最优状态反馈增益矩阵()Jvxk2*()2
17、*()0HPGx kHPHu k01()(*)*()()u kH PHH PGx kKx k1(*)*KHPHHPG()0()v x kuk 例例4.11 4.11 系统的状态方程可表示为系统的状态方程可表示为 (1)()()x kGx kHu k其中其中 求最优控制0.501,00.51GH 0()u k解：设解：设 （单位矩阵）（单位矩阵）QI()*()()v x kxk px k令令 ，它必须满足方程式，它必须满足方程式11122122ppppp*GPGPQ 对上式求解，即对上式求解，即11121112212221220.500.501 000.500.50 1pppppppp得得 使性能指标使性能指标 对对 求偏导为零求偏导为零,即即1122211.3331(0.5)pp12210pp Jvx()u k0()vxuk 得 1(*)*0.280.0876KHPHHPG012()0.28()0.0876()u kx kx k
